微分在近似计算中的应用PPT精选文档

1、第八节第八节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用一、一、 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值二、二、 计算函数的近似值计算函数的近似值三三 、误差估计、误差估计, , 0)( )( 00很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若xxfxxfy ? , 05. 0 , 10 1问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径例例解解, 2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rr rrdAA 205. 0102 ).(14. 32厘厘米米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 一、计算函数增量的近似值一、计算

2、函数增量的近似值 例例2 有一批半径为有一批半径为1cm的球，为了提高球面的的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm。估计一。估计一下每只球需要铜多少克下每只球需要铜多少克(铜的密度是是铜的密度是是 )？3/9 . 8cmg解解 先求出镀层的体积，再求相应的质量。先求出镀层的体积，再求相应的质量。因为镀层的体积等于两个球体体积之差因为镀层的体积等于两个球体体积之差所以它就是球体体积所以它就是球体体积 当当 自自 取得取得增量增量 时的增量时的增量 ，我们求，我们求 对对 的导数的导数: , V 334RV R0RR VR,4)34(20300

3、RRVRRRR .420RRV 代入上式，得代入上式，得将将 0.01 1, 0 RR 附附近近的的近近似似值值在在点点求求0)( . 1xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x . 0330sin 3的的近近似似值值计计算算例例 o解解,sin)( xxf 设设)( ,cos)(为为弧弧度度xxxf ,360,60 xx).(13. 001. 0114. 3432cmV 于是镀每只球需用的铜约为于是镀每只球需用的铜约为).(16. 19 . 813. 0g 二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值 .23)6(,21)

4、6( ff)3606sin(0330sin o3606cos6sin 3602321 .5076. 0 附附近近的的近近似似值值在在点点求求 0 )( . 2 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令) ( 很很小小时时常常用用近近似似公公式式x; 111) 1 (xnxn 证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .11xn ; ) (sin)2( 为为弧弧度度xxx ); (tan)3( 为为弧弧度度xxx ; 1)4( xex . )1ln()5(

5、xx 解解 : 4 计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值例例.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做有误差，我们把它叫做间接测量误差间

6、接测量误差. , , 的的绝绝对对误误差差叫叫做做那那末末为为它它的的近近似似值值如如果果某某个个量量的的精精确确值值为为定定义义aaAaA . 的的相相对对误误差差叫叫做做的的比比值值而而绝绝对对误误差差与与aaaAa 问题问题: :在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得绝对误差与相对误差如何求得?三、误差估计三、误差估计 办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. . , , , , 的相对误差限的相对误差限叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过是是测得它的近似值测得它的近似值如果

7、某个量的精确值是如果某个量的精确值是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差与相对误差差与相对误差. .解解. ,4 . 05. 0 ,03.60 5 2的误差的误差，试估计面积，试估计面积计算圆钢的截面面积时计算圆钢的截面面积时利用公式利用公式的绝对误差限的绝对误差限测量测量设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径例例DAmmDmmDD 即即近似地代替增量近似地代替增量很小时，可以利用很小时，可以利用当当的对应增量的对应增量数数时所产生的误差就是函时所产生的误差就是函计算计算那么，利用公式那么，利用公式的增量的增量时所产生的误差当作时所产生的误差当作我们把测量我们把测量, . 4 , 2AdADAAADADDD .2DDDAdAA dAA DAD 2,05. 0 DD AA 由于由于 的绝对误差限为的绝对误差限为 , 所以所以m