第九章-自旋-zl-new

1、第9章 自旋 Quantum Mechanics第九章第九章 自旋自旋教学内容教学内容第1页1 电子自旋态与自旋算符2 总角动量的本征态3 碱金属原子光谱双线结构、反常Zeeman效应4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态第9章 自旋 Quantum Mechanics1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符电子自旋存在的实验事实电子自旋存在的实验事实第2页在讨论电子在磁场中的运动时，发现电子具有轨道磁矩如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为如磁场方向在z方向显然V是量子化的，它取(2l+1)个值.在较强的磁场(105Gs），发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的

2、存在，能很好地解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。第9章 自旋 Quantum MechanicsStern-Gerlach实验（1922年）第3页（1）实验描述（2）结论:I.I.银原子有磁矩银原子有磁矩. .因在非均匀磁场因在非均匀磁场中发生偏转中发生偏转; ;II.II.银原子磁矩只有两种取向银原子磁矩只有两种取向, ,即空即空间量子化的间量子化的. . S 态的银原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。（3）讨论当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁

3、矩，那在磁场中的附加能量为Z处于处于 S S 态的态的原子原子NS第9章 自旋 Quantum Mechanics第4页cos.UBBB 其中，原子磁矩为 ，外磁场为cosdBFUdz 如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度即不均匀，则受力 从经典观点看cos取值（从 -1+1）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而连续取值。感光板将呈现连续带。但是实验结果是：出现的两条分立线，处于 S 态的原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。与自旋磁矩相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一新的动力学变量。第9章 自旋 Quantum Mechan

4、ics电子自旋存在的其他证据A碱金属光谱的双线结构第5页钠原子光谱中有一谱线，波长为5893。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成 D1=5895.93 , D2=5889.95 其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释.3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释 。钠D1和D2的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条。这种现象称为反常塞曼效应。B反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）第9章 自旋 Quantu

5、m Mechanics电子自旋假定根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）1925年根据上述现象提出了电子自旋假设第6页（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr Bohr 磁子磁子第9章 自旋 Quantum Mechanics回转磁比率第7页（1）电子回转磁比率2LeeLm c 轨道角动量与轨道磁矩的关系是：S zzeeSm c （2）轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：2eem c可见电子回转磁

6、比率是轨道回转磁比率的二倍以e/2mec单位，则gs=2（而gl=1）.电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符自旋算符 已知通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数第8页),(prFF 由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为假设：自旋算符S有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系:,ijijkkL LiL 对比轨道角动量的关系第9章 自旋 Quantum

7、 Mechanics由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 /2 两个值第9页所以zyxSSS的本征值都是 /2/2，其平方为 /2/22 2算符的本征值是2S2432222zyxSSSS仿照22) 1( llL2124322) 1(sssS自旋量子数 s 只有一个数值第9章 自旋 Quantum Mechanics含自旋的状态波函数含自旋的状态波函数第10页因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：),(tSzyxz 由于 SZ 只取 /2 两个值， 所以上式可写为两个分量：写成

8、列矩阵若已知电子处于Sz = h/2或Sz = -h/2的自旋态，则波函数可分别写为： ),(00),(212121trtr 旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符的矩阵表示与自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵（1）SZ的矩阵形式第11页选Sz作为力学量完全集，即取Sz表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值11,22zS S相应的本征矢,zsssSS mmS m第9章 自旋 Quantum Mechanics在Sz表象中Sx,Sy的矩阵表示矩阵元：只要将Sx,Sy作用于Sz的基矢并以Sz基矢展开，从展开系数来获得第12页

9、,zxySSSSSiS ,(),(1),zszsssS SS mSSS mmSS m,1ssSS mS m,1ssSS mA S mS+|S,ms和S+|S,ms 标积,sssSS mS mSS m S2 ,ssS m S SS mA第9章 自旋 Quantum Mechanics第13页22222(1),xyzxyzSSSSS SSSi S同理可得同理可得 22222222 ,(1)()(1)ssszzsssssAS m S SS mS m SSSS mS SmmSmSm,1ssSS mA S m()(1)ssASmSm即第9章 自旋 Quantum Mechanics第14页()2xabS

