汽车刹车距离数学建模

1、汽车刹车距离-数学建模桓台一中2010级31班曲庆渝辅导老师：崔禹摘要：由于本县近段时间某些司机因判断刹车距离失误而酿成交通悲剧，为使这一现象得到缓解，使交通出行更加安全，本文就通常所说的“2秒准则”展开讨论，建立数学模型，通过理论来估计实际问题。（由于“2秒法则”最初由北美流行而来，故以下部分数据采用美制即英制单位）关键词：2秒准则；刹车距离；反应距离；制动距离一、问题提出：背景：汽车驾驶员培训过程中的“2秒准则”是否有道理给出合理性解释：正常驾驶条件下：车速（在原车速基础上）每增加16千米/小时，则后车与前车之间的距离就应增加一个车身长度： 前车增加一个车身后车 作用：后车刹车的距离与后车

2、的车速有关，车速快，车子动能大，增加与前车的距离可以保证后车刹车的安全，不致于同前车相撞（尾追）。具体操作办法：“2秒准则” 增加一个车长的简便办法即“2秒准则”即，当前车经过某一标志时，后车司机开始计算2秒钟后也到达同一标志，不管车速如何，即可保证后车刹车时不致于撞上前车，即不至于发生“尾追”现象。（此“2秒准则”不管车速如何都可这样操作）后车2秒前车2问题：“2秒准则”的合理性的质疑：（1）“2秒准则”是否合理性假如汽车速度16千米/小时，计算2秒钟所行走的距离16千米/时4.44米/秒，故 “2秒”走过的路程为：S=4.44米/秒*2秒=8.88米而车身的平均长度为： 4.6米显然：2秒

3、准则走过路程8.88米>4.6米2个车身长度。所以“2秒准则”的合理性受到质疑， 为此要寻求更合理的刹车距离方案：（2）设计出合理的刹车距离方案二、建模机理分析与符号说明刹车机理分析：分析：刹车距离“”与时间“”的关系：刹车距离 = 反应距离 + 制动距离符号说明：反应距离= 司机决定刹车起到制动器开始起作用，这段时间汽车的行驶的距离制动距离= 以制动器开始起作用到汽车完全停止时刻，这段时间内汽车所行驶的距离。且：反应距离：由反应时间和车速所决定，而反应时间取决司机机灵视野程度：正常司机为常数，车速在反应时间内也是固定的速度（未改变）即：制动距离：由制动器作用力（制动力）、车重，车速（制

4、动时的初速度）有关，身外与道路气候等有关。三、模型假定：常识假定： （1）    人的反应时间为一个常数。（2）    在反应时间内车速不变。（3）    汽车的减速度基本上是一个常数。（4）    路面状况是固定的。（5）   刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和；（6）   反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1;（7）  刹车时间用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车

5、的质量m成正比。四、建模：构造模型 (1)由假设7 （物理动能定理）而 F=ma ,则 其中a为刹车减速度，是常数，则令k=1/2a,有 （2）则刹车距离与速度的模型为 （3）其中（反应时间）根据经验取0.75秒 ，利用物理知识来确定常数k五、模型求解与参数估计：根据常识，橡胶轮胎与沥青路面间动摩擦因数为=0.71，所以汽车刹车后所受摩擦力：f=mg，故汽车车轮完全抱死后，其减速度a=f/m=g，代入数值得：a=6.958，所以常数k的值为1/2a即0.07186.所以可得汽车刹车距离d与时间t的关系为：d=0.07186v2+0.75v现用实际数据来检验这个公式车速与刹车距离车 速（英里/小

6、时）车 速（英尺/秒）实际刹车距离(英尺) 计算刹车距离(英尺)刹车时间 (秒)2029.342(44)43.981.53044.073.5(78)82.451.84058.7116(124)131.922.15073.3173(186)192.372.56088.0248(268)263.823.070102.7343(372)346.253.680117.3464(506)439.684.3经检验，公式真实可靠。六、模型应用决策方案由“2秒准则”应改为“t秒准则”与车速有关（在车速不超过120公里/时的情况下），：在不同车速情况下，后车司机从前车司机经过某一标志开始默数（计数）t秒后到达同

7、一标志时是安全的，为更加准确，对于t给出以下表格：车速（千米小时）0161664649696128计数秒t：总结出以下结论：一、考虑到车速范围大致在1664千米/时内，因此，由表得“2秒准则”一般是有效的。二、考察误差，发现当车速不超过104.6千米/时，实际值都微小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随车速增加误差会越来越大。这说明本模型仅适用于较低的车速范围内，当车速更高时，模型解答就不会令人那么信服。参考文献1赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000.2Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox.数学建模(叶其孝，姜启源等译）.北