二项式定理例题精讲学生版

1、二项式定理例题精讲1 .二项式定理：(ab)nC0anC：an1bLC；anrbrLC：bn(nN),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a0”的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,n),项数：共n+1项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r1项C；anrbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1Cnranrbr表示。3 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C：Cnnk.二项式系数和：令ab1,可得二项式系数的和为C0C：C；LC；LC：2、变形式CnCnLC：LCn2n1o奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和

2、：在二项式定理中，令a1,b1,则C：CnCnC3L(1)nCn(11)n0,HlYFf彳旦至c0c2c4c2rc1c3Ic2r110non1从用付到.CnCnCnCnCnCnLCn222n二项式系数的最大项：如果二项式的事指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n1n1如果二项式的事指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C了，&7同时取得最大值。系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别、-Ar1A为A1，A2,An1,设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。A1A2第1页共10页题型一：二项式定理的逆用;例:C：C：6c

3、362LCnn6n1解:(16)nC；cn6C262C363lc：6n练:_1_2CnCn_1_2Cn3Cnc：C3626C：9CnL62nnCn6LC；n1n3Cn题型二：利用通项公式求xn的系数;6n1n1)6(16)1C：6n)6(7n1)例：在二项式N1疗厂的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数?解：由条件知C；2n900,解得n9(舍去)或n10,由1Tr1C1；(x4)210r10r(x3)rC1°x,-10r2r由题意y2r3,解得r6,43则含有x3的项是第7项T61C160x3210x3,系数为210。练：求（x2二）9展开式中x9的系数?2x第2页

4、共10页题型三：利用通项公式求常数项;例：求二项式（x2上）10的展开式中的常数项？25一，一解：TriCix2）10rd）rCiro（1）rx?,，令20-r0,得r8,所以“C-）8%2.x222256练：求二项式（2x工）6的展开式中的常数项？2x1。练：若（x2）n的二项展开式中第5项为常数项，则nx题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式(jx3/xy展开式中的有理项？1127r解：Tr1c；(x2)9r(x3)r(1)rC；x=,令-Z,(0r9)得r3或r9,6所以当r3时，工4,T4(1)3C；x484x4,6当r9时，丝上3,T10(1)3C9x36题型五：奇

5、数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;例：若（&"与）n展开式中偶数项系数和为256,求n.解：设（x2展开式中各项系数依次设为3x2a0,a1,an第3页共10页令x1,则有a0aian0,，令x1,则有a0a1a?az(1)an2n，将-得：2(aa3a5)2,a1a3a52,有题意得，2n125628,n9。练：若(卢寸二了的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。题型六：最大系数，最大项;1例：已知(12x)n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最2大项的系数是多少？解：QC：Cn2C5,n221n980,

6、解出n7或n14,当n7时，展开式中二项式系数最大的项是1 351T4和T5T4的系数c73(1)42335,T5的系数C74(1)32470,当n14时，展开式中二项式系数最大2 221 rr的项是丁8,T8的系数C；4()7273432。2练：在(ab)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？第4页共10页练：在（x23x）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?练：写出在（ab）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?1C练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（12x）n的展开式中系数最大的项?2练：在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少?第5页共

7、10页题型七：含有三项变两项;例：求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数？解法：(x23x2)5(x22)3x5,Tr1C5(x22)5r(3x)，当且仅当r1时，Tri的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5(x22)43x,所以x得一次项为C5c：243x它的系数为C5C：243240。解法：(x3x2)(x1)(x2)(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)45544故展开式中含x的项为C；xC；25C；x24240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(x2)3的常数项?题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.解：Q(12x)3的展开

8、式的通项是C31(2x)m片2mxm,(1x)4的展开式的通项是C4(x)nC41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)42"左米Zr二pC0o0C22c1n1c11c2o2c00ox|dj东C32C4(1)C32C4(1)C32C4(1)o.第6页共10页练：求(1次)6(1J)10展开式中的常数项.,.X练：已知(1xx2)(x4)%勺展开式中没有常数项,nN*且2n8,则nx题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和;例：在(x扬2006的二项展开式中，含对奇次哥的项之和为S,当x匹ts.2006

9、123.2006小用牛：设(xv2)=a0axa?xa3xL82006x2006123,2006(xV2)=80a1xa2xa3xL82006x35.200520062006得2(axa3xa5xLa2005x)(xV2)(xV2)(x拒)2006展开式的奇次事项之和为S(x)l(x扬2006(xJ2)2006232006当x、21S(.2)1(、22)2006(.2,2)2006-22300822题型十：赋值法""例：设二项式(3荻l)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若x第7页共10页ps272，则n等于多少?解：若(3次1)na0a1xa2x2an

10、xn,有Paoai(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去)，x令x1得P4n，又ps272，即4n2n272n4.n的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?练：若(12x)2009a0a1x1a2x2a3x3La2009x2009(xR),则曳-af-222a200922009的值为练：若(x2)55a5x4a4x3a3x2a2x1axa0,则a1a?a3a4a5题型十一：整除性；例：证明：32n28n9(nN*)能被64整除证：32n28n99n18n9(81)n18n9C°Qn1C1QnCn1Q2CnQ1Cn1Cn18Cn18Cn18Cn18Cn18n9Cn18n1C：18nn1Q20Qn11QnCn188(nI)I8n9Cn18Cn18Cnn；82由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除第8页共10页练习：1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是2、C03C；32C23nC：3、(V53)20的展开式中的有理项是展开式的第项-54、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数.6、求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展开式中