10、cd令1 1112 22 22xS111 1222 2 2xS1 1112 22 22111 1222 2 2yyiSiS 第9章 自旋 Quantum Mechanics第15页sincossinsincosnxyzSSSS对于 S 在 n(,) 方向上的分量为 cossin2 sincosinieSecos2,2sin2nimesin2,2cos2inem 则本征矢第9章 自旋 Quantum MechanicsReviewReviewStern-Gerlach实验, 碱金属光谱的双线结构, 反常塞曼效应第16页G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）电子

11、自旋假设每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值; 每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为自旋是电子内禀属性，无经典对应，是一个新的自由度。旋量波函数，自旋算符。第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符第17页(I) Pauli 算符的引进2S 令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式2SSi Si对 易 关 系 ：因为Sx, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是1。即：即：2221xyz222xyyxzyzzyxzxxzyiii 分 量 形 式 ：第9章 自旋 Quantum

12、 Mechanics第18页 000zxxzyzzyxyyx 基于的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系:反对易关系证：xyzzyi2xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 xyyzyzi 2 0 xyyx xyyx 由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质： yzxxzxyzzyzxyyxiii 第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符的矩阵形式第19页xabcd令zxxz10100101a ba bc dc d aba bcdc d 即00ad有00 xbc*000000 xx

13、bbcccb 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：c = exp-i (为实），则 00*ccx 第9章 自旋 Quantum Mechanics第20页 yzxyzxii 由出发习惯上取= 0， 于是得到Pauli算符的矩阵形式为：0101010001xyzii从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：0101010001222xyziSSSi第9章 自旋 Quantum Mechanics课本练习：1. 证明第21页其中A, B是与对易的任何两个矢量。利用此式证明2. 设算符A和对易，证明第9章 自旋 Quantum Mechanics例例: :求

14、求y y的本征值，本征矢在的本征值，本征矢在z z表象中表示。表象中表示。 z z和和y y之之间的变换矩阵。间的变换矩阵。第22页解：解：对于两表象变换对于两表象变换 A B, SA B, Sbaba=。显然，。显然，S Sbaba ，实为，实为A A表象基表象基矢矢|a|a在在B B表象中的表示。表象中的表示。在z表象中101,1,01ssmm 在z表象中，已知y的表示为1111,1,122ssimmi 从而， z与 y表象间变换矩阵为第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋波函数第23页对于Sz的本征方程为 由于Sz的本征值仅取 /2, ms= 1/2 。在其自身表象 而相应

15、本征态的表示为是Sz的本征值为+/2 的本征态在Sz表象中的表示， 是Sz的本征值为-/2 的本征态在Sz表象中的表示。显然 ,正交，0(10)01 第9章 自旋 Quantum Mechanics第24页若是归一化的，则 |a1/2|2 为以 描述的电子处于Sz=/2的几率，即自旋向上和向下的几率。 而a1/2和a-1/2可由,与标积获得1/21/21/21/21/2(10)(01)aaaaa 对于任何一在Sz表象中，其表示为旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanics2 总角动量的本征态总角动量的本征态电子自旋是一种相对论效应第25页可以证明，在中心力场V(r) 中运动的电子

16、的相对论波动方程（Dirac方程），在过渡到非相对论极限时， Hamilton量中将出现一项自旋-轨道耦合项（Thomas项）2211(),()2d VrSLrcrd r为电子质量，c为光速。在处理正常Zeeman效应时因外加磁场很强，自旋-轨道耦合项相对来说是很小的，可以忽略。但当所加磁场很弱，或没有外场的情况，这项作用对能级与光谱带来的影响（精细结构），就不应忽略。碱金属元素光谱线的双分裂及反常Zeeman效应都与此有关。第9章 自旋 Quantum Mechanics电子的总角动量算符当计及自旋-轨道耦合作用之后，轨道及自旋角动量分别都不再是守恒量，因为第26页 ,0 ,0L S LS

