上海市鲁迅中学2020届高三数学上学期9月月考试题(含解析)

1、上海市鲁迅中学2020届高三数学上学期9月月考试题（含解析）考生注意：L本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷 上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第题，每空填时得4分;第7T2题， 每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1 己知集合 ” =3i一2X一30 AT = x| = lgx）则 MC|N =【答案】（同【解析】【分析】根据一元二次不等式解法和对数函数定义域要求分别求得集合.和集合由交集定义求 得结果【详解】“斗厅-0 = x|（a3）

2、（”+1）3（）=T3 = x|y = gx = （O,+ao）.AffW=（O,3故答案为（&司【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解、对数函数定义域 的求解，属于基础题.2.不等式”-1的解集为.【答案】（L2）【解析】【分析】将不等式的右边移到左边，通分后变为一元二次不等式来求解.x 2x-2x-2【详解】“一1工一1 工一1 vnlvx0边转化为,通分后转化为一元二次不等式来求解.解分式不等式的过程中，町 等价/OP- f/W(x)0于/G)g(*),但是要注意的是g()是等价于1,也即分式的分母不能为零.属于基础题.3 .若函数 x) = l-正 g(x)

3、= Vir+ 贝/x)+g(x)=【答案】1+J1-X【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得/(”)*(”)定义域，取交集得到的 定义域，将/(“)g(x)解析式相加可得所求结果.【详解】/(”)定义物#之。； g定义域为，H 4E:/(*)+g(x)的定义域为国。 1二+g(x)=1-6+6=i+% 1)故答案为：1+/(1;利用对数运算法则可将原方程化简为同底对数 相等的形式，进而得到真数相等，解方程求得结果.3x-l0, x-10【详解】由题意得：C+x0 ,解得：xiv k)g4 (3x -1) = log4 (x -1)+log4 (3+x) = k)g4(x-l)(3

4、+x)=log4 (x2+2x-3)/.3x-1 = x2+2x-3,解得：x=-l (舍)或x = 2故答案为，2【点暗】本题考查对数方程的求解问题，通过对数运算法则将方程转化为同底时数相等的式 子；易错点是忽略定义域的要求，导致求解结果出现增根.5 .要使函数,=-5+3在区间Z3上存在反函数，则实数a的取值范围为.【答案】SU6收)【解析】【分析】根据反函数存在的条件可得函数在23上单调；根据二次函数对称轴的位置可得不等式， 解不等式求得结果.【详解】要使函数，=嫉+3在区间Z3上存在反函数，则，工+3在Z3上 单调.尸-F+3对称轴为x = 5/2或红3二或故答案为，(4U6e)【点睛

5、】本题考查反函数存在的条件，函数存在反函数的条件为：函数必须为一一对应的函 数；特别的，当函数为连续函数时，就必须是单调函数才有反函数.86,函数“力+门口词)的值奶【答案侦9!【解析】【分析】利用导数画出函数/（X）的图像，根据图像的最高点和最低点，求得函数的最大值以及最小 值，由此求得函数的值域.【详解】由于/X2故函数在区间2上单调递减，在区间【2&0上单调递增.由此画出函数图像如下图所示，由图可知 /（x）e/（2）,/（8）1 = 4V2,9472,9【点睛】本小题主要考查对钩型函数的值域，考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考 查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.7 .己知定

6、义在A上的奇函数 = /（）,当。时，Ax） = 1x则当x。时， y=/（）的解析式是.【答案】/（x）= T（r）【解析】【分析】利用x。时，r。可代入求得/（t）；利用奇函数的定义可求得结 果.【详解】当xvO时，x0，/（r） = lg（T）/（”是定义在A上的奇函数二/（“） = -/（T）= Tg（-x）故答案为，/（小同【点暗】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，解决此类问题的基本步骤为:（1）利用不等式变换将所求区间转化到己知区间；（2）代入解析式求得己知区间对应的解析式；（3）根据奇偶性可得所求区间与已知区间解析式的关系.8 .己知定义域为R的偶函数/（）在上是减函数

