专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用(含答案)

1、专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用2019 年1 (2019天津理8)已知c/eR,设函数/")=卜一？""'?。，WL若关于工的不等式 x-alnx, x > 1,/*)。在R上恒成立，则。的取值范围为A.0,lB.0,2C.0,eD.l,e2. (2019全国川理20)已知函数/(为=2/ 一(1)讨论/*)的单调性；(2)是否存在a,b,使得/(x)在区间0,1的最小值为一 1且最大值为1?若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.3. (2019 浙江22)已知实数。工0,设函数/(#=alnx + J77T,x>0.3(1)当。=

2、一一时，求函数的单调区间；4(2)对任意)均有求。的取值范围.e-2a注:e=2.71828为自然对数的底数.4 (2019全国I理20)已知函数/(x) = sinx ln(l + x), /'*)为/(x)的导数.证明：TT(1) /'(X)在区间(一1,一)存在唯一极大值点；2(2) f(x)有且仅有2个零点.V + 15.(2019全国II理20)已知函数/(工人5工一:.X - 1(1)讨论./U)的单调性，并证明"r)有且仅有两个零点；(2)设x()是负x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(xo, Inxo)处的切线也是曲线y = e'的 切线

3、.6. (2019江苏19)设函数/(幻=(工一)*一勿"一0),4也。£11、/3为/(*)的导函 数.(1)若但b=c, f (4) =8,求“的值；(2)若得b, f 且/(x)和r(x)的零点均在集合3,1,3中,求的极小值；4(3)若a = O,Ovgl,c = l,且/&)的极大值为M 求证:Ms .27Z (2019北京理19)已知函数/(刈./-/+比4(I )求曲线y = /(x)的斜率为1的切线方程；(II )当 xw|-2,4时,求证：x-64/(x)«x.(IH)设 F(x) = |/(.v)-|x + n|(fl eR),记 F(

4、x)在区间-2,4上的最大值为 M (a),当 M (/?)最小 时，求”的值.8. (2019天津理20)设函数/(x) = e'cosx, g(x)为的导函数.(I )求/(X)的单调区间；(II )当时，证明/(x) + g(x) g-x >0；L 4 2 -7(III)设X”为函数"(x) = /(x)-l在区间2? + 5,2加+弓内的零点，其中 eN,证7Te-2"明2万+ 乙v.2 sinj -cosAq2010-2018 年一、选择题1 . (2017新课标II)若工=-2是函数/(x) =，+“x l)ei的极值点，贝IJfW = (x2 +

5、 ax -l)ex-l错误!未找到引用源。的极小值为A . -1 B . -2e3C . 5/3D . 12 .(2017浙江)函数y = f(x)的导函数十=/(")的图像如图所示,则函数y = /(x)的图像可能是4 . (2015 四川)如果函数/(x) = i(w-2)x2+(«-8)x + l(w>0, 之0)在区间2 22单调递减，那么?的最大值为A . 16B . 18C . 25D .25 .（2015新课标II）设函数/"（x）是奇函数的导函数，/（-1）=0,当x>0时,<0,则使得.f（x）0成立的x的取值范围是A . (-

6、l)U(OJ)B . (TO)U(L")C . («,-l)U(T0)D . (O,1)U(1,-KX>)6.(2015新课标|)设函数/(工)=/(2工-1)一批+ %其中avl,若存在唯一的整数小,使得/（小）<。，则。的取值范围是7 . （2014新课标II）若函数/（幻=6一 Inx在区间（1,2）单调递增，则攵的取值范围是A .（-0,一2 B .C . 2,+oc） D .1，M）8. （2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切）, 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为C . y = -x3

7、-xD . y = -x3+-x2-lx,4'429 . (2014新课标II)设函数x) = 6sin管.若存在的极值点与满足V+x0)丁 <加，则小的取值范围是A . (-<50,-6)kj(65-+<o)B .(o，T) J(4,+o)C . (-co,-2)kJ(2,-H50)D . (o,-1) = (1,+oo) 10. （2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下隆飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A.m12553 ，C . V =JT -X125»i-2地而跑道B.y“125

8、4x5D.xJ125511 .（2014辽宁）当xe-2,l时，不等式火3一/+4工+ 320恒成立，则实数”的取值范围是9A . -5,-3 B . C . -6,-2 D , -4,-3812 . （2014 湖南）若0cx贝1JA . eX1 - e” > In x2 - In % B . eX1 - e" < In x2 - In xC . x2eXl > xxeX1D . x2eXl < xeX213.（2014江西）在同一直角坐标系中，函数y =-x +'与y = a，3-2cu；2+x + a2（4 wR）的图像不可能的是 14 . （2

