Ch12.8-9(波包和非线性)

1、1. 波包：不同频率简谐波的叠加，形成波包波包：不同频率简谐波的叠加，形成波包(复波复波)。)cos(111xktAy 111111/22uuk )cos(222xktAy 222222/22uuk 两列波的合成波：两列波的合成波：21yyy 6-8 波包和非线性波波包和非线性波一、波包与群速度一、波包与群速度它不再是简谐波，而是更复杂的波（能传递信号）。它不再是简谐波，而是更复杂的波（能传递信号）。设有两列沿设有两列沿X轴正向传轴正向传 播的简谐波：播的简谐波：)22cos()22cos(221212121xkktxkktA )2cos()2cos(2coscos ，221 令：令：221

2、g，221kkk ，221kkkg )cos(2xktAAggg )cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 则合成波可写为：则合成波可写为： 上式可看成上式可看成是是振幅振幅 以以频率频率 缓慢缓慢变化着，而变化着，而各各质元以频率质元以频率 迅速迅速振动振动着的着的波。波。gAg XY频率比为频率比为 3:1 两列简谐波的合成两列简谐波的合成复波复波某时刻某时刻kdtdxu 如果忽略两成分波的相速度的差别，如果忽略两成分波的相速度的差别， 21kkk 21这一相速度也就等于成分波的相速度。这一相速度也就等于成分波的相速度。；constxktgg kkkkdtdxuggg

3、 21212. 相速度相速度 、群速度、群速度* 群速度是复波振幅包络线对应的相的运动速度：群速度是复波振幅包络线对应的相的运动速度：振幅包络线称为振幅包络线称为波包或波群波包或波群。* 合成波的相等于常数合成波的相等于常数 时，在空间时，在空间移动的速度定义为复波的相速度：移动的速度定义为复波的相速度：)(constxkt 携带和传递信息的是波包的振幅，携带和传递信息的是波包的振幅，即即群速度是能量的传播速度群速度是能量的传播速度。不同的频率或不同波长的光波具有不同的颜色，不同的频率或不同波长的光波具有不同的颜色，它们有不同的相速，相应有不同的折射律，称它们有不同的相速，相应有不同的折射律，

4、称为为色散现象色散现象。显然波的色散是由媒质特性决定。显然波的色散是由媒质特性决定。在在 和和 很接近的极限情况下很接近的极限情况下，群速度，群速度1 2 dkdug 代入代入 得：得：uk dkdukuug 0 dkdu0 dkdu3. 色散色散相速相速 u 与波长与波长 无关的，称为无关的，称为非色散媒非色散媒质。质。如在媒质中传播的弹性波。如在媒质中传播的弹性波。k 2 反之相速反之相速 u 与波长与波长 有关为有关为色散媒质。色散媒质。k 2 uug uug 相速相速群速群速通常，称通常，称 为色散关系，由它可以求出群速度为色散关系，由它可以求出群速度)(k 所以，随着时间的推移，波包

5、将会逐渐所以，随着时间的推移，波包将会逐渐扩散开去，即波包的宽度将逐渐增大。扩散开去，即波包的宽度将逐渐增大。dkdukuug dduuug guuddu 0 群速小于相速，称为正常色散；群速小于相速，称为正常色散；guuddu 0 群速大于相速，称为反常色散；群速大于相速，称为反常色散；代入代入 得：得：uk dkdukuug 2 k 或或 二、非线性效应对波动的影响二、非线性效应对波动的影响* 恢复力与媒质形变成正比，因此波动方程为线性，恢复力与媒质形变成正比，因此波动方程为线性，且遵从叠加原理。同时，且遵从叠加原理。同时，波的传播速度只与媒质的波的传播速度只与媒质的性质有关性质有关，与振

