第5多元函数微积分ppt课件

1、大学数学基础教程第5章 多元函数微积分主要内容: 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数的极值 六、二重积分一、空间几何简介1、空间直角坐标系 xzyO2规定：如下图： yz Ox坐标面xOy坐标面yOz坐标面zOxxyzQRMOPxyz点的坐标xyzQRMOPxyz反之，将zyx,分别称为点M在zyx,轴上的坐标。 （+ +，+ +，+ +）（- -，+ +，+ +）（- -，- -，+ +）（+ +，- -，+ +） （+ +，+ +，- -）（+ +，- -，+ +）（- -，- -，- -）（+ +，- -，- -） 规律：2

2、、空间任意两点间的距离定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间任意两点间的距离. ABP1P2xyz由图：2222121BPABAPPP,21221xxAP,2122yyAB21222zzBP21221221221zzyyxxPP根据平面上两点间的距离公式可知：从而有：此即为空间任意两点间的距离公式. 222zyxOP),(zyxP)0 , 0 , 0(O特别地，任一点与原点的距离为：证明：22221123147MM1422232231275MM622213312354MM61332MMMM例1解：MBMA )914, 0 , 0(M点例2定义：xyzO3、曲面与方程例3) 1 , 2 ,

3、1 (1P) 3 , 1 , 2(2P求与两定点和等距离点的轨迹方程.222222312121zyxzyxPPPP21和等距离的点为，由空间两点间的距离公式得：1P2P),(zyxP解：设与点解：设与点依题意有042zyx化简得： 可以证明，所有空间平面都可以用三元一次方程表示； 反过来，任何一个三元一次方程的图形都是空间的一个平面。 由此称三元一次方程：0DCzByAx为平面的一般式方程。 几种常见的曲面方程： 2202020Rzzyyxx),(0000zyxM以点为球心，以R为半径的球面方程为：1球面方程：2椭圆柱面：方程12222byax表示椭圆柱面，当 a=b=R 时， 222Ryx中

4、不含z，即z可任取，在空间直角坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面. 3椭圆抛物面：22yxz4圆锥面：5双曲抛物面：6双曲柱面：7抛物柱面：222yxz22yxz12222byax022pyx二、多元函数1、多元函数的概念自变量的取值称为定义域；对应的函数值的集合称为值域。类似地，由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数.并先介绍一些相关概念. 其定义域：注意区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域.边境：围成区域的曲线称为边界. 邻域： ),(000yxp0),(yxp0p),(0pN把以点为圆心，为半径的组成的区域称为

5、点的邻域，记为圆内所有的点内点：若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D， 则称点 p 为区域 D 的内点. 外点：若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ，则称点 p 为区域 D 的外点. 边界点：若点 p 的任一个邻域内的点，既有属 于区域 D 的点，又有不属于区域 D 的 点，则称点 p 为区域 D 的边界点. 闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域.开区域：只有内点组成的区域称为开区域. 求函数21yxz的定义域. 例4解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式： 02 yx2 xy即：所以，其定义域D为： ,2Dx y yx例5 求函数的定义

6、域. )arcsin()ln(22yxyxz解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式组： 1022yxyx所以，其定义域D为： 22,0,1Dx y xyxy例6解：函数z在点 0 , 0处的函数值为： 函数z在点 aln, 0处的函数值为： 9800)0 , 0(00ef88ln0)ln, 0(ln0aaeafaxyzxyzOMP二元函数的几何意义：2、二元函数的极限与连续性1二元函数的极限1上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广到二元函数.注意3上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要

7、有两条路径极限不同，该函数极限就不存在. 求.11lim00 xyxyyx 例7解：一元函数求极限的方法中有分子解：一元函数求极限的方法中有分子(母母)有有理化的方法，该方法也适用于二元函数求极理化的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算限的运算.211lim1111lim11lim000000 xyxyxyxyxyxyyxyxyx例8kxxxkxkxxyxyxyxyxyx222002200limlimkkkxkkyx111)1 (1lim200（待续）（续）yxyxyxz222二元函数的连续性),(),(lim0000yxfyxfyyxx二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质，如连续函数

8、的和、差、积、商、复合仍是连续函数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等.因而，要求多元初等函数在其定义域内任一点处的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可. 求极限.32lim2221yxyxyx例9解：2212lim23xyxxyy122212 1 223 2yxxyz三、偏导数与全微分1、偏导数若xzxx0lim存在，则称此极限为zyxf,在点00, yx处对x的偏导数 计算方法：一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元函数求偏导数.显然，解：xfxfxzxyx2 , 12 ,1lim021xxxx4164116lim208例10（待续）yfyfyzyyx2 , 12 , 1lim02

9、1法二yyyy4162123lim207yxxz32 yxyz23 821yxxz， 721yxyz（续）解：xxyxyz22cos2xyx2cos23yxyxxyxxz22cos2sin22xyyxxyx2cos22sin22例11注意xzdxdy等为一整体记号，不象可视为分子分母之商解：1yyxxz， xxyzylnyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxxz2例12xyzOyxfz,0M0y0, yxfz xT0 xyTyxfz,0几何意义过点0M的切线有无穷多条，即一个平面，在这里仅两个方向的切线 注意又如：0 , 0 xf如：对于二元函数yxfz,，由于其偏导数仍是y