9、013新课标II ）已知函数/（x） = f+ox*+x + c,下列结论中错误的是A . 3 xoe/?,/（xo） = OB .函数y = /（x）的图像是中心对称图形C.若%是/（工）的极小值点，则/（X）在区间（p/o）单调递减D .若是f(x)的极值点,则/(小)=015 .(2013四川)设函数/(x) = &'+x。(awR，e为自然对数的底数)，若曲线y = sinx上存在点(凡，光)使得/(凡)=%，则。的取值范围是A . l,e B . e-1 -1,1 C . 1, e + 1 D .e + 116. . (2013福建)设函数/*)的定义域为R, %(,

10、% W0)是/(x)的极大值点，以下结论一 定正确的是A . Vx e R,以x) « /o)B . -x0 是 f(-x)的极小值点C . /是一/0)的极小值点D ./是_/(_为的极小值点17. (2012辽宁)函数Inx的单调递减区间为A . (- 1J B . (0,1 C . 1,+ oc) D . (0,+ oo)18. (2012 陕西)设函数/(x) = xe 贝ijA . x = 1为f(x)的极大值点B . x = 1为/(x)的极小值点C .工=-1为/a)的极大值点D . x =-1为/(幻的极小值点19. (2011 福建)若 a>0, b>0

11、,且函数/*) = 4%3-。二2-2 + 2 在 x = l 处有极值， 则 <必的最大值等于A . 2B.3 C . 6D . 920. . (2011 浙江)设函数f (X)= aP+X + C(4,C£R),若X = -l 为函数/(X)N的一 个极值点，则下列图象不可能为y = /(x)的图象是21 .(2011湖南)设直线与函数/*) = /, g(x) = nx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时/的值为二、填空题22 . （2015安徽）设/+办+。= 0,其中。力均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）1。= -

12、3,Z? = 3 ； =- 3,b = 2 ；。=-3,b >2 ； 4 a = 0, = 2 ；23. （2015四川）已知函数/（x） = 2 g（x） = x2+ax （其中a e R） .对于不相等的实数王，占，设?=/3）一/'3,L0,现有如下命题：- x2xi -x2对于任意不相等的实数M,占，都有 7>。；对于任意的。及任意不相等的实数$,/，都有 >0 ;对于任意的，存在不相等的实数使得?= ；4对于任意的4,存在不相等的实数占,2，使得?=- .其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.q0,0 <x<、24 .（2015 江苏）已知函

13、数/（x）=llnxl, g（x） =（） 41。 一则方程I 厂 一41一2,1> 1l/（x） + g（x）l=l实根的个数为.25 . （2011广东）函数f（x） = F - 3/ +1在x =处取得极小值.三、解答题26 . （2018 全国卷 I ）已知函数 fM = -x + anx .X（1）讨论/（X）的单调性；（2）若/（x）存在两个极值点%，占，证明：/（»）-/（£）<_2.-内27 . （2018 全国卷 II ）已知函数/'（x） = e'-ax2 .若。=1,证明：当xNO时，；若在(0,+8)只有一个零点，求.28

14、 . (2018全国卷川)已知函数/) = (2 +工+。/)11】(1 +刈-2x .(1)若4 = 0,证明：当一 1VXV0时，/(x)V。；当X>0时，/(A)>0 ;(2)若x = 0是/(X)的极大值点，求”.29 .(2018北京)设函数/(幻=«/-(4。+ 1)X + 44 + 36”.若曲线y = /'(x)在点(1J)处的切线与X轴平行，求；(2)若/(A-)在x = 2处取得极小值，求a的取值范围.30 . (2018 天津)已知函数/。)=4 g(x) = logfl x,其中”>1 .(1)求函数/?(x) = /(x)-xlna

15、的单调区间；(2)若曲线y = f(x)在点区J (%)处的切线与曲线y = g (x)在点(%，g (士)处的切线平行，证明玉+晨修)=一平上； Ina(3)证明当丁时，存在直线/，使/是曲线y = /(幻的切线，也是曲线y = g(x)的 切线.31 . (2018江苏)记/'(x),g'a)分别为函数x),g(x)的导函数.若存在x°eR ,满足/(%) = 8*。)且:*。)=且'(4),则称为函数与g(x)的一个“S点”.证明：函数/(幻=X与8*) = /+2工-2不存在“S点”；(2)若函数/一 1与g(x) = In x存在" S点”

