上海昂立智立方数学高中高一(秋季班)高一新课-11-不等式章节小结-学生版-蒋奎

1、、国立立B专业引领共成长教师日期学生课程编号课型复习课课题不等式章节小结教学目标1、不等式的性质2、不等式的证明3、不等式的解法4、不等式的应用教学重点1、注重不等式的解法，解不等式的核心问题是不等式的向解变形，不等式的性质则是不等式变形的 理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善丁把它们有机地联系起 来，互相转化.2、不等式的应用，不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立 不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习30比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法

2、换元法 函数法元一次不等式（组） 元二次不等式（组）有理不等式基本不等式不等式的证明不等式的性质不等式的解法无理不等式超等式整式高次不等式（组）分式高次不等式（组）指数不等式（组）*对数不等式（组） 三角不等式（组）线性规划不等式的应用函数的定义域、 值域与单调性、 取值范围问题、 最值问题、方程 根的分布、数列 不等式、函数不 等式的证明、实 际应用问题例题解析一、不等式的性质（一）、知识精讲1 .不等式的性质（1）对称T1E： ab? （2）传递性：ab, bc?(3)加法性质：ab? ;推论：ab, cd? ;(4)乘法性质：ab, c0? ;推论：ab0 , cd0? (5)乘方性质：

3、 ab0? ;(6)开方性质：ab0? ;(7)倒数性质：ab, ab0? .2 .两个实数大小的比较(1)作差法：设a, bCR,则ab? a-b0, ab? ab0, b0,贝U ab? , ab? g1.(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断.(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法 探路.3 .不等式的一些常用性质 a0b? 1b, ab0? -b0,0 cd.0axb 或 axbb0, m0,则 b0) b。； b0)-(二)典型例题1【例1(教材改编)右0ab? a” ? acbd?a2其中错误之处的个数是 ()cd? bcb

4、dd cA. 0B. 1C. 2D. 3a b -【例 4】右 a0b-a, cdbc;十1b d;a(dc)b(d c)中成立的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4例5已知一1x+y4且2xya+ 12a+ b aD.a+2bb1.若ab0,则下列不等式中一定成立的是.1.1A . a+ hb + o baC. a-1b-1 ba0 智的专业引领共成长口上2 . 设 abc0, x = a2+ b+ c 2, y=心2+ c+ a 2, z= c2+ a+ b 2,则 x, y, z 的大小关系是3 .已知a, b, cC R,那么下列命题中正确的是 ()A.若 ab,贝U ac2bc

5、2B.若ab,贝U abc cC.若 a3b3且 ab1D.若 a2b2且 ab0,贝吗0, bc-ad0,贝Ucd0；若 ab0, f-d0,贝U bcad0；a ba b若 bc- ad0, c-d0,则 ab0. a b其中正确的命题是 .5 .比较aabb与abba(a, b为不相等的正数)的大小.x yx+ a y+ b6 .(1)设 xy-, xy,求证: a b7 .某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠. ”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8折优惠. ”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的

6、收费哪家更优惠.高一数学新课不等式章节小结7 / 22专业引领共成长二、不等式的证明（一）、知识精讲知识点1利用比较法证明不等式1 .定义：对于任意两个实数 a,b,有ab a b 0;a b a b 0; a ba b 0。因此要证明a b,只要证明a b 0；同样，要证明 a b,只要证明a b 0,这种证明不等式的方法叫做比较法。2 .比较法证明不等式又分为以下两种方法：（1）做差比较（2）作商比较3 .用比较法证明不等式的步骤：先对要证明的不等式的两边做差（或商），然后通过因式分解或配方法对差（或商）进行变形，从而确定差是正还是负，从而证明不等式成立。 知识点2用分析法证明不等式从要求

7、证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判 定这些条件是否成立的问题。如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判定原结论成立，这种证 明方法叫分析法，一般来说，分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程，所以 要特别注意表述的逻辑性。 知识点3用综合法证明不等式把某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种方法通 常叫做综合法。用综合法证明不等式，就是用因果关系书写“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程，其特点可描述为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“

8、未知”。综合法属于逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依 据。【注意】利用公式法、综合法证明不等式时，其一要牢记公式，并熟悉它们的变形；其二使用 时要注意公式成立的条件。 知识点4用反证法、放缩法、变量代换法、构造法证明不等式（拓展内容）1 .放缩法高一数学新课不等式章节小结9 / 22m A心 71r立方Ll_,若证是 “ A B”，我们先证明“ A C”，然后在证明“ C B”，则“ A B ”。2 .反证法反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。3 .变量代换法变量代换是数学中的一种常用的解题方法，对于一些结构比较复杂，变化较多而关系不太清楚 的不等式，可适当的引进

9、一些新的的变量进行代换，以简化其结构，其代换技巧有局部代换、整体 代换、三角代换、增量代换等。4 .构造法不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助 手段，促使命题转化，从而使不等式得证，此法技巧要求较高，高考题中很少见。（二）典型例题【例7】求证、3 ,7 2, 5111例8已知a、B c为互不相等的正数，且 a b c 1,求证：- - 9. a b c【例9】已知a 0,b 0 ,且a b 1 ,求证：J2a 1 J2b 1 2& .【例10】求证：(1)(2)a b 0,求证：aabb abba.【例11】已知a 0,b(2)求证：0,求证:b3