6、动状态无关与振动状态无关。* 当考虑非线性项，当考虑非线性项，导致媒质中各点的波速与质元导致媒质中各点的波速与质元的位移大小和正负有关的位移大小和正负有关；波形随着传播距离的增大；波形随着传播距离的增大而发生越来越大的畸变。原来的简谐波可以变成非而发生越来越大的畸变。原来的简谐波可以变成非简谐波，即高频谐波将积累增强，形成冲击波。简谐波，即高频谐波将积累增强，形成冲击波。)cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 如：如：* 非线性波的另一个性质是叠加原理不成立。非线性波的另一个性质是叠加原理不成立。* 非线性效应使媒质对低频波的吸收也增大。非线性效应使媒质对低频波的吸收也

7、增大。因为媒质对波的吸收通常随波的频率增高而增因为媒质对波的吸收通常随波的频率增高而增大，所以，通过媒质后留下的主要是低频波。大，所以，通过媒质后留下的主要是低频波。通常，称通常，称 为色散关系（为色散关系（色散效应色散效应）。）。)(k 非线性动力学方程导致媒质中各点的波速不非线性动力学方程导致媒质中各点的波速不同与质元的位移大小和正负有关，称之为媒质同与质元的位移大小和正负有关，称之为媒质对大振幅波对大振幅波非线性效应非线性效应。 孤子具有定域性、稳定性、是完整性的孤波孤子具有定域性、稳定性、是完整性的孤波。（所谓（所谓完整性完整性指当两个孤波发生碰撞后仍然指当两个孤波发生碰撞后仍然能保持

8、原来的形状、速度各自传播能保持原来的形状、速度各自传播)。近年来，。近年来，在各种不同的学科领域中，理论和实验中都在各种不同的学科领域中，理论和实验中都出现了孤子的这种运动形态，例如流体中的出现了孤子的这种运动形态，例如流体中的涡旋、超导体中的磁通量子、激光在媒质中涡旋、超导体中的磁通量子、激光在媒质中的自聚焦以及神经系统中信号的传递等等。的自聚焦以及神经系统中信号的传递等等。 是在媒质中大振幅波的非线性效是在媒质中大振幅波的非线性效应以及媒质的色散效应的共同影响应以及媒质的色散效应的共同影响下，所形成的一种特殊的波。下，所形成的一种特殊的波。即在即在一定的条件下，一定的条件下，色散效应与非线

9、性色散效应与非线性效应所产生的影响相互抵消时，波效应所产生的影响相互抵消时，波峰的形状在传播过程中保持不变，峰的形状在传播过程中保持不变，便形成了孤波。便形成了孤波。孤波孤波孤子孤子三、孤波与孤子三、孤波与孤子6-9 非线性振动非线性振动 混沌混沌一、自激振动一、自激振动1. 定义：定义：用单向力来激励的振动用单向力来激励的振动。如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的小夜曲，如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的小夜曲，自来水管的振动，挂钟发出的嘀嗒嘀嗒的声音自来水管的振动，挂钟发出的嘀嗒嘀嗒的声音. 自激振动把单方向运动的能量转化为周期性振自激振动把单方向运动的能量转化为周期性振荡的能量，这种转

10、化需要靠非线性机制来实现。荡的能量，这种转化需要靠非线性机制来实现。2. 两个典型的例子两个典型的例子(1) 干摩擦引起的自激振动：干摩擦引起的自激振动：不加润滑油的两物体相不加润滑油的两物体相互摩擦时发出的尖叫声，弦乐器奏出的悦耳琴声。互摩擦时发出的尖叫声，弦乐器奏出的悦耳琴声。0v传送带传送带干摩擦的自激振动实例干摩擦的自激振动实例kmsxt张驰振动曲线张驰振动曲线 传送带以恒定的速度前进，计在另一端固定的弹传送带以恒定的速度前进，计在另一端固定的弹簧上的物体受传送带摩擦力的作用而向前移动，与簧上的物体受传送带摩擦力的作用而向前移动，与此同时，弹簧被拉伸，当弹簧的拉力超过最大静摩此同时，弹