16、，求实数”的值；be*(3)已知函数/0)= 一/+4, g(x) =.对任意。>0,判断是否存在。>0,使函 X数/(X)与g(x)在区间(。，)内存在"S点”，并说明理由.32 . (2018 浙江)已知函数/(x) = J7 lnx .(1)若/")在1=内，一(%处导数相等,证明：/(苔)+ /()>8-812 ;若c/W341n2,证明：对于任意攵>0,直线)，=公+ a与曲线y =/*)有唯一33 . (2017 新课标 I )已知函数 f(x) = ae2x+(a-2)ex-x .(1)讨论/*)的单调性；(2)若错误!未找到引用源。有

17、两个零点，求的取值范围.34 . (2017 新课标 II)已知函数/(x) = "r-4x-xlnx,且/(x)2O .求；(2)证明：/3)存在唯一的极大值点且</(/)< 2-2错误!未找到引用源。.35 . (2017新课标川)已知函数/(x) = x-l alnx .若x)，0,求。的值;设”为整数，且对于任意正整数，(i+3(i+L)(1 + !)<机，求小的最小值. 22-2”36. (2017 浙江)已知函数/(x) = (x 07=.(I )求/(X)的导函数；(II)求/(X)在区间J,2)上的取值范围.37 .(2017江苏)已知函数/(幻=.

18、/+戊2+以+ 1(>0/eR)有极值，且导函数/，*.)的极值点是/*)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求关于。的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2 > 3a ；7(3)若/'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-，求“的取值范围.38. (2017天津)设4CZ,已知定义在R上的函数/3) = 2%4+3_?-3/-6'+ ”在区间(1,2)内有一个零点g(x)为/*)的导函数.(I )求g(x)的单调区间；(II )设?el,Xo)U(x()，2,函数力*) = 8(幻(相一,%)一/。)，求证：/(w)/?(x0)<0

19、;(III)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数m，且el,Xo)U*o,2, q满足 12 x。2. q Aq39. (2017 山东)已知函数 7(x) = /+2cosx, g (x) = ex (cos x - sin x + 2x - 2),其中e = 2.71828是自然对数的底数.(I )求曲线 = /(”在点5J5)处的切线方程；(II)令"(x) = g(x)-4(x)(aeR),讨论/?*)的单调性并判断有无极值.有极值 时求出极值.2 V- - 140 . (2016 年山东)已知/(x) = a(x-lnx) +二e R .(I)讨论/(X)的单调性

20、；(II)当。=1时，证明/。)/'3 +不对于任意的工«1,2成立.41 .(2016 年四川)设函数/(x) = ax2a - lnx,其中 “wR.(I)讨论/(x)的单调性；(II)确定的所有可能取值，使得在区间(1,+8)内恒成立(e=2.718 X为自然对数的底数).42 . (2016年天津)设函数/(X)= (x- 1尸一G-。，X £ H 其中。力£ R 9求/(X)的单调区间；(II)若/(幻存在极值点与,且/(内)= /(%),其中占W.%,求证：耳+2%=3;(川)设。0,函数g*)="(x)|,求证：g(x)在区间上的最

21、大值不小于;错 误!未找到引用源。.43 . (2016年全国I )已知函数/(x) = (x - 2)/+a(x-1)2错误味找到引用源。有两个零 点.(I)求“的取值范围；(II)设内，是/(X)错误!未找到引用源。的两个零点，证明：司十马2.44 . （2016 年全国 II ）讨论函数的单调性，并证明当%>0时，(x-2£+x + 2>0 ；(II)证明：当”日0.1)时，函数g(x)-j="(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为 h(a),求函数力(“)的值域.45 . (2016 年全国川)设函数/(x) = ecos2x +(2 l)(co

22、sx + l),其中 a>0,记I/WI的最大值为A .(I )求八幻；(II )求 A ；(III)证明|f(x)IW2A .46 . (2016年浙江高考)已知“23,函数尸(x) = min2lx-ll,x2 -2+ 4。-2,其中.1 fp, pWgmin /“=<g，p>q(I)求使得等式/")=炉-2,戊+ 4"-2成立的x的取值范围；(II) (i)求尸(x)的最小值(/)；(ii)求尸(x)在区间。6上的最大值MQ).47. (2016 江苏)已知函数 “X)= "+/( >02 >0,a = l,方工1).(1)设。