17、S L 定义矢量算符，即(, , )JLSJLSx y z则可以证明，在中心力场中电子总角动量J为守恒量。考虑到L和S分别属于不同自由度，因此相互对易，即 , ,()xyzxyxyzzJJLLSSiLSi J,0( , , )LSx y z 类似地还可证明其余类似的对易关系，第9章 自旋 Quantum Mechanics第27页22,0,0,0,0,0,0zzJ SLHJJSLHJLSLH L容易证明因此，在中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集(H,L2 ,J2,Jz) 的共同本征态。空间角度部分和自旋部分的波函数可选为的(L2 ,J2,Jz)共同本征态，此共同本征态在(,Sz)

18、表象中可表示为12( , )( , ,2)( , ,)( , )( , ,2)zS 如何求解该态呢？如何求解该态呢？第9章 自旋 Quantum Mechanics中心力场中电子的能量本征态(L2 ,J2,Jz) 的共同本征态。此共同本征态在(,Sz) 表象中可表示为第28页12( , )( , ,2)( , ,)( , )( , ,2)zS （1）要求是L2 的本征态，即2112222,LCLCLC所以，1与2 都应是L2的本征态，但对应相同本征值。（2）要求为 Jz 的本征态111112222210,012zzzzJjLj1122() ,()22zzzzLjLj所以，1与2 都应是Lz的本

19、征态，但对应本征值相差。1( , ,)lmzlmaYSbY 这样就保证了它是L2 与Jz的共同的本征态，本征值分别为l(l+1) 2和(m+1/2)。第9章 自旋 Quantum Mechanics第29页（3）J2的本征态。1( , ,)lmzlmaYSbY 2222223()2()4xxyyzzJLSLSS LLLLL 22223434ZxyZLLLLLiLLLL2211lmlmlmlmaYaYJbYbY1()(1)lmlmL Ylm lmY代入本征方程：代入本征方程：1113 (1)()(1)43()(1) (1)(1)4lmlmlmlmlmlml lm aYlm lmbYaYlm lm

20、aYl lmbYbY3 (1)()(1)043()(1) (1)(1)04l lmal m l mbl m l mal lmb 上式两边分别乘以Y*lm,Y*lm+1 对(,)积分后得第9章 自旋 Quantum Mechanics第30页这是确定a和b的线形齐次方程，有非平庸解的充要条件是 3(1)()(1)403()(1)(1)14l lmlm lmlm lml lm 3 (1)()(1)043()(1) (1)(1)04l lmalm lmblm lmal lmb解出的两个根得求出本征值后，再求本征矢(1) ()1 2,almlmbjl对() (1)1 2,jlalmlmb 对22112

21、2|()|(1)21(1)|1()()lmlmlmlmaYa Yb YabbYlmlbblmlm 21121bl - mlalml第9章 自旋 Quantum Mechanics第31页1111( , ,)2121211lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY 11111( , ,)212121lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY (a) 对于j=l+1/2情况，(b)对于j=l-1/2情况（l0）2222(1),(1),(1 2)(,1 2,1 2 (),0)jzl lj jmmjlllL JJ 它们是的共同本征态 相应的本其中征值分别为-第9章 自旋 Quantum

22、 Mechanics第32页mj的可能取值：A. j=l+1/2: mmax=l, mmin=-(l+1)，所以m的 可能取值为1,2,.,1,llll B. j=l-1/2: l0, mmax=l-1（当m=l时，=0 ）, mmin=-l（当m=-l-1时，=0）, 所以m的可能取值为1 2,3 2,.,3 2,1 2,1,.,1(2,1)jllllmj jjjj 即共个可能取值。而mj=m+1/2相应的可能取值为： m = m = l, l-1, , 0, , -(l+1）mmj j = m+1/2 = = m+1/2 = l+1/2, l-1/2, , 1/2, , -(l+1/2)

23、= j, j-1, , 1/2, , -j 共2j+1个可能取值。第9章 自旋 Quantum Mechanics第33页(2) (2) j=l-1/2(l(l00) )情况，情况，mj=m+1/2注意：l=0 时，不存在自旋轨道耦合，总角动量就是自旋角动量，j=S=1/2,mj=ms=1/2 。波函数可表示为(1)(1) j=l+1/2情况，情况，mj=m+1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics课本练习1. 证明 是 的本征态，并求出本征值。提示： 利用可求得第34页2. 求 在 态下的平均值。第9章 自旋 Quantum Mechanics3 碱金属原子光谱双线结构、反常碱

