二项式定理题型大全

1、二项式定理题型大全1 .二项式定理:(ab)nC0anC：an1b|C；anrbr"C：bn(nN),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C；(r0,1,2,n).项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r1项C；anrbr叫做二项式展开式的通项。用1C；anrbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n1)项。顺序：注意正确选择a,b淇顺序不能更改。(a酎”与9a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n,是升哥排列。各项的次数和等于n.率数.注音F蹄区

2、八一麻式率数与工的率数一工而式率数依次杲C0C1C2CrCn工而的率和臬aGb的率和nn,n,n,n,n，abb(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令a1,bx,(1x)nC：C：xC：x2"IC；xr"IC；xn(nN)n0122rrnnn令a1,bx,(1x)CnCnxCnxgx(1)Cnx(nN)5 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0C：，-C：C：1二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0C：C2IIIC；WC：2n,变形式C1Cn2HICnWCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中

3、，令a1,b1,则C：CnC'C3(1)nC；(11)n0,IiTxzj,zg不c0c2c4c2rc1c3IIIc2r11。：。：1从而得到：CnCnCnCnCnCnCn_22奇数项的系数和与偶数项的系数和：(ax)nC0anx0(xa)nC0a0xn令x1,则a0a1令x1,则a0a1得,a0a2c1n1八2n2CnaxCna1Cnaxa2a2n1八22Cnaxcn0CnaxnnCnaxa3川an(a1)na3Wan(a1)n1a0a1xanxnHI(a1)n(a1)n（奇数项的系数和。得，aa3aslHan2a2x2a2x（a1）；（'"（偶数项的系数和）二项式系

4、数的最大项：如果二项式的哥指数HIanxn1a1xa0n是偶数时，则中间一项的二项式系数nCn2取得最大值。n1n1C3,0同时取得最大值。为A1，A2,An1,设第r1项系数最大，应有ArArAr,从而解出r来。A2如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数系数的最大项：求（abx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别题型一：二项式定理的逆用;例：C：C26C362UICn6n1.n00八1c八22233c3ncnr斛：(16)CnCn6Cn6Cn6|Cn6与已知的有一些差距)c1c20c32nn11(122nnCnCn6Cn6Cn6(Cn6Cn6Cn6)

5、1(C0C：6C262IIICnn6n1)1(16)n1=(7n1)666/六C123n1n练：Cn3Cn9Cn3Cn.解：设SnCn3Cn9C3III3n1C则3sC13C232C3330n3nC0C13c232C3330n3n1(13)n13SnCn3Cn3Cn3Cn3CnCn3Cn3Cn3Cn31(l3)1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式（a37）n的展开式中倒数第33项的系数为45,求含有x的项的系数?n2n900,解得n9(舍去)或n10,由n22解：由条件知Cnn245,即C：45,1210r2T-rg，由题意亲3,解彳'则含有X3的

6、项是第7项T61C*x3210X3,系数为210。练：求（x21）9展开式中x9的系数?2x解:TriC；(x2)9()r2xQ212故x9的系数为C；(-)32C9rx182r(l)rxrC；(l)x183r，令183r9,则r32221o2题型三：利用通项公式求常数项;2例：求二项式（x-4=）10的展开式中的常数项?2,x解：Tr1C1r0(x2)10r(21-)rC；0(；)rx202r，令205r一一818450,得r8,所以T9Cw(-)822561练：求一项式（2x）6的展开式中的常数项？2x解：Tr1C6（2x）6r（1）（二）r（1）rC；26r（l）rx62r,令62r2x

7、2练：若（x2l）n的二项展开式中第5项为常数项，则n.x1解：T5C：（x2）n4（，4C：x2n12,令2n120,得n6.x330,得r3,所以T4(1)3C；20题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（或我）9展开式中的有理项?11解：Tr1C；(x2)9(x3)r(1)丁令片Z,(0r9)得r3或r9,4,T4(1)3C3x484x4,39._3_3T10(1)C9xx°一，,27r所以当r3时，27L6,27r当r9时，273,6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若（口者）n展开式中偶数项系数和为256,求n.32x1n力亍）展开式

8、中各项系数依次设为xa0,a1,an,令x1,则有a。a1an0,，令x1,则有a。a1a2a3(1)nan将-得：2(aa3a5)2,a1a3a52n有题意得，2n125628,n9。练:的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。00224422ri1332r1cn1n1斛：CnCnCnCnCnCnCn2,21024,斛付n11所以中间两个项分别为n6,n7,T51式（机）6（5/）5462x4,T；1462x*题型六：最大系数，最大项；1例：已知（2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的2系数是多少？解：；C：C62C；

9、,n221n980,解出n7或n14,当n7时，展开式中二项式系数最大的项是1351T4和T5T4的系数C3（-）42335,丁5的系数C7（-）32470,当n14时，展开式中二项式系数最大的2221 rr项是丁8,T8的系数C；4（）7273432。2练：在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？x练：在（-2解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nlTn1,也就是第n1项。上）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?612C8(2)3x解：只有第5项的二项式最大，则n15,即n8,所以展开式中常数项为第七项等于2练：写出在（ab