23、=2, = g .求方程/(x) = 2的根；若对于任意xeR,不等式f(2x)2""x)-6恒成立，求实数小的最大值；(2)若0v“vl,函数g(x) = x)-2有且只有1个零点，求"的值.48 . (2015 新课标 II )设函数 /(x) = e+-nvc .(I )证明：/(幻在(,0)单调递减，在(0,+。)单调递增；(II)若对于任意玉，-1,1.都有1/(内)一/(公)1<6-1,求机的取值范围.49 . (2015 山东)设函数f(x) = ln(x + l) + a，-x),其中wR(I )讨论函数/(X)极值点的个数，并说明理由；(I

24、I)若Vx>0, /*)力0成立，求的取值范围.50 .(2015湖南)已知。>0,函数/(x) = *sinMxe0，+s) .记/为/")的从小到大 的第(eN”)个极值点.证明： 数列/(七)是等比数列；(2)若，下二，则对一切七 <"(七)1恒成立.&2-151 . (2014新课标II)已知函数=3/+内+ 2,曲线)，= /")在点(0, 2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2 .(I )求“；(II)证明：当<1时，曲线y = /(x)与直线了 =丘一2只有一个交点.x o52 . (2014山东)设函数/(x)=(二+

25、 Inx) (k为常数，e = 2.71828是自然对数 X' X的底数).(I )当时，求函数“X)的单调区间；(II)若函数“X)在(0,2)内存在两个极值点，求攵的取值范围.53 . (2014 新课标 I )设函数 f(x) = anx + -x2 -bx(a W 1),曲线 y = /(a)在点(1J)处的切线斜率为0.(I )求b ；(II)若存在与21,使得/(/)<冬，求。的取值范围.6/-154 . (2014山东)设函数/(x) = 0nx +=,其中。为常数.x+(I )若=。，求曲线y = /(外在点(1J)处的切线方程；(H)讨论函数/*)的单调性.55

26、. (2014 广东)已知函数/(幻=,+犬+ax + l(aeR).(I )求函数f(x)的单调区间;(II )当<0时，试讨论是否存在Xo£(°，J)U(；/)，使得/(%) = /(：) -56 . (2014江苏)已知函数/*) = e，+cT,其中e是自然对数的底数.(I )证明：/(X)是R上的偶函数；(II)若关于x的不等式!f(x)WeT+?-1在(0,+8)上恒成立，求实数?的取值范围；(III)已知正数。满足：存在.厘1,+8),使得/(.”)<a(-焉+3/)成立.试比较与I的大小，并证明你的结论.57. (2013新课标I )已知函数3(

27、幻="(必:+知一炉一4小曲线)，= /(x)在点(0J(0) 处切线方程为y = 4x+4 .(I )求的值；(H)讨论f*)的单调性，并求f(x)的极大值.58. . (2013新课标II)已知函数.(I )求/(x)的极小值和极大值；(II)当曲线)，= /«的切线/的斜率为负数时，求/在x轴上截距的取值范围.59. (2013福建)已知函数/(x) = x l + = (awR, e为自然对数的底数). e(I )若曲线y = /(x)在点(1J)处的切线平行于x轴，求”的值；(II)求函数/(X)的极值；(III)当4 = 1的值时，若直线/：,，=依1与曲线y

28、= /(x)没有公共点，求k的最大 值.60 . (2013 天津)已知函数/(x) = x勺nx .(I )求函数/(幻的单调区间；(II)证明：对任意的，>0,存在唯一的使，= /($) .(Ill)设(II)中所确定的$关于/的函数为5 =2。),证明：当时，有:<年.5 Inr 261 .(2013江苏)设函数/") = lnx - aj g(x) =婷一 or,其中“为实数.(I )若在。，)上是单调减函数，且g(x)在(1,)上有最小值，求的取值 范围；(II)若g")在(-1,«力)上是单调增函数.试求/*)的零点个数，并证明你的结论.6

29、2 . (2012 新课标)设函数/(x) = "ai 2 .(I )求/(x)的单调区间；(II )若a = l, k为整数,且当x>0时，(xA)/'(x) + x+l>0,求k的最大值.63 . (2012安徽)设函数/(x) =,/+仇。>0).ae(I )求/(X)在0,)内的最小值；3(II)设曲线)，= /*)在点(2,7(2)的切线方程为旷=5- 求的值.64 .(2012山东)已知函数/(幻=生吆(k为常数，e = 2.71828是自然对数的底数)， e曲线)'=fW在点(I，/(D)处的切线与戈轴平行.(I)求我的值；(II)求/