24、金属原子光谱双线结构、反常Zeeman效应效应碱金属原子光谱的双线结构Hamilton 量第35页考虑自旋轨道耦合SLrSLdrdVrcH )(12122 SLrrVHHH )()(2220 由于 H 中包含有自旋-轨道耦合项，所以 Lz, Sz与 H 不再对易。二者不再是守恒量. H的本征态可以选为对易守恒量完全集（H, L2, J2, Jz ）的共同本征态，因为其相应的力学量算符 L2, J2, Jz 都与 H 对易的缘故。碱金属原子有一个价电子，原子核及内层满壳电子对它的作用，可近似用一个屏蔽库仑场V( r )描述。碱金属原子的低激发能级是由价电子激发而来。第9章 自旋 Quantum

25、Mechanics第36页薛定谔方程守恒量的完全集可选为 ( H,L2,J2,Jz)。利用上节的结果，角度部分及自旋部分波函数可选为 ( L2,J2,Jz ) 的共同本征态 ljmj 。令( , , ,)( )( , ,)jzljmzrSR rS 代入薛定谔方程2222221()( )2( )LrV rErrrrr S L 第9章 自旋 Quantum Mechanics第37页利用利用2221,322 (1)(1)241(1),22jjjjljmljmljmljmljlS Lj jl lljl (1)l 薛定谔方程化为：222222(11(/21)( ) ()(2,)22ddl lrV rR

26、 rER rr drrrlljdr 对222222(1)( )21(1)( ) ( )( )1/222,ddl lrV rR rER rr ddrllrrjr 对当V( r )给定后(r) 也就给定，可以求解上列方程，得到能量本征值，它与量子数(n,l,j) 有关，记为Enlj ，能级是(2j+1)重简并。第9章 自旋 Quantum Mechanics第38页在原子中， V(r)0 ，所以(r)0 ，因此1 21 2nljlnljlEE 即 j=l+1/2 能级略高于j=l-1/2 能级，但是由于自旋轨道耦合项较小，所以，两条能级很靠近，这就是碱金属双线结构的由来。1 21 2nljlnlj

27、lEEE 计算结果表明，自旋轨道耦合造成的分裂,随原子序数Z增大而增大。对于碱金属原子，锂(Z=3)的双线分裂就很小,不易测出。从钠原子(Z=11)开始就比较显著.第9章 自旋 Quantum Mechanics第39页第9章 自旋 Quantum Mechanics反常塞曼效应（一）实验现象第40页塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。 （1 1）正常塞曼效应正常塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂为三条的现象。在强磁场作用下，光谱线的分裂为三条的现象。 （2 2）反常塞曼效应：反常塞曼效应：当外磁场较弱，轨道当外磁场较弱，轨道- -自旋相互作用不能忽略时，将产自旋

28、相互作用不能忽略时，将产生反常塞曼效应。生反常塞曼效应。（二）氢、类氢原子在外场中的附加能取外磁场方向沿 Z 向，则磁场引起的附加能为：第9章 自旋 Quantum Mechanics第41页考虑强磁场, 忽略自旋-轨道相互作用，体系薛定谔方程：22( )(2)22zzeBVrLSEc 已知没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：1122112200 或代入S方程2112( )(2)0022zzeBV rLSEc11002zS2112( )()0022zeBV rLEc 最后得 1 满足的方程2211( )()22zeBV rLEc 同理得 2 满足的方程2222( )()22zeBV rLEc

29、 第9章 自旋 Quantum Mechanics第42页（1） 当 B=0 时（无外场），是中心力场问题，方程退化为不考虑自旋时的情况。),()(21 lmnlnlmYrR I. 对氢原子情况II.对类氢原子情况如 Li，Na，等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时能级不仅与 n 有关，而且与l 有关，记为E nl求解薛定谔方程22( )2nlmnlmV rE 第9章 自旋 Quantum Mechanics第43页( )( , )( )( , )( )( , )znlmznllmnlz lmnllmnlmLL Rr YRr LYm Rr Ym （2） 当 B 0 时（有外场）时所