10、b2a2b2专业引领共成长昔立方hj.划上工 r数学新课不等式章节小结11 / 22.n.同I1【例12（同济）求证：对于任何头数 a, b ,二个数| a b|,|a b|,|1 a|中至少有一个不小于 一。2【例13】设a、R,求证:b ,并指出等号成立的条件【巩固训练】1 .已知0 a2,b 2, 0求证:a 2 b ,b 2 c,c2 a不可能都大于1.2 .实数x, y,z满足xyyz zx1,求证:_ 2- 25y 8z 4.百立普立方专业引领共成长CJ口-,11253.设x,y是正数，且x y 1,求证：(x )(y ) x y 44.已知xi0,i 1,2,L ,n ,用综合法

11、证明:22xix2X2x322x1% x x L xxix2xn .xnX三、不等式的解法(一)、知识精讲1 . 一元二次不等式的解法(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0,另一端为0,即化为ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0)的形式；(2)计算相应的判别式；(3)当A0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集.2 .分式不等式的解法解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解.即：(1) f4- 0( 0(o(,(2) 0( 7|x+1网不等式a

12、x2+bx 20有相同的解集，则（）b=- 10 B. a=- 1, b=9数学新课不等式章节小结15/22.n.同Ib=9 D.a= 1, b= 2【例14】不等式2x 10的解集为引申探究(2011 北约”)求 f(x) |x1|2x1| L |2011x 1|的最小值。【例15】已知关于x的不等式ax0的解集为M,若3 M且5 M ,求实数a的取值范围.【例16解关于x的不等式：x2(a+1)x+a0.引申探究将原不等式改为 ax2- (a+ 1)x+ 10的解集是 1, -1 ,则不等式x2bxa （ax）2的解集中的整数恰有 3个，则（）(B) 0 a 1(C) 1 a 3(D) 3

13、 a 6x 1 a2 3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（高一数学新课不等式章节小结17 / 224x+ m【例21（1）关于x的不等式2 WQ4x+p3对一切0WpW 4均成立，试求实数 x的取值范围.3【例22（1）若一兀一次不等式2kx2+kx4对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A . （3,0B. 3,0）C. 3,0D. （- 3,0）（2）设a为常数，任意xCR, ax2+ax+10,则a的取值范围是（）立立将专业引领共成长B. 0,4)A . (0,4)C. (0, +8 )D.(巴 4)高一数学新课不等式章节小结19 / 22【例23设函数y= mx2mx1.

14、若对于xC1,3, y m+5恒成立，求 m的取值范围.【例24】对任意的kC 1,1,函数y=x2+(k 4)x+ 4 2k的值恒大于零，则x的取值范围是 【巩固训练】xa1. 解关于x的不等式2a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A. -1,4B. ( 8, 2 U 5, +8 )C. (8, 1U4, +8)D. 2,53 .已知函数f(x)=x2+mx 1,若对于任意xCm, m + 1,都有f(x)0成立，则实数 m的取值范围 是.4 .在关于x的不等式x2(a+1)x+a1的解集为p,且一2?p,则a的取值范围为()x+ aA. (-3, +8) b. (-3,

15、2)C. (8, 2)U(3, +8) D. (8, 3)U2, +8)6.若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间(1, 4)内有解，则实数a的取值范围是()A. (8, -2) B. (-2, + 8)C . (一 6, 十 ) D . (一, 一 6)7,若关于x的不等式匕山 0的解集为(2, 1) (2,3),关于x的不等式 x a x ckx bx 10的解集为ax 1 cx 100普立方专业引领共成长m Mu.j.t t28 .不等式, x k 0对任意实数x都成立，则k的取值范围是 .x2 x 14- 1 9 .若不等式x a -x1在实数R中恒成立，则实数a的取值范围是2四、

16、基本不等式(一)、知识精讲(1)利用平均值定理求某些函数或对象的最大或最小值问题强化变换的目的性突出步骤的合理性的认识(2)突出函数，方程与不等式之间的关系，并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题变量与常量的处理问题即恒成立问题突出函数思想的理解与应用，以不等式为工具，充分展示对函数的理解，对函数相关知识的综合应用.(二)典型例题【例25】某商品每件成本价为 80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加8x成.要求售价不能低于成本价. 5设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域；(2)若再要求该商品一天

17、营业额至少为10 260元，求x的取值范围.51【例26(1)已知x ,求函数y 4x 2 的最大值。44x 5高一数学新课不等式章节小结# / 22;立督立方专业引领共成长数学新课不等式章节小结21 / 22.n.同I求y2x2 7x 10(x 1)的值域。【例27】已知a、b、c 1b c 1。求证： 一a111-1-18bc【例28】已知x0,y0且工 x1 ,求使不等式x ym恒成立的实数 m的取值范围。专业引领共成长引申探究a b已知正数a,b,x,y酒足a+b=10, =1, x+y的最小值为18,求a,b的值. x y【巩固训练】1 .某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/

18、辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0xx2x的解集为x|1x0的解集为（1, 2）,解关于x的不等式cx2bx+ a0,有如下解法：由 ax2 bx+ c 0? a b 1 + c 0.令y=1，则 x xxyC 1, 1 ,所以不等式cx2 bx+a0的解集为 11 .类比上述解法，已知关于x的不等式上 十22x+ab0的解集为（一2, 1）U（2, 3）,则关于x的不等式+拯二1 b1 是 a+ L + b 的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件12. 已知a, b, cCR,给出下列命题：若 ab,则 a