常微分方程 第4章 高阶微分方程小节

1、小结：小结：1. 初值问题初值问题解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理:一一. 线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论1111(1)(1)(1)000000( )( )( )( )( ),( ),( ).nnnnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdtx tx x txxtx 设设12( ),( ),( ),( )na t a ta tf t在区间在区间,ba上连续上连续, 则对则对(1)( )0000 , ,nta bx xx 初值问题在初值问题在,ba上存在唯一解上存在唯一解.2. 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 (4.2) 与非齐次线性微分方程与非齐次线性微分

2、方程 (4.1) 的解的结构的解的结构1111( )( )( )( )(4.1)nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt 1111( )( )( )0(4.2)nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt 2.1. 叠加原理叠加原理: 12( ),( ),( )mx tx txt为为 (4.2) 的解的解, 则则1 122( )( )( )mmc x tc x tc xt也为也为 (4.2)的解的解.12( ),( ),( )nx tx tx t2.2. 由由 (4.2) 的解的解构成的朗斯基行列式构成的朗斯基行列式12( ),( ),( ) ( )nW

3、x tx tx tW t简记为在在 ,ba 上或者恒为上或者恒为 0, 或者处处不为或者处处不为 0.线性相关线性相关线性无关线性无关00( )0, , .W tta b00( )0 , .W tta b，12( ),( ),( )nx tx tx t12( ),( ),( )nx tx tx t12( ),( ),( )nx tx tx t2.3. 为为 (4.2) 的的 即为基本解组即为基本解组, 则则 (4.2) 的通解的通解可表为可表为n1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t且通解包含了且通解包含了(4.2)的所有解的所有解.个线性无关的解个线性无关

4、的解, 2.4. (4.1) 的两解之差为的两解之差为 (4.2) 的的解解.(4.1) 的解与的解与 (4.2) 的解之和为的解之和为 (4.1)的解的解.设设 为为(4.2) 的的基本解组基本解组, ( )x t为为 (4.1) 的一个特解的一个特解, 则则 (4.1) 的通解为的通解为且通解包含了且通解包含了(4.1)的所有解的所有解.2.5. 12( ),( ),( )nx tx tx t1 122( )( )( )( )+ ( ),nnx tc x tc x tc x tx t常数变易法常数变易法: 2.6. ( ),1,2, .iicc tin1 ( )( ) ( ) (4.1),

5、( ),1,2, ,niiiix tc t x tc t in将代入并取满足11(2)1(1)1( ) ( )=0( ) ( )=0( )( )=0( )( )= ( )niiiniiinniiinniiic t x tc t x tc t xtc t xtf t( )( ),1,2, , ( )( ),1,2, ,iiiiic ttinc tt dtc in求出再积分得到1111.0nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt 二二 常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程: : 的的基基本本解解组组的的求求法法：1110nnnnFaaa+相相应应的的特特征征方方程程为为( )=(

6、)=11(4.1)( )( )( )( ).nniiiiiix tc x tx tt dt最后求得的通解2111,.)cos,sin,cos,sin,cos,sin.tttktttttktktkktttkkktt tt tttt tt 若若 为为 重重实实根根，对对应应微微分分方方程程的的 个个线线性性无无关关的的解解 eeee eeee若若 为为 重重复复根根: = +i: = +i ，( =i( =i 也也为为 重重复复根根 ，对对应应微微分分方方程程的的 对对实实值值解解 eeeeee eeeeee.设设特特征征方方程程有有特特征征根根121212,).mmmkkkkkknn 设设特特征

7、征方方程程的的不不同同特特征征根根为为,，其其重重数数分分别别为为,(+,(+它它们们对对应应微微分分方方程程的的 个个的的解解, ,构构成成微微分分方方程程的的基基本本解解组组. .11111.0.nnnnnnnnd ydydyxa xaxa ydxdxdx 三三 欧欧拉拉方方程程21(ln ),ln |,ln |,ln|.cos(ln |),sin(ln |),ln |cos(ln |),ln |sin(ln |tkkkkkmxe txyxkkkmmxxxxxxxkmkmxxxxxxxxxx 可可通通过过变变换换变变为为常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程求求解解，或或直直接接令令代代入入

8、方方程程求求得得 值值，根根据据不不同同的的 及及其其重重数数得得到到基基本本解解组组。当当 为为 重重实实根根时时对对应应 个个解解：当当 为为 重重复复根根：+i+i时时对对应应2 2 个个实实值值解解：11|),ln|cos(ln |),ln|sin(ln |).mmxxxxxx1111( )nnnnnnd xdxdxaaa xf tdtdtdt 常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程: :先先求求对对应应齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解, ,再再求求非非齐齐次次方方四四. .程程的的特特解解. .( )f t 非非齐齐次次线线性性微微分分根根据据的的类类型型求求

9、方方程程的的特特解解. .-101-1-101-1:( )(1.().0.kmmmmmmtmtmxtBf tb tbtbttBtBtbeekBkkI =特特解解形形如如 其其中中 由由 是是否否为为特特征征值值确确定定，当当 为为特特征征值值时时， 为为其其重重数数，当当 不不为为特特征征值值时时，类类型型 3.( )f tIII 不不属属于于类类型型 和和类类型型时时，用用常常数数变变易易法法求求解解. .:( ) ( )cos( )sin, ( ), ( )( ( )2.0( ),( )cos( )sin,.tktf tA ttB tt eA tB ttmxtP ttP t Q tkQ tektkm +I=I 特特解解形形如如 其其中中次次多多项项式式由由i i 是是否否为为特特征征值值确确定定，当当 为为特特征征值值时时，为为其其重重数数为为，待待定定当当类类型型 是是 的的最最高高次次数数为为不不为为特特征征值值时时，的的次次的的多多项项式式. .( )(1)( )( )( )( ,)0.,.kknkaF t xxxxyk 五五. .可可降降阶阶的的高高微微分分方方程程: :方方程程形形如如令令方方程程降降低低 阶阶阶阶(