30、W的单调区间;(no设ga)=，+x)ra),其中尸(幻是/(幻的导数.证明：对任意的x>0, g(x)< + e-2 .65 .(2011新课标)已知函数/(幻=也)+ 9,曲线)，= /(x)在点(1J)处的切线方程 x + x为x+2y3=0.(I)求。，的值；(II)证明：当x>0,且xwl时，里.X-166 . (2011 浙江)设函数/(X)= t/2 lnx-x2 + axt a >0 .(I)求/(x)的单调区间；(II)求所有实数。，使e lW/(x)</对xel,e恒成立.注：。为自然对数的底数.67 . (2011 福建)已知“，Z?为常数，

31、且ciWO,函数/(x) =-O¥ + Z? + 4XInx, /(e) = 2 (e=2.71828是自然对数的底数).(I )求实数的值；(II)求函数的单调区间;(III)当4 = 1时，是否同时存在实数用和加(7 vM ),使得对每一个/£直线y =，与曲线y = /(x)(x0l, 8)都有公共点？若存在，求出最小的实数 e，和最大的实数M ;若不存在，说明理由.68. (2010新课标)设函数x) = x(eX-1)-0?(I )若 =1,求/(幻的单调区间；2(II )若当x20时/(x)20,求”的取值范围.专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用答案部分20

32、19 年1 .解析当x = l 时，/(1) = 1-2 + 2. = 1>0恒成立：当 x < 1 时，f(x) = x2 - 2ax + 2a20 <=>/ / / X2(17 -1)2令小)二1 一一一一一二(j)+ j 2目(1 X).一22"一恒成立， x-1(1-x)2-2(1-x) + 11-x-2 =0，Z所以 2a2 g (x)gx = 0，即 > 0 ,Y当x > 1时，/ (x) = x 。In x20 o a恒成立,1nxI1,lnx-x- 令，贝=7A = 212_,Inx(lnx)(Inx)'当工,e时，/?r(

33、x)>0, (x)递增，当 1 <x<e时，/?'(x)<0, (x)递减,所以当x = e时，取得最小值(e) = e.所以=e综上，的取值范围是0,e.2 .解析(1) ff(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3x - a).令/'(x) = 0,得 x=0 或 x = j若00,则当xe(-s,0)U 二 3+sj时，r(x)>0：当xe(o句时，f,(x)<0.故/(x)在(一8,0),/a<3,+s单调递增，在0,gJ单调递减:若4=0, /(X)在(,+O0)单调递增;一sq；U(°、y)时，/'(x

34、)>0：当xe彳。)时，r*)vo.故/a)在(一叫三J,(0,+s)单调递增，在单调递减.(2)满足题设条件的“，b存在.(i)当时，由(1)知，/")在0,1单调递增，所以/*)在区间0,1的最小值为/(0)=6 , 最大值为/(1) = 2-。+ .此时小满足题设条件当且仅当b = 1, 2。+ = 1,即=0, b = -.(ii)当心3时，由(1)知，/(X)在0, 1单调递减，所以/(x)在区间0, 1的最大值为 /(0)=6,最小值为/= 2 a + b.此时“，满足题设条件当且仅当2-1"=1,即。=4, b=l.(iii)当0<，<3时，

35、由(1)知，/*)在0, 1的最小值为/5)= 一冬+，最大值为。或2-a+b.若幺+ = 一1，H则a = 3庶，与0<<3矛盾.27若一 §y + Z? = -l，2-a+b = » 则。= 3jJ 或。=一36或"=。，与。<<3 矛盾.综上，当且仅当"=O, b = 1或a=4, =1时，/3)在0, 1的最小值为-1,最大值为1.3 .解析：(I )当。=一±时，/(X)= -31nx +0.4 431(Jl + x - 2)(2>/1 + x +1)t (x) =+ 7= =7=，4x2>J +

36、x4xy/+x所以，函数/(x)的单调递减区间为(0, 3),单调递增区间为(3, +00).(II)由得走.2a4当立时，/&)工立等价于土 MH 21nxN0.42a cr a令，=1,贝也. a设 g(f) =，C-2f Jl + x -21nxJ 2 2a/T ,则g(f) > (2/2) = 8«-4点Jl + x - 21n x .(i)当 xe ",+°° 时，Jl +。4 2正，则g。) > g(2>/?) = 8>/x-45A+-21n x .记(x) = 4/72应Jl + x In x, x 之&qu

