二项式定理十大典型例题配套测验

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1 .二项式定理:n0n1nrn_rrnn.(a+b)=Cna+Cna_b+|+Cna-b+|+Cnb(n=N),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C：(r=0,1,2,n).项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r+1项C；an-br叫做二项式展开式的通项。用书=C：anbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n+1)项。顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a+b)n与(b+a)n是不同

2、的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n,是升哥排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,Cn,C2,Cnr,iC：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令a=1,b=x,(1x)n=C；C：xC2x2HIC：x川C：xn(nN)令a=1,b=x,(1-x)n=C0-C1x+C2x2-III+C；x+川+(-1)nC；xn(nN*)5 .性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C：=C；,C：=C：/二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为C；+C：+C：+11

3、1+C；+HI+C：=2n,变形式C1+C2+川+C；+HI+C；=2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a=1,b=1,则C0C：+C"-C3十川+(1)nC：=(11)n=0,从而得到：C：+C；+C：，+Cn2r+=C：+C；+|十C；r*十2n=2n，奇数项的系数和与偶数项的系数和：n0n01n12n_22n0n12n(ax)二CaxCnaxCaxJ|Cax=a0axa?xa“xn00nc1nc22n_2nn0n21(xa)CnaxCnaxCnax"|Cnax=anx1a2xa1xa0令x=1,贝1Ja0+a1+a2+a3川+an=(

4、a+1)n令x=_1，则a。-a1+a2-a3+|+an=(a1)n+得，a0+a2+a/|+an=(a；(a-"(奇数项的系数和)得，a1+a3+a5|+an=(a+1)nJa-1)"偶数项的系数和)n二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数g7,g7同时取得最大值。系数的最大项：求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别、，.Ar1-Ar为A,A2,An书，设第r十1项系数最大，应有i，从而解出r来。12n1Ar1-Ar2专题一题型一：

5、二项式定理的逆用；例：C：+C：6+C362+HI+C：6nJL=.解：(1+6)n=C；+Cn6+C：62+C；63+H|+C；6n与已知的有一些差距，c1.c2a.c32,nn4_1,122nn,CnCn6Cn6Cn6-(Cn6Cn6Cn6)6=；(C：C；6C262HIC：6n_1)=；(16)n-1=；(7n-1)666练：Cn-3C2-9C3Ib3nC；=.解：设Sn=Cn+3C；+9C3+HI+3nCn1,贝Uoc_c1o+c2o2+c3o3-+-J11+cnon_c0+c1o+c2o2A-c3o3+1h+cnona-/d+ona3Sn-Cn3Cn3Cn3111Cn3-CnCn3C

6、n3Cn3Cn3-1-(13)-1Sn(13)n-1/-133题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式(,1+泞)n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数？解：由条件知C：'=45,即C2=45,二n2n-90=0,解得n=-9(舍去)或n=10,由1210J2Tr邛=Cir0(xH)10,(x3)r=C；oX，由题意_10_r+2r=3,解得r=6,43则含有x3的项是第7项T64=C16)x3=210x3,系数为210。练：求(x2I)9展开式中x9的系数？2x解：Tr+=C；(x2)"()=C；x18'(1)x=Cg(-1)rx18r,令1

7、83r=9,则r=32x/d22,9-31321故x9的系数为C；()3=。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x2的展开式中的常数项?解:5Tf=C1r0仪2)10上(上)=C1r0(：)rx空展开式中偶数项系数和为5_81845令20_r=0,得r=8,所以T9=C；0()8=22256练：求二项式(2x-2)6的展开式中的常数项？2x解：4=C；(2x)6_r(1)(工)r=(1)rC626(1)rx6q,令62r=0,得r=3,所以T4=(1)3C3=202x2练：若(x2+1)n的二项展开式中第5项为常数项，则n=.x解：T5=C：(x2)n"(1)4=C：x2

8、n2，令2n12=0,得n=6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(4-沃)9展开式中的有理项？1127工解：4=C；(x2)9(x3)r=(1)rC；xk令1Lwz,(049)得=3或=9,627-r3c344所以当r=3时，=4,T4=(一1)Cgx=84x,6当r=9时，27-=3,%=(1)3C；x3=x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;256,求n.展开式中各项系数依次设为a0>al>'an>令x=-1,则有a0+a1+an=0,，令x=1,则有a0-a1+a2-a3+(-1)nan=2n,将-得：2(a1+a

9、3+a5+)=2n,二a1+a3+a5+=-2nJ,有题意得，-2n-L=-256=28,n=9。练：若（，工+产；/的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。初.0242r13.tn,2r1._nn-qn_用牛.CnCnCn'''Cn'''CnCnCn'''2,P21024,用牛彳寸n11所以中间两个项分别为n=6,n=7,丁5斗=C5"：）=。）5=462，x,，丁6书=462口重题型六：最大系数，最大项；例：已知（L+2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式

10、中二项式系数最大项2的系数是多少？解：C：十"=2清,二n221n+98=0，解出n=7或n=14,当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和丁5二丁4的系数=C；（1）423=35,T5的系数=C；（）324=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大2221 77的项是丁8,.T8的系数=C14（）2=3432。练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n=Tn+,也就是第n+1项。2 1，,x1n练：在（-一蒲=）的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？2、.x解：只有第5

11、项的二项式最大，则口+1=5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（1）2=722练：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有_343.一_434一T4=-C7ab的系数最小，T5=C7ab系数最大。1 n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（一+2x）n的展开式中系数最大的项？201211解：由Cn+Cn+Cn=79，解出n=12，假设Tr由项最大，.（金+2x）=（1）（1+4x）A.1_A.Ar.1_A,2C；24r_或4C；24r_C1214r.；9.4

