用二分法求方程的近似解

1、 试求解下列方程：试求解下列方程： 1 1x22 x 10； 2 2x22 x 10； 3 3x33 x 10； 4 4ln x2 x 60；x121x ？ 一元二次方程一元二次方程 可以用公式可以用公式求根，有没有现成的公式用来求方程求根，有没有现成的公式用来求方程 x33 x 10和方程和方程 的根呢？的根呢？)0(02acbxax062ln xx 回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解（比如：精确到（比如：精确到0.010.01）呢？）呢？ 没有没有方程方

2、程 有实数根有实数根0)(xf函数函数 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点)(xfy 函数函数 有零点有零点)(xfy 求方程求方程 的实数根，就是确定函数的实数根，就是确定函数 的零点，也就是函数的零点，也就是函数 的图象与的图象与x轴的交点的轴的交点的横坐标横坐标)(xfy 0)(xf)(xfy 如果函数如果函数 在区间在区间 上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线，并且有一条曲线，并且有 ，那么，函数，那么，函数 在区在区间间 内有零点，即存在内有零点，即存在 ，使得，使得 ，这个，这个c也就是方程也就是方程 的根的根 )(xfy, ba0)()(bfaf)(xfyba,bac

3、,0)(xf0)(xf 判断函数的零点：判断函数的零点： 上节课已经知道，函数上节课已经知道，函数 在在区间（区间（2，3）内有零点现在问题的关键是如何找）内有零点现在问题的关键是如何找出这个零点？出这个零点？62ln)(xxxf 如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小，如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小，那么你会采取什么方法？那么你会采取什么方法？“取中点取中点” 第一次：取区间（第一次：取区间（2 2，3 3）的中点，算得：）的中点，算得： f（2.52.5）0.0840.084 因为因为f（2.52.5）f（3 3）0,0, 所以零点在区间（所以零点在区间（2.52.5，3 3）

4、内）内 第二次：取区间（第二次：取区间（2.52.5，3 3）的中点，算得：）的中点，算得： f（2.752.75）0.5120.512 因为因为f（2.52.5）f（2.752.75）0,0, 所以零点在区间（所以零点在区间（2.52.5，2.752.75）内）内 第三次：取区间（第三次：取区间（ 2.52.5，2.75 2.75 ）的中点，算得：）的中点，算得： f（2.6252.625）0.2150.215 因为因为f（2.6252.625）f（2.52.5）0,0, 所以零点在区间（所以零点在区间（2.52.5，2.6252.625）内）内2.52.752.625 如果重复上述步骤，那

5、么零点所在范围会继续如果重复上述步骤，那么零点所在范围会继续越来越小吗？越来越小吗？ 由于由于 ，零点范围确，零点范围确实缩小了实缩小了75. 2 , 5 . 23 , 5 . 23 , 2 这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间上的任意一复相同步骤后，将所得的零点所在区间上的任意一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为零点地近似值点作为零点地近似值 0.5122.750.5(2.5, 3) 0.2152.6250.25(2.5, 2.75) 0.0662.56250

6、.125(2.5, 2.625)-0.0092.531250.0625(2.5, 2.5625) 0.0292.5468750.03125(2.53125, 2.5625) 0.0102.53906250.015625(2.53125, 2.546875) 0.0012.535156250.0078125(2.53125, 2.5390625)-0.0842.51(2, 3)中点函数中点函数近似值近似值区间中点值区间中点值区间长度区间长度区间区间 当精确度为当精确度为0.010.01时，由于：时，由于：|2.5390625-2.53125|2.5390625-2.53125|0.0078125

7、0.010.00781250.01，62ln)(xxxf062ln xx所以，我们可以将所以，我们可以将x2.542.54作为函数作为函数 的零点的近似值，也即方程的零点的近似值，也即方程 根的近似根的近似值值 对于区间对于区间a,b上连续不断、且上连续不断、且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x),通过不断地把函数通过不断地把函数f(x)的零点所的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法（bisection） 函数零点的性质函数零点的性质是二分法求函数变号零点

8、近似是二分法求函数变号零点近似值的重要依据必须是满足区间值的重要依据必须是满足区间a,b上连续不断、上连续不断、且且f(a)f(b)0这两个条件的函数才能用二分法求得零这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值点的近似值 给定精确度给定精确度,用二分法求函数用二分法求函数f(x)f(x)零点近似零点近似值的步骤如下值的步骤如下: :1.确定区间确定区间a,b,验证验证f(a)f(b)0，给定精确度给定精确度；3. .计算计算 ； )(1xf2.求区间求区间(a,b)的中点的中点 ；1x （1）若）若f(x1)=0，则，则x1就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a) f(x1)0，

9、则令，则令b= x1（此时零点（此时零点x0(a, x1) );（3）若）若f(x1) f(b)0，则令，则令a= x1（此时零点（此时零点x0( x1,b);4判断是否达到精确度判断是否达到精确度，即若，即若|a-b| ，则得到零点，则得到零点近似值近似值a(或或b)，否则重复步骤，否则重复步骤24+2 3- 不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似的一个正的近似解解 .（精确到（精确到0.1）f(2)0 2x13- +2 2.5 3f(2)0 2x12.5- +2 2.25 2.5 3f(2.25)0 2.25x12.5- +2 2.375 2.5 3f(2

10、.375)0 2.375x12.5- +2 2.375 2.475 3f(2.375)0 2.375x12.4375 怎样理解是否达到精度要求了？怎样理解是否达到精度要求了？ 设函数的零点为设函数的零点为x0，则，则ax0b作出数轴，作出数轴，在数轴上标出在数轴上标出a、b、x0对应的点对应的点 所以所以0 x0-ab-a, a-bx0-b0ax0bx 由于由于| |a-b| |，所以，所以|x0-a|b-a, x0-b|a-b|， 即即a或或b作为函数的零点作为函数的零点x0的近似值都达到给的近似值都达到给定的精确度定的精确度 由函数的零点与相应方程根的关系，我们由函数的零点与相应方程根的关

11、系，我们可用二分法来求方程的近似解可用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算助计算器或计算机完成计算 在计算器或计算机中安装一个方程数值解在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依据程序进行运算了据程序进行运算了 例例 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求

12、方程2x+3x=7的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1） 解解 原方程即原方程即2x+3x-7 =0，令，令f(x)=2x+3x-7 ， 借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表值表x0123456 7 8f(x)-6-2310 21 4075142 273 观察图表，可知：观察图表，可知： f(1) f(2)0，说明这个函数说明这个函数在区间（在区间（1，2）内由零点）内由零点 例例 借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到的近似解（精确到0.10.1） 解解 原方程即原方程即2x+3x

13、-7 =0，令，令f(x)=2x+3x-7 ， 借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表值表 下面是求方程近似解的框图，根据框图，可选下面是求方程近似解的框图，根据框图，可选择一种计算机语言，写出程序，并在计算机上运行择一种计算机语言，写出程序，并在计算机上运行后得出结果后得出结果开始开始定义定义f（x）输入输入 ，x1 ， x2D?否否x2=x是是x1=x， y1=y否否，y= f（x），）， D| xx2 |221xxxy1f（x1）y=0 ?y1 y0 ?否否是是结束结束打印打印x是是用二分法解例题用二分法解例题21 2 3 4 5 6 7 8 9 1