注册工程师考试积分学

1、1 1.3.1 1.3.1 不定积分不定积分 1.3.5 1.3.5 平面曲线积分平面曲线积分 1.3.4 1.3.4 重积分重积分1.3 积分学 1.3.2 1.3.2 定积分定积分 1.3.3 1.3.3 广义积分广义积分 1.3.6 1.3.6 积分应用积分应用21. 直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式P16）.2. 换元积分法3第一类换元的基本思路第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有dxxg)()()(xdxfCxF)()()()(xfxFxf的原函数易求，且注：这里要求)(1baxdadx)() 1(11baxdakd

2、xxkk)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx4.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(325第二类换元的解题思路为dxxf)(dtttftx)()()(Ct )()()()(ttftCx)(1使用该公式的关键为在。单调可导，有反函数存)(. 1tx易求。积分dtttf)()(. 2第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等6vuxvud使用原则:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三

3、” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为.vxvu d7例例3 3 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex xdex2 22dxeexxx dxexx2 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22Cxxex )(2228解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222x

4、ex .2Cex 92、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性质性质31、定积分定义：1.3.2 定积分定积分10 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质411如果函数如

5、果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba .性质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式123、积分上限函数的导数 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如

6、如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 13.)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba4、牛顿莱布尼茨公式145、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（2）第二类换元法）第二类换元法（3）分部积分法）分部积分法分部积分公式分

7、部积分公式 bababavduuvudv注：应尽可能先用简便算法： 1、几何意义；2、对称性；3、奇偶性；4、重要结论（1）凑微分法）凑微分法156、重要结论2200cossin)2(xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数161.3.3 广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. bdxxf)( baadxxf)(lim17(2)无界函数的广

8、义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim018bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dc

9、ydDyxyxfdd),(则1.3.4 重积分（化为累次积分）19D解解围成由其中计算例2,1,. 822xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 .,:211xxyxD20Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(2. 在极坐标系下计算二重积分222ryx注：在极坐标系下有注：在极坐标系下有。，后对先对化为二次积分的顺序是r21,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos

10、0Rr 2222d2222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy23tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22) 1 (22)(d)(ddyxs计算定积分转 化),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf说明说明:!(1)积分限必须满足(2) 注意到 tt

11、td)()(2224),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf)()(, )(),(:ttztytxxx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,(25,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B26),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx

12、,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有27其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则28LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞

13、”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd格林公式格林公式函数在 D 上具有连续一阶偏导数,29yA xoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 则3648 30设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xb

14、aoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd1.3.6 积分应用积分应用3122,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A32abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd33sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy xxxd所求弧长xysbad12xxfbad)(122.平面曲线的弧长34)()()(ttytx所求弧长tttsd)()(2235xyoabxyoab)(xfy 2)(xf