12、<r<10.4,又；0wrw12,二r=10,展开式中系数最大的项为T11,有T11=(1)12cl”410x10=16896x1°210练：在(1+2x)的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Ty项最大，7Tr+=C1r02rxrAr1-ArC；02r_C10J2Ar1-Ar2-C；02r_或12r-1r-1解得!2(11一r)*，化简得到6.3<k<7.3,又'：0Mr<10,r1_2(10-r).r=7,展开式中系数最大的项为T8=C；027x7=15360x7.题型七：含有三项变两项；25例：求当(x+3x+2)的展开式中x的一次项的系数

13、？2525r25rr解法：(x+3x+2)=(x+2)+3x,Tr¥=C5(x+2)l(3x),当且仅当r=1时，Tr书的展开式中才有x的一次项，此时Tt=T2=c5(x2+2)43x,所以x得一次项为c5c：243x它的系数为C5C：243=240。解法：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=(C；x5+C1x4+C；)(C；0x5+c1x42+C；25)4_5_5_44_故展开式中含x的项为C5xC52+Csx2=240x,故展开式中x的系数为240.1练：求式子(|x|+i-|-2)的常数项?x解:,设第r+1项为常数项，则1书=或(一1)r|x|6(R)r=(1)6

14、C；|x6'r,得3_36-2r=0,r=3,T31=(-1)C6=-20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(1x)4展开式中x2的系数.解：(1-2x)3的展开式的通项是CT(2x)m=CT2mxm,(1x)4的展开式的通项是C4(x)n=c4Tn,xn,其中m=0,1,2,3,n=0,123,4,令m+n=2,则m=0且n=2,m=1且门=1,m=2且门=0,因此(1+2x)3(1-x)4的扉并小山y2的率甑笺于p0.90221.9111p2.9200-l=U辰7T队T1xl=U方蚁守丁C32C4(I)C32C4(I)C32C4(I)6.练:求（1+次）6（1+刀产）展

15、开式中的常数项.,.X解:(13x)6(1mn4m_3n10展开式的通项为C6nX?gOxM=C6nC10，xPm=0,3m=3,3m=6其中m=0,1,2，,6,n=0,1,2,10，当且仅当4m=3"即<或/或<n=0,n=4,n=8,时得展开式中的常数项为C；C1c0-C；C；0C（6C；0=4246.1c练：已知（1+x+x）（x+一）的展开式中没有吊数项，nwN且2EnE8,则门=.x解：十乙日展开式的通项为C；，xn，xr=C；，xn4I通项分别与前面的三项相乘可得xCn，xir,Cnxir'C：M丑展开式中不含常数项,2<n<8二n#4r

16、且n44r+1且n¥4r+2,即n=4,8且n03,7且n22,6,an=5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在（x-衣2006的二项展开式中，含对勺奇次曷的项之和为S,当x=J2时,S=解：设(x-.2006=a0+a1x1+a2x2+a3x3+|+a2006x2006,20061232006(x-、2)=%-xa2x-3乂a2006x-得2(呢+为乂3+a5x5+|+a2005x2005)=(x-扬2006-(x+收)2006二（x-历2006展开式的奇次曷项之和为S（x）（x-扬2006-（x+正）2006232006当x"J2bt,s（-、5）ul（；2

17、-二）2006-（、2、3）2006=-=-2300822题型十：赋值法；例：设二项式（33/x+1）n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若xp+s=272，则n等于多少?解：若(3眩+1)n=a0+a1x+a2x2+i+anxn,有P=a0+a1+an,S=C：+八+C：=2n,x令x=1得P=4n,又p+s=272，即4n+2n=272=(2n+17)(2n16)=0解得2n=16或2n=-17（舍去）,n=4.练：若3dx的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?解：令x=1,则%JX-的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n=6,则展开式的常数项为xC；

18、(3收)3(-1)3=-540.练：若(1-2x)2009=a0+ax1+a2x2+a3x3+|+82009x2009(xR),则巴+-a|+,+粤09的值为2222解：令x=1,可得a。+3+答+十需=0,3+8_十+翳=-302222222在令x=0可得a0=1,因而亘.-3!黑=-1.222练：若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x1+a0,贝1Ja1+a2+a3+a4+a5=.解：令x=0得80=-32，令x=1得80+a+a2+83+34+85=-1,.81828384a5=31.题型十一：整除性；例：证明：32n芈-8n9(nwN*)能被64整除证：32n2

19、-8n-9.9n1-8n9=(81)n1-8n-9=C；+8n+C：48n+C：；82+*81+C：-8n-9二C048n1-C8n:!，-：:"'Cnt828(n1)1-8n-9=C018n1C118n-"Cn82n1n1n1(n)njn1n1n1由于各项均能被64整除,32nd2-8n-9(n亡N*)能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f")=)11/2=-102422、C：+3C；+32C：1+3C=2、2、4n3、(；5+=)2°的展开式中的有理项是展开式的第项53、3,

20、9,15,2154、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1,则所求和为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数，5、(1+x+x2)(1x)10=(1x3)(1x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C4(-x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C；(x)作积，故x4的系数是C；+C；=1356、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数.1011210(1x)1f(1x)(x1)-(x1)34、八.46、(1+x)+(1+x)2+(1+x)-=-,原式中x实为这分子中的x,则所1-(1x)x