37、ot;，则“（X）0+pMp(;)单调递减极小值P单调递增所以，p(x)2(l) = 0 .因此，g(t) > g(2>2) = 2p(x) > 0 .(ii)当令g(x) = 2>fx nx + (a +1),x e-2-V71nx-(x+l)时，g«）g，则/（刈="匚+ 1>0,所以，q（x）vO.上单调递增，所以2a11 2小7)P(1) = O因此g（，）g由（i） （ii）得对任意，e2&,+8),g(，)20,即对任意Xt均有/OK正2a综上所述，所求，的取值范围是4.解析：设 g(x) = /'(x),则 g(*

38、°sx-± g") fnx +击.71JTTT当xe - 1,一 时，g'(x)单调递减，而g'(O)>O,g'()<0 , <2/2兀可得g'（x）在-1，5有唯一零点，设为a. 2）则当xw(-l,a)时，g'(x)>0：当时，g'(x)vO.所以g(x)在(-1。)单调递增，在a单调递减，故g(x)在-1,-存在唯一极 ' 2 )2 y大值点，即广(X)在，1,存在唯一极大值点.12)(2) /(X)的定义域为(i)当xe(l,O时,由 知，尸在(-1,0)单调递增,而r(0)

39、= 0,所以当xw(TO)时,尸(x)vO,故/(X)在(-1,0)单调递减,又/(0)=0,从而x = 0是/(X)在(-1,0的唯一零点.(ii)当入。5 时，由(1)知,.(x)在(0。)单调递增,而尸(0)=0,<0,所以存在，使得广(0 = 0,且当xe(o,时,/V)>0；当p.-时，/(x)<0,故/(x)在(0,夕)单调递增，在|?一单调< 2 / 2 ；递减.又/(0)=0, f - = l-lnl + ->0,所以当 xejo,q 时，f(x) > 0 .< 2 /2 /V 2 I从而/(X)在og没有零点.(iii)当71时，/&

40、#39;(x)v0,所以/(x)在，兀单调递减.而/ yj>0,/(兀)<0,所以/(X)在 3兀有唯一零点. < 2(iv)当 xw(兀 *o)时，ln(x + l)>l ,所以/(x)v0,从而/(x)在(wxo)没有零点.综上，/(X)有且仅有2个零点.5 .解析：(1)/00的定义域为(0,l)U(L+8).因为/'（X）= L + !T>0,所以/（X）在（0, 1） , （1, +00）单调递增.因为/ (e) =1-/(/)=2_ : + 1 =-> 0, e-Ie-l e-l所以/(x)在(1, +00)有唯一零点为，即/(川)=0.

41、又0<L<i, /(_L)= _inX|+F = /(石)= 0,XX% 11故/（x）在（0, 1）有唯一零点一.再综上，/（X）有且仅有两个零点.（2）因为L = e-*,故点8（-hu,b ）在曲线），*上. 玉）*0xn + 11 / + % 4-1_ 1_/+1_ 丫 /1。%-1由题设知/(%)=。，即lnx0 =7, % - In/故直线AB的斜率k = T-lnx0-x0曲线卢H在点B（-ln.r0,）处切线的斜率是,曲线y = Inx在点A（x0,ln.r0）处切线的 王）玉）1 斜率也是一, X。所以曲线）' = lnx在点A（%/nx。）处的切线也是曲

42、线产已为勺切线.6 .解析(1)因为。= /? = c,所以/'(x) = (x-a)(x )(x-c) = (x-a)L因为f(4)=8,所以(4 -“)3=8,解得。=2.(2)因为Z? = c,所以 /(X)= (x-6/)(x-/?)2 = %3 -(a + 2b)x2 +b(2a + b)x-ab2,从而:(x) = 3(x )x 等2.令(x) = 0,得x = 或x =因为4,仇美也都在集合一3,3中，且awb,所以 2" + 卜=1,。= 3, Z? = -3 3此时 /'(x) = (x 3)(x + 3)2,r(x) = 3(x + 3)(x-1)