10、）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有_34一3_43一4T4C7ab的系数最小，T5C7ab系数最大。1n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（12x）n的展开式中系数最大的项?2.012解：由CnC；C2Ar1ArAr1Ar2一一,H1179,解出n12,假设T一项最大，(鼻2x)12(-)12(14x)12rrr1r1r10,展开式中系数最大1212，化简得到9.4r10.4,又“0r12,C：24rC：214r1'的项为T11,有1（-）12C-041Ox1O168

11、96x10练：在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少？r_rr解：假设Tr1项取大，Tr1C102xArArArAr2C102C10：解得2(11r)r，化简得到6.3k7.3,又“0r10,C；。2rC；012r1,r12(10r)(r7,展开式中系数最大的项为T8C17027x715360x7.题型七：含有三项变两项;例：求当（x23x2）5的展开式中x的一次项的系数?2525_r25rr解法：(x3x2)(x2)3x,Tr1C5(x2)(3x),当且仅当r1时，Tr1的展开式中才有一次项，此时Tr1T2C5(x2-414_4_2)3x,所以x得一次项为C5C423x它的系数为C；C

12、：243240。解法：(x23x2)5(x1)5(x2)5(C；x5C5x4c5)(C0x5C5x42C；25)45-5故展开式中含x的项为C5xC524-4C5x2240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(13,一，2)的常数项?xx2)3(x)设第r1项为常数项，则Tr1C；(1)r1r()rlx(1)6C；x62r,62r0,r3,T31(1)3C320.题型八：两个二项式相乘;例:求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.解:(12x)3的展开式的通项是Cm(2x)mcm2mxm(1x)4的展开式的通项是C4(x)nC41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令

13、mn2,则m0且n2,m1且n1,m0,因此(12x)3(1x)4的展开式中x2的系数等于C；20C：(1)2c321C4(1)1C322C0(1)06.练:求(1次)6(14)10展开式中的常数项-x解:(1夜)6(1J)10展开式的通项为c6n-xmx万C1n0xc6nc1n°4m3n12x12其中m0,1,2,6,n0,1,2,10，当且仅当4m口em3n,即n0T或0,3T或4,6,8,练:时得展开式中的常数项为C0C100C；C40C：喘424611已知(1xx2)(x二)”的展开式中没有常数项,nN且2xn8,则n解:1c一，一.(x!尸展开式的通项为cnxxnrx3rc

14、nxn4r，通项分别与前面的三项相乘可得八rn4r-rn4r1八rn4rCnx,Cnx,Cnx9H.一“，一一2,I展开式中不含常数项,2nn4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.,.2时,s题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x西2006的二项展开式中，含x的奇次曷的项之和为S,当x解：设(x扬2006=a0a1x1a2x2a3x3|a2oo6x200620061(x22)=%&x23a?xa3xIIIa2006x2006-得2(aixa3x3a5x5|a峰x2005)(x历2006(x历2006（x回2006展开式的奇次曷项之和为S（x）1（x

15、V2）2006（x扬2006232006当x比时,S（、.2）1（比2006（“2五）2006。2300822题型十：赋值法；.1c例：设二项式（3次一）n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为S,若xps272，则n等于多少？解：若(3次1)na0a1xa2x2anxn,有Pa。aan,SC0Cn2n,x17（舍去）,令x1得P4n，又ps272，即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2nn4.n练:若3，.x1了的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?C；(3、.x)3(n的展开式中各项系数之和为2n64,所以n6,则展开式的常数项为540.练:若

16、(120092x)a012axa?x3a3xIII2009/a2009x(xR),则a12a222舞的值为解:令x11一,可得a0a1a2cc2a2009-20090,a1a2cc2a2009-2009a022222在令x0可得a0a2009220091.,入、554练：右(x2)a5xa4xa3x3a2x2a1x1a0,贝1Ja1a2a3a4a5解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,aa2a3ada§31.题型十一：整除性;2n2*.例：证明：38n9(nN)能被64整除证：32n28n99n18n9(81)n18n9cn118n1cn18nCnn；82n1n1

17、Cn18Cn18n90Qn1Cn18Cn18nn1Q20on11onCn188(nI)I8n9Cn18Cn18n1Q2Cn18由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1)2_11_(2)/210242、C03C；32C23ncn2、2、4nOr-1on.3、(v15k)20的展开式中的有理项是展开式的第项.,53、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1,则所求和为3

18、55、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数.5、21039.(1xx)(1x)(1x)(1x),要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C4(x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C9(x)作积，故x4的系数是C9C4135,6、求(1+x)+(1+x)+(1+x)10展开式中x3的系数*6、(1x)(1x)2(1x)10(1x)1(11(1x)1011山上1)(x1),原式中xx3实为这分子中的x4,则所求系数为C77、若f(x)m(1x)(1x)n(mN)展开式中，x的系数为21,问m、n为何值时，x2的系数最小?7、由条件得m+n=21,x2的项为Cm222221则CmCn(n万)399一一，.因nN,故当n=10或11时上式有4最小值，也就是m=11和n=10,或8、自然数n为偶数时，求证：m=10和n=11时,x2的系数最小*_1_2_3_412CnCn2CnCn2C；1Cn32n10_1_28、原式=(CnCnCnCnCn)(C1nC3CnCn1)2nn1n123.2_11、9、求80被9除的余数,9、8011(811)11C1(18111C118110C1081181k1(kZ),_11、.kZ,9k-1CZ,81被9除余&