2021年中考数学真题分项汇编专题33 几何综合压轴问题（解答题）-（原卷版）

1、 专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，（1）证明：；（2）如图2，连接，交于点证明：在点的运动过程中，总有；若，当的长度为多少时，为等腰三角形？2（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，点在内部，直线与交于点，线段，之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，之间的数量关系； （2）再探究一般情形如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成

2、立问题拓展 如图（3），在和中，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，之间的数量关系3（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，点E在上，求证：平分（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G若，求的长（拓展延伸）（3） 如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，若，求的长4（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G（1）若，请用含的代数式表列（2）如图2，连结求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若，求的周长求的最小值5（2

3、021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B求的度数求AP的长（2） 如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长6（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结（1）如图1，若，求的长（2）过点作，交延长线于点，如图2所示若，求证：（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由7（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF（1）求证：；（2）如图2，若，求BE的长；（3

4、）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值8（2021·四川中考真题）在等腰中，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，则_；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结在图2中补全图形；探究与的数量关系，并证明；（3） 如图3，若，且，试探究、之间满足的数量关系，并证明9（2021·山东中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且连接并延长，与的延长线相交于点E（1）求证：；（2）与，分别交于点F，H若，如图2，求证：；若圆的半径为2，如图3，求的值10（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小

5、亮进行数学探究活动（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4） 正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为_，点G所经过的路径长为

6、_ 11（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度操作二：如图，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P求证：（2）若，则线段AP的长为 12（2021·湖南中考真题）如图，在中，N是边上的一点，D为的中

7、点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、得如图求证：；设与相交于点P，求证：13（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的O的一条弦，BD4，点A是O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD（1）如图2，若点A是劣弧的中点求证：平行四边形ABCD是菱形；求平行四边形ABCD的面积（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与O相切求AB的长；直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值14（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学

8、教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图13-2）猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论拓展探究：（2） 在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（1）中的等边三角形？15（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且（1）求证：；（2）如图2，连接，交于点K，过点

9、D作，垂足为H，延长交于点G，连接求证：；若，求的长16（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，求的长17（2021·四川中考真题）如图1，在中，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、的中点，连接、求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值18（2021·山西中考真题）综合与实践，问

10、题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，垂足为，为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积请你思考此问题，直接写出结果19（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，

11、F，求EF的长答案：探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AB的长；当点E与点C重合时，求EF的长（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值 20（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形探究1如图1，当时，点恰好在延长线上若，求BC的长探究2如图2，连结，过点作交于点线段与相等吗？请说明理由探究3在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），存在一定的数量关系，并加以证明 21（2021

12、3;浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F（1）当时，求证：；连结，若，求的值；（3） 当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形 22（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB3cm，AD5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；若限定P、Q分别在边BA、BC上移动

13、，求出点E在边AD上移动的最大距离23（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为（1）如图1，当点与点重合时，则线段_，_；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，求证：四边形是平行四边形：当时，求四边形的面积24（2020·山东中考真题）在等腰ABC中，ACBC，是直角三角形，DAE90°，ADEACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF（1）当CAB45°时如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出EAB与CBA的数量关系是 线段BE与线段CF

14、的数量关系是 ；如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题（2）当CAB30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由25（2021·天津中考真题）已知内接于，点D是上一点（）如图，若

15、为的直径，连接，求和的大小；（）如图，若/，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小26（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接(1)求证：(2)已知，求线段的长（用含，的代数式表示）(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），求证： 27（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AGGH；（2）若AB3，BE1，求点D到直线BH的距离；

16、（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，BHC的大小是否变化？为什么？ 28（2021·甘肃中考真题）在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接（2） 直接写出引理的结论：线段的数量关系 29（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的

17、“关联线段”（1）如图，点的横纵坐标都是整数在线段中，的以点为中心的“关联线段”是_；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长30（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点（1）求证：是的切线；（2）若是的中点，求的长；求的长 31（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若（1）求证：是的切线；（

18、2）若的半径为8，求的长 32（2021·四川中考真题）如图，O的半径为1，点A是O的直径BD延长线上的一点，C为O上的一点，ADCD，A30°（1）求证：直线AC是O的切线；（2）求ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F 当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长 33（2021·重庆中考真题）在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1）如图，当时，连接，交于点若平分，求的长；（2）如图，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量

19、关系，并证明你的猜想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，若，当，时，请直接写出的值34（2021·四川中考真题）如图，点D在以AB为直径的O上，过D作O的切线交AB延长线于点C，于点E，交O于点F，连接AD，FD（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求EF的长 35（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延长线交于点G（1）判断是否平分，并说明理由；（2）求证：； 36（2021·湖南中考真题）如图，是等腰的斜边上的两动点，且（1）求证：；（2）求证：；（3）如图，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立 37（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上（1）求证：；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值 38（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，D为延长线上一点，连接，且（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积