43、.令广（乃=0,得"=一3或x = l.列表如下:X(-oo,-3)-3(-3.D1(12f'M+00+fM/极大值极小值/所以/（X）的极小值为/'=（1一3）（1 + 3尸=一32.(3)因为a = O,c = l,所以/(x) = x(x-Z?)(x-l) = x* S + 1)/+法, ff(x) = 3x2 -2(b + l)x+b .因为0<b«l,所以。=4(6 + 1)21抄= (26- 1y+3>0,则:。）有2个不同的零点，设为斗（玉 ）少b + l-加-b + lb + T + 后 一b + 1由/。）= 0，得石=;,&#

44、163;=; 列表如下:X（一8，$）再（和乙）X2Cq,+s)+0一0+fW/极大值极小值/所以/（X）的极大值M=f（xx）.解法一：A/=/（xJ = x；_（。+l）x；+如S 2 2 八/N"1、2伊-b + 1)帅 + 1) =3x -2(/7 +1)%I +Z?1 - J再 + ="/L)s+D+111+2(77)， 27927 V)272727 vb(b +1) 2 442727 2727解法二：因为所以内e(O,l).(x-1).当 X W (0,1)时，f(x) = X(X - b)(x-1)< X(X _ 1)2 .令g(x) = x(x-l)2

45、,xe(0,1),则gx) = 3令g'(x) = 0,得x = 1.列表如下:所以当x = 2时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X)m”1<3427X(0,1)13中)g'(x)+0g(x)/极大值X44所以当 xe (0,1)时，f(x) < g(x) <，因此M < 一 . 2727137.解析：(I)由制=一/一/+工，得(的=二/一2工+1. 443X令/，*)= ,即“/-2工 + 1 = 1,解得x =。或xQ Q又八0)=。，八?=万， 所以曲线>，= /*)的斜率为1的切线方程是y =工与丁一3 =工一64即y = x与y

46、 = x 一万(II)令g(x) = /(x)-x, xe-2,4.i3由 g(x) =-I 得 g，=二/ 一 2x.448 令g'(x) = 0得工=0或1=一.g '(x), g(x)随X的变化情况如表所示X-2(-2,0)0838)4g 3+-+g(x)-6/064 27/0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0,所以一6Kg(x)K0,即x 6K/(x)Kx. (III)由(II)知,当 时，M > E(O) = |g(O)_q =_ >3 ：当3时，M (a) > F(-2)= |g(2)£/| = 6 + 6/ > 3 ：当 =一

47、3时，M(a) = 3.综上，当M(a)最小时，a = -3.8.解析 (【)由己知，有f Xx) = ev (cos x - sin x) .因此，当 2攵兀+ ：,2兀+微1(攵e Z)时，有sinx>cosx,得尸(x)v0,则单调递减;当xe 2攵兀一,2女兀+工| (攵eZ)时，有sinxvcosx,得/'(x)>0，则/(x)单调递增. 所以，/(X)的单调递增区间为2攵兀一个，2攵兀+ ： (keZ)J(x)的单调递减区间为 2k + , 2kn + ( e Z).44(II )记万(x) = /(x) + g(x),依题意及(I ),有 g(x) = e&q

48、uot;(cosx-sinx),从而g x) = -2ev sin x.当xe %外时，gx)vO, I 4 L )<0.故 h x) = f x) + g '(x) ( g - x ) + g (%)(-1) = g x)因此,(x)在区间7T 714,2上单调递减，进而(x)/«gj = /(|) = o.所以,k n 42时,/(x) + g(x)('|-X>。.(III)依题意，(x“) = /(Z)1 = 0,即e%cosx=l.记上 =%-2兀，则% en n4,2;且 f (")=e" cos yn = e % -温cos

49、 (七2hti) = e-2"" ( £ N ).由/(")= e-2m4=/(%)及< I)，得尤为。由(H)知，当 xe :gj 时，g'(x)<0，所以 g(x)在兀兀42上为减函数，因此/ qig(y)g(y()vg 匕=。 又由(H)知，/G，J + g()，“)Q y”卜0,故冗*/()'")_ e* </"_ in <而2 .“、 g(yj g(y”)、g(y。) eV|>(sin y0-cosy() sinA0-cosx0-2/rX所以，2mi + - -xn <.2

50、 sin -cosx02010-2018 年1. A【解析】V fM = x2 +(a + 2)x + a- lex , V f(-2 = 0 > Aa = -1,所以/(x) = (/x l)ei，f(x) = (x2+x-2)e , 令/0) = 0,解得工=-2或x = l,所以当xe(y>, - 2), fx > 0 , /")单调递 增；当xe (-2,1)时，fx) < 0, f(x)单调递减;当 xe(l,+s), fx) > 0, f(x) 单调递增，所以/(x)的极小值为/=(1-1-1)-=-1,选A.2. D【解析】由导函数的图象可