30、以在外磁场下，n m 仍为方程的解，此时22( )()22znlmnlmeBV rLEc 22( )()22nlmnlmnlmeBV rmEc (1)2nlnlmnlmnlme BEmEc(1)22nlze BEEmSc对同理(1)22nlze BEEmSc对正常塞曼效应(1)22(1)22nlznlmnlze BEmScEe BEmSc 对对第9章 自旋 Quantum Mechanics第44页（1）在外磁场下，能级与 n, l, m 有关。原来 m 不同，能量相同的简并现象被外磁场消除了。（2）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于 S 态时， l = 0, m = 0 的原能级

31、En l 分裂为二。 )2(2)2(20000znznnnlmScBeEScBeEEE 这对应着 SternGerlach 实验所观察到的现象。讨论：第9章 自旋 Quantum Mechanics第45页在强磁场中，原子光谱发生分裂（一般为3条）称为正常Zeeman效应。对于正常Zeeman效应，不必考虑电子自旋就能说明。设外加磁场方向取为z轴方向，按照前面的讨论，碱金属原子中价电子的Hamilton量为2( )22zpeBHV rLc202( ),( ,)( )(,)(,.2,1, )nl20znlmnnllnlmlmHpVrEH,L ,LrRr YHmllleBEEmc 设对 应 的 能

32、 量 本 征 值 为本 征 态 为 ()的共 同 本 征 态 :则的 本 征 值 为2( )(2)22zzpeBHV rLSc(12 )(2)2(1)2ssn lm mn lsn lme BEEmmce BEmc 考虑到光辐射跃迁定则，ms=0,跃迁只能分别在ms=+1/2及ms=-1/2两组能级内部进行，因此尽管能级有所改变，对谱线分裂却没有影响。第9章 自旋 Quantum Mechanics第46页电子从 En 到 En 的跃迁的谱线频率为： 0nln lEEB 0 有外磁场时根据选择定则可知，0,1(1)ml 所以谱线角频率可取三值：一条谱线被分裂成三条谱线第9章 自旋 Quantum

33、 Mechanics3p3sL- L+ L+ L- 0-1+10-100未加外磁场B加外磁场sm =1/2sm =-1/2正常正常ZeemanZeeman分裂分裂第9章 自旋 Quantum Mechanics第48页反常塞曼效应当所加外磁场很弱，自旋轨道耦合并不比外磁场作用小，则需加以考虑，即Hamilton量应取为2 (2)( )(2)2zzeBHpV rr S LLSc 2 ( )2( )22zzr SeBeBpcLV rJSc 要严格处理上式最后一项，是很麻烦的，J2,Sz 0 。为此先不考虑最后一项，则H本征值问题与处理碱金属光谱线双分裂相同。此时 （L2,J2,Jz）仍为守恒量，H

34、的本征态仍然可以表示成相应的能量本征值为,2jnljmnljjLLeBEEmc无外磁场时（B=0，即L=0），能级为(2j+1) 重简并。而在有磁场的情况下，它将分裂成 (2j+1)条能级 , 能级简并完全解除(mj=j,j-1,.,-j) 。注意(2j+1)为偶数，这就可以解释反常塞曼效应的特点（光谱线分裂偶数条），考虑上式最后一项后，所得出的能级分布变化并不明显，反常塞曼分裂的特征不变；但能量本征函数复杂的多。第9章 自旋 Quantum Mechanics3p3s058933p3/ 21/ 23p058961D2D3s1 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 23/ 23/ 205890jm钠黄线的反常钠黄线的反常ZeemanZeeman分裂分裂跃迁选择定则：跃迁选择定则：1,0, 1,0, 1jljm 第9章 自旋 Quantum Mechanics4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态自旋单态与三重态，自旋纠缠态中性氦原子有两个电子，研究氦原子状态，就涉及两个电子组成体系的自旋态。设两个电子的自旋为s s1, s s2， 令S = s1+ s2表示两个电子自旋之和。 s1, s2， 属于不同电子，涉及不同自由度s1, s2=0, ,=x, y,