7、，且，（，）2,则不等式的解集为.【答案】（一同【解析】【分析】根据函数为偶函数可5,解得：X-1./（2）2的解集为：（-1”）故答案为：（一L）【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解决此类问题的关键 是能够通过奇偶性得到对称区间的单调性，利用单调性将函数值的比较转变为自变量的大小 关系.9 .如图所示，在直四棱柱4&G5-必CO中，当底面四边形ABCD满足条件 时， 有A_B】D】（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）.【答案】对角线互相垂直【解析】本题答案不唯一，要证A：C1&D：,只需证&D：垂直于A：C所在的平面A【CG，因为该四棱柱

8、为直四梭柱，所以B】D：JLCC，故只需证任Di_LAi即可.考点畿线垂直.10 .函数/()= -+3,若，a)一。|2恒成立的充分条件是1WXV2,则实数a的取 值范围是.【答案】1V4【解析】【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可.【详解】V|f (x) -a|2恒成立的充分条件是1WxW2,二当 1WxW2 时，|f (x) -a|2 恒成立，即2f (x) -a2,Aa-2f (x) 2%恒成立，TlWxW2,23则 L-2l即L4二 la4,故答案为，la4【点隋】（1）本题主要考查充分条件，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识

9、的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本题的关键是转化为a-2Vf （x） V23恒成立.11.己知偶函数湎足：/（%+2）=/并且当“4即时/（%）= ,函数y=/（）与函数，二加8”的交点个数是.【答案】6【解析】【分析】利用奇偶性可求得” NT。时，/（）的解析式；由/。+2） = /知/。）为周期为2 的周期函数；再同一坐标系中画”=/（）与夕=110gH的图象，根据图象可求得交点个 数.【详解】当wL。时，,: /（”）为偶函数: /（X）= /（T）= T（ 仁卜叫）当 时,y（X）E（Kl由/0+2） = /知：/（X）为周期为2的周期函数二/值域为刈. J=/（*）与，=|i*M

10、的图象如下图所示：当“3时，”隆同=隆3网| = 1,此时/（3）=1由图象可知：尸/（“）与”除、国的交点个数为6个故答案为 6【点睛】本题考查函数交点个数的求解问题，涉及到利用奇偶性求解函数的解析式、函数周期性的应用、函数图象翻折变换等知识。处理函数交点个数问题的常用方法是采用数形结合 的方式，通过函数图象得到结果./(x)=lg| ax2 -x+a |12.设命题户函数V 16 J的值域为R；命题，二不等式3、一ka对一切正实数x均成立，若命题和4不全为真命题，则实数，的取值范围是.答案(-g)o)U(2)+g)【解析】【分析】2 1(0y = ax -x+ a根据对数型复合函数值域可知

11、I是16的值域的子集，根据二次函数图象分析可得不等关系，求得命题P为真时，04a42；利用换元法将3、一旷/-/2(/l)求解一户的最值可求得命题夕为真时，a。；求出当PM全为真时a的 范围，取补集得到结果./(x)Tg 自 T+，值域为及【详解】若命题P为真，即I 16当a = 0时，-x,解得：x0A=l-ia20当时，4,解得s 0a1 二 - 0即若命.题夕为真，则之二当命题夕H全为真命题时，。2 故答案为：（f加快内）:命题PH不全为真命题 二。的取值范围为:S期 u(z+o)【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围，涉及到根据对数型复合函数的值域求解 参数范围、不等式恒成立问题

12、的求解等知识.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.B.若6,则。“113 .下列命题中的假命题是（）A.若avbb。，则。4方4-1D.若 , gpfl（fl-1）0二1。选项：若 2,则。,原命题为假命题故答案为：D 【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到利用函数单调性比较大小、分式不等式的求解、不等式性质的应用等知识.笈二旬囿然-3| o| = x|Ox35=x|fe|2x-3|0) = x|0x-3|l = x|-l2x-3La2x-3#0) = 1x|lxxgJ二是“工WB”成立