11、簧被拉伸，当弹簧的拉力超过最大静摩擦力时，该物体突然向后滑动，于是弹簧缩短，向擦力时，该物体突然向后滑动，于是弹簧缩短，向后拉物体的力减少，直到传送带又将它带动向前为后拉物体的力减少，直到传送带又将它带动向前为止，如此周而复始地形成振荡。止，如此周而复始地形成振荡。(2) 由机械控制的自由机械控制的自激振动：激振动：钟表、蒸钟表、蒸汽机或内燃机的调汽机或内燃机的调速器速器如：老式钟表由三如：老式钟表由三部分组成：部分组成：(1) 振动系统振动系统摆摆 自激振动和受迫振动不同，它是在非洲凄厉的激自激振动和受迫振动不同，它是在非洲凄厉的激励下作具有确定振幅和频率的持续振荡，这只有在励下作具有确定振

12、幅和频率的持续振荡，这只有在非保守的、非线性的系统中才能发生。非保守的、非线性的系统中才能发生。自激振动可分为硬激励和软激励两种自激振动可分为硬激励和软激励两种表面上看起来，与受迫振动情况类似，钟摆受到的表面上看起来，与受迫振动情况类似，钟摆受到的冲击力也是周期性的。其实，这个周期是由摆本身冲击力也是周期性的。其实，这个周期是由摆本身决定的，是一种自激振动。决定的，是一种自激振动。(3) 擒纵机构擒纵机构(2) 恒定能源恒定能源降落的重锤降落的重锤(或发条或发条)和与之相连的和与之相连的棘轮棘轮 A二、混沌二、混沌 Chaos物理学物理学经典物理经典物理现代物理现代物理力学力学热学热学电磁学电

13、磁学光学光学相对论相对论量子论量子论非线性非线性时间时间 t关关键键概概念念的的发发展展力学力学电磁学电磁学热学热学相对论相对论量子论量子论1600 1700 1800 19001. 人类对自然界的认识人类对自然界的认识 实际上力学所给出的完全可逆的和有确定解的世实际上力学所给出的完全可逆的和有确定解的世界图像，只是一种极为罕见的世界图像。界图像，只是一种极为罕见的世界图像。 20世纪初，彭加勒就发现力学无法精确处理世纪初，彭加勒就发现力学无法精确处理“三体问题三体问题”。1963年美国气象学家发现，天气从年美国气象学家发现，天气从原则上讲不可能做出精确的预报。此后就开始了对原则上讲不可能做出

14、精确的预报。此后就开始了对混沌的研究。混沌的研究。2. 混沌：混沌：通常指错综复杂、杂乱无章的状态通常指错综复杂、杂乱无章的状态 20世纪八十年代以来，人们着重研究系统怎样世纪八十年代以来，人们着重研究系统怎样从有序进入混沌以及混沌的性质和特点，得出了从有序进入混沌以及混沌的性质和特点，得出了一些有重要意义的结果。一些有重要意义的结果。 对由非平衡态进入混沌的道路和机制，研究比对由非平衡态进入混沌的道路和机制，研究比较透彻的有以下三种：较透彻的有以下三种：(1) 倍周期分岔进入混沌倍周期分岔进入混沌 系统运动变化的周期行为是一种有序状态。一个系系统运动变化的周期行为是一种有序状态。一个系统，在一定的条件下，经过周期加倍会逐步丧失周期统，在一定的条件下，经过周期加倍会逐步丧失周期行为而进入混沌。行为而进入混沌。(2) 阵发混沌阵发混沌 系统从有序向混沌转化时，在非平衡非线性的系统从有序向混沌转化时，在非平衡非线性的条件下，某些参数的变化达到某一临界阈值时，系条件下，某些参数的变化达到某一临界阈值时，系统会时而有序，时而混沌，在两者之间振荡。有关统会时而有序，时而混沌，在两者之间振荡。有关参数继续变化，整个系统会由阵发性混沌发展为混参