10、x,的函数，如果它们仍然对yx,可导，则称其为函数yxfz,的二阶偏导数 定义：,22xxxxzyxfxzxzxyyyyzyxfyzyzy,22xyxyzyxfyxzxzy,2,2yxyxzyxfxyzyzx2、高偏导数解：yyyxxz32233xxyyxyz239222xz26xyxyz219622yyxyxz219622yyx22yzxyx182333xz26y例13例14求函数xyxyzln2的二阶偏导数. ,12xyxzyxyyz12,1222xxzyyxz22,12222yxyzyxyz22解： 定理5.1：对于更多元或更高阶仍然成立.yxz2xyz2由上例，两个混合偏导数虽然求导次

11、序不同，其结果却相等，但是并非在所有情况下这个结论都成立。关于混合偏导数，有以下定理： 证明：22yxyyz22xz222222yxxxyx22222yxxy22yz222222yxyyyx22222yxyx例15全增量：3、全微分解：yxyz22xyxeyz212exzyx， 2122eyzyxdyedxedzyx221, 22:所以例17解：例16例18解：yzzeyyu2cos21， yzyezuyyxfxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(应用全微分进行近似计算：,xyfxx yyfx yfx yxfx yy dzz 这三个是常用的近似计算公式. 解：, 2y,04. 0

12、 x02. 0y1,yxfyxln ,yyfxx1,22,1,20 xyff02. 0004. 02108. 1例19四、多元复合函数与隐函数求导法则),(),(yxvvyxuu定理dtdvvzdtduuzdtdzzuvt1、多元复合函数求导法则链法则若函数 )(,twwtvvtuu在点t可导，wvufz,在点t对应点wvu,具有连续偏导数，则复合函数 )(,twtvtufz 在点t可导，且 有：zuvtwdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz同理设vufz,，yxuu,，yxvv,，则其复合函数 yxvyxufz,的偏导数有： zuvxyxv

13、vzxuuzxzyvvzyuuzyz推广注意答：zuvxywxwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz练习答：xymzuvnxmmuuzxzxnnuuzxmmvvzxnnvvzymmuuzyzynnuuzymmvvzynnvvz练习：答：xyzuxuuzxzxfyuuzyzyf练习：注意解：xvvzxuuzxz1cossinveyveuuyxyxyexycossinyvvzyuuzyz1cossinvexveuuyxyxxexycossinzuvxy例20解：xzzuxuxfyxzezyxsin222222222zyxxeyxyxeyxx2422sin22sin212yzzuyu

14、yfyxzezyxcos222222222zyxyeyxyxeyyxy2422sin4cossin2xyuz例21解：tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossin ttetettcossincostttetcossincoszuvt例22dxxvvzxuuzdyyvvzyuuzdvvzduuzdzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzdvvzduuz全微分形式的不变性即：dyyzdxxzdzdvvzduuzdz解：veddzusinvdvevdueuucossinxdyydx yxddv,dydx dydxveucosdxvevyeuucossindyvevxeuucossi

15、ndxyxyxyexycossindyyxyxxexycossin例23多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法类似，其实质都是应用复合函数的求导法则. 2、多元隐函数求导方法 0 xyzez求由方程所确定的隐函数),(yxfz .,yzxz的偏导数例24下面通过实例来求多元隐函数的偏导数.xzxyyzxzezxyeyzxzzxyexzyzz所以同理可得例2504222zzyx求由确定的函数),(yxfz yzxz,的偏导数 0422xzxzzxzxxz2zyyz2求偏导数得：x解：方程两边同时对所以：同理可得：五、多元函数极值函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义，在一元函数微分学中，用导数

16、来求函数的极值.现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题.由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似，为此只讨论二元函数的极值问题.1、极值证明：定理5.3定理5.4 (充分条件) 从上述定理得求极值的步骤：解：2426yyxfxyxxfy24620 , 0、4 , 0、2 , 3、0 , 6、4 , 6 4 32xyfxy262xxfyy例26续解：0 , 1、2 , 1、0 , 3、2 , 3 例27续解题的步骤和判定的方法注意：2、最值解：例28续引例 xOyDz),(yxfz 曲顶柱体的体积 六、二重积分xOyDz),(yxfz i、分割化整为零）xOyDz),(yxfz i、取近似

17、不变代变）xOyDz),(yxfz i、求和积零为整）xOyDz),(yxfz 、取极限无限逼近）定义5.10f x y dD,=lim, 01fiiiin (max, , ,ii12 3) 即：理解DdyxfV0,DdyxM0,几何意义：2.(,),f x yg x y df x y dg x y dDDD 二重积分的性质：DDdyxfdyxf,MdyxfmD,iiDfdyxf,xyOa x1 x2bxyO x1 x2ab二重积分的计算：xyO y2 y1dcxyO y2 y1dc假设zxyOyxfz,ab0 x x1 x20 xA01x02xyxfz,0如图：0201,00 xxdyyxf

18、xA xxdyyxfxA21, badxxAV baxxdxdyyxf21,由定积分的定义知，其面积为：同理 baxxdyyxfdx21,f x y dD, dcyydxyxfdy21, dcyydydxyxf21,积分过程： y2xyO y1dcxyOa x1 x2bX 型区域Y 型区域由此可知：xyO1D3D2DDxyO既X又Y 型区域非X非Y 型区域假设注意解法一，将其视为X型区域xyOxy 211xydD21dx21122dxyxx21322dxxx212448xx89xxydy1例29解法二，将其视为Y型区域221dy21222dyxyy21322dyyy21428yy89xydD2yxydxxyOxy 21解：如图