13、的必要非充分条件故选1 B【点睛】本题考查允分条件、必要条件的判定，关键是能够理解集合的包含关系与充分条 件、必要条件之间的关系，涉及到分式不等式的求解、对数函数单调性的应用等知识.15.关于函数“X T X （fl）,有下列四个命题：/（x）的值域是（r%O）U（O,十8）;/是奇函数；/在（一，川（&0）上单调递增；方程= 总有四个 不同的解；其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】中通过令/（）= 可求得x的值，可知值域包括。，错误； 根据奇函数的定义可判断出正确;中通过反例可确定/（x）在（T2）u（aE）上不满足单调递增的定义，错误;将方程变为一7一士“，通过验证两

14、个一元二次方程各有两个不等实根，并且x 二 不是 其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，正确.x-0 -0【详解】中，令“一，解得：x = 、5，可知/（”）值域含有元素0,则错误 中，由解析式可知/（”）定义域为/(-X)= -X- -= -x+- = -/(x) f (x)又r X.八1是奇函数，则正确中,当工一点）时，/（力,当xe 但折)时,/(x)0/+奴一 = 0与，_5_ = 0各有两个不等实根又二 =不是两个方程的根.方程|/（x）卜总有四个不同的解，则正确故选3 C【点睛】本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根 的分布等知识；易错点是

15、在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接 单调区间，造成单调性求解错误.6,设函数/(aumMlf-Lx+Lx+D,其中mx，/z表示xj,z中的最小者,II I/（a+2）（a）,则实数a的取值范围为（）A. (TO)c. （9尸2）U（LO）D.一力内）【答案】C【解析】【分析】X + 1X-1/(x) = - X2-1,-1Xl根据皿/乂句的意义可得分段函数/(x)解析式，进而得到函数图象；分别在-3、 一3。41、和a之1四种情况下，结合单调性和函数值的大小关系构造不等式 求得结果.【详解】由皿*弘句的意义可得: 由此可得/(X)图象如下图所示：当aW-3时，a +

16、2-l,此时“力单调递增-/()/(+2)满足题意当一3val时，-la+2a+l 解得a -13,2)当-Ivavl时，lva+2v3，/(a) = T /(a+2) = -(a+2)+l/.-(a+2)+la2-l 解得：-ivavO /.aG(-l,O)当SI时，a+2之3,此时/(“)单调递减二/(勾/(。+2),不符合题意综上所述，实数。的取值范围为，S-2)U(-LO)故选：c【点暗】本题考查根据函数值的大小关系求解参数范围的问题；关犍是能够读懂新定义运算 的含义，得到分段函数解析式和图象，涉及到分类讨论思想的应用.三、解答题(本大题共5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的规

17、定区域内写出必 要的步骤.17.如图，四棱锥S一国8中，底面乂章力为正方形，4_1面468, JB = 3, 4=4(1)求异面直线SC与ZQ所成角;(2)求点6到平面货刀的距离.一 512arctan-【答案】3；5【解析】【分析】(1)根据8c如，可知所求角为NSC8；通过线面垂直的判定定理可证得反7_1_平面也,从而由线面垂直性质知BCJLSH,进而求得tan/SCB,得到所求结果;(2)利用等体积法转化得到匕血二%如，根据三楼锥体积公式求得匕-E,设所求距离为力，构造出关于力的方程，解方程求得无即可.【详解】: BC/AD ,/SCS是异面直线SC与ZQ所成角 1 平面/BCD, BC

18、u 平面/BCD a SA LBC又BCL4B,平面8, ABCSA = A二万C_L平面v SB c 平面 SABBC SB又 SB = 5 , BC = AB = 3tanZSUB = -3/. ZSCB = arctan 35 arctan 二异面直线SC与4D所成角大小为3（2） 平面 ZBCDs-bcd =工S8 iS4 = -x x3x3x4=6atl平面4BCD, CDcz平面488 SA LCD又ADLCD, iS4Ou 平面SAAD = A 二 8 平面v SD c 平面 SAD二 CD SDKSCD= -x3x + 16 = 22设点5到平面SCO的距离为力5-JKTD 二