51、知，)，=/(幻的单调性是减f增一减f增，排除A、C： 由导函数的图象可知，)，=/(好的极值点一负两正，所以D符合，选D.3. D【解析】当x20时，令函数/0) = 2/一",贝ijr(x)=4x ，易知广")在0, ln4)上单调递增，在ln4, 2上单调递减，又/r(0) = -l<0,广(1) = 2 J7>0,2广=4 e > 0 ,广(2) = 8 -> 0 ,所以存在与 £ (0,；)是函数/(x)的极小值点, 即函数/(外在(0,x0)上单调递减，在(/,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D.4. B【解

52、析】(解法一)团工2时，抛物线的对称轴为x =-上史.据题意，当 ?>2时， 机一 2-> 2 即 2/? + /<12 ./ y/2mn < ,u + n <5 ,？ 418 .由 2加=且 "7 - 22 _ X 1+ = 12得m=3, = 6,当?<2时，抛物线开口向下，据题意得，一<-m-2 2即 m + 2n < 18 . / yjhn - n <"< 9 /. mn < ,由 2 = m 且 m+2n = 18 得 22w=9>2,故应舍去.要使得机取得最大值，应有团+ 2 = 18 (?

53、<2/>8).所以 加 =(18 2)<(18-2x8)x8 = 16,所以最大值为 18.选 B.(解法二)由已知得/'(x) = (? 2)x + 8,对任意的工£己,2,广(x)W0,所 21m 0, n 0f心W 0以2,即彳7 + 2 W 18.画出该不等式组表示的平而区域如图中阴影部分J'(x) . 0 2m + W 2所示,7,解得 =6,令mn=t,则当 =0时，=0,当工0时，加=,由线性规划的相关知识,只有 n当直线2- =12与曲线机=-相切时，取得最大值，由 n- 18,所以("0m =18,选 B.5. A【解析】

54、令/?(x)="U,因为J(v)为奇函数，所以(x)为偶函数，由于 X,当工>0 时，xfx)f(x) <0,所以/心,)在(0,+s)上单调递减，根据对称性力。)在(一。0)上单调递增，又/(一1) = 0, /(1)=。,数形结合可知，使得/(x)>0成立的式的取值范围是(-8,i)U(0，i)6. D【解析】由题意可知存在唯一的整数小,使得设g(x) = e'(2x-l), h(x) = ax-a ,由 g'(x) = e'(2x +1),可知 g(x)在(,一) 2上单调递减，在(-,-)上单调递增，作出g(x)与(X)的大致图象如图

55、所示, 2故阳)>?。)/?(l)Wg(-l)3即 一3，所以一1.一2。 一一 2e7. D【解析】= ，/'(x) = kL,/(x)在(l,*o)单调递增，x所以当X>1时，/(幻=女一120恒成立，即女2,在(1,2)上恒成立， XXVx>H AO<-<1,所以故选 D. x8. A【解析】法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0, 0), (2, 0),在(0,0)处的切线方程为y = -X,在(2,0)处的切线方程为y = 3x 6 ,以此对选项进行检验.A113选项，y = -X3 f-X,显然过两个定点，又)，'=二/一工一

56、1, ,222则Wd=T，)'1.2=3,故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二 设该三次函数为 f (x) = ax3 + bx2 + ex + cl,则 fx) = 3ax2 +2bx + c/(0) = 0由题设有/'(2) = 0r(o)=-i故该函数的解析式为一工,选A. 229. C【解析】由正弦型函数的图象可知：/(x)的极值点与满足/(%)= 土并，JTY 71则一 = 一 + 2女万(Z$Z),从而得4=(女+ )7(keZ),所以不等式 m 22君+"(7)V 八 即为(攵+ ,)2，+3</，变形得力1一(攵+ !)>3, 22其中攵eZ.由题意，存在整数攵使得不等式力1一(女+ 1)>3成立.2当女W-1且攵工0时，必有(攵+ _1)2>1,此时不等式显然不能成立， 2故女=-1或攵=0,此时，不等式即为>3,解得?<一2或>2. 410. A【解析】设所求函数解析式为y = /(x),由题意知/(5) = -2,/(-5)