19、 KaSCD = SCD二卜=632,解得,12二点B到平面SCD的距离为5【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解、点到面的距离的求解问题；求解点到 面的距离的常用方法有:(1)定义法，在图形中作出点到面的距离，利用长度关系进行求解;(2)等体积法，将问题转化为三棱锥的高的求解，利用等体积转化可构造方程求得结果(3)空间向量法：建立空间直角坐标系，根据点到面距离的求解公式来进行求解.18.已知集合=4卜_1区1, J5 = xlx2-zte+3fl200(1)当。=1时，求集合ZcB(2)若/cK = 8,求实效益的取值范围.0 -【答案】(1) x|lx2; (2)3【解析】【分析】

20、(1)求出集合Z,当。=1时，求出集合万，利用集合交集的定义，即可求解;(2)根据/口为二万，可得利用集合的关系列出不等式组，即可求解.【详解】由题意,，解得无2,即集合“巾2,当时，集合4 = W-4X+34O = X|1WX43所以 ZfE = xlx0222 / e0 W a4一Q,力42,解得 3,即实数a的取值范围是3 .【点睹】本题主要考查了集合的包含关系的应用，以及集合的交集的运算，其中解答中正确 求解集合4万，合理、准确运算是解答的关缝，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度。(分 贝)由公式(以万

21、为非零常数)给出，其中可加)为声音能量.(1)当声音强度满足4+2。2=32时，求对应的声音能量4，乙，4满足的等量 关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10*犷/cm，时，声音强度为30分贝,当人们正常说 话，声音能量为1072犷/612时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪 音，一般人在100分贝120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围 时，人会暂时性失聪.【答案】见解析；【解析】分析，(1)将对应的声音能量I】，L, L代入公式口=a至1+1),根据满足D1+2D二=3灰建立等 量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求；(2)根据声音能量为lOw

22、/cm?时，声音强度为30分贝，声音能量为1。神/cm?时，声音 强度为40分贝，建立关于a, b的方程组，解之即可求出公式D=algl+b的解析式，最后根 据一般人在100分贝120分贝的空间内建立不等式，解之即可.详解： 4+202=32 二山%+5+23郎+与=3(d”)W1+ 21gZ2= 3幽 二 4 %2 = 1/9（2）由题意得13a+b = 30-12a+Zr = 40 .解得J a = lQ1 = 160 100101g7+160120 10-6Z。（2）设0RV、vi,整理出玉。l + 巧 玉_玉三,由单调性定义得到/（“）在（1）上单调递增,根据奇函数的对称性可得（-L）

23、上的单调性；（3）根据g（“）解析式可求得g（x）+g（x）=4,从而得到对称中心；代入b即可求得 g（j）的值.【详解】（1） /（”）为奇函数 二定义域关于原点对称.X*0 zg由l 岛(x + a)(x-l)0 x*0。=1时，定义域为(T)U(0巧一天 1十七一巧一苦巧,玉马呜1+与-4-书 ,即二/6)-/(。)二/(%)在(&1)上单调递减 /(”)为奇函数二/在(T )上单调递减 /(%)在(T),(上单调递减g(x)=/(x-2)+2 = -log2-+2由题意得：x-22 3T (4-x)=-kg2+ 2二g(x)+g(4-x) = 4 g(x)的一个对称中心为性?) g(&) = l，g(4-b)=4-g(b)=4-l=3【点晴】本题考查函数世历的综合应用，涉及到利用奇偶性求解参数值、根据单调性定义求 解函数的单调区间、函数对称性的应用等知识.函数对称性的常见形式为：a+b若x+a)=7(I),则/关于2对称；若L+/(I) = c则X)关于I亍句对称.21.定义对函数y二”)，对于给定的正整数上，若在其定义域内存在实数?，使得