三角形“四心”与向量的完美结合

1、三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式知识点总结1)。是ABC的重心 OAOB OC 0；。是ABC的重心，则S BOC1S AOC S AOB - S ABC3OA OB OC 0；2)PG i(PA PB pC)O是ABC的垂心 OAG为ABC的重心.OB OB OC OC OA ；;。是 ABC （非直角三角形）的垂心,则 S BOC : S AOC : S AOB tan A :tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 03)2O是 ABC 的外心 |OA| |OB| |OC|(或 OA2OB2OC)

2、。是ABC的外心则Sboc： S aoc： S AOB sin BOC：sin AOC：sinAOBsin 2A : sin 2B : sin 2c故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04)O是内心ABC的充要条件是AB ACBAOA ( =) OB (= |AB | AC|BA |iln)OC（高CB-)0|CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1，e2，e3 ,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0A （e1e3) OB (ei e2)OC (e2 e3)0。是 ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC若O是ABC的内心

3、，则S BOC： SAOC : S AOB a ： b ：故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA sin BOBsinCOC 0；I AB|Pc | bC|PA |CA|pB 0P ABC的内心;向量0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分线所在直线）；（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP OA,AB AC、(口),AB0, 则P点的AC轨迹一定通过 ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心一，AB 一，一解析：因为是向量AB的单位向量设方向上的单位向量分别为ei和e2, 又OP OAAP

4、,则原式可化为平分 BAC ,那么在 ABC 中，AP平分BAC ,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”AP (eie2）,由菱形的基本性质知 APAB 一 ,首先 半 是什么没见过！想想，一个非零向量除以它的AB模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是 ABC所在平面内任一点,HA HBHB HC HC HA点H是 ABC勺垂心.由 HA HB HB HC HB (HCHA) 0

5、HB AC 0HBAC,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是 ABC所在平面上一点，若 PA PBPB PC PC PA,则P是 ABC的(D )A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA则 PB CA,同理 PA BC, PCAB所以P为 ABC的垂心.故选D.三角形垂心定义等相关知识点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙

6、结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是ABC/f在平面内一点， GA GB GC =0 点G是ABCW重心.证明作图如右，图中GB GC GE连结BE和CE则CE=GB BE=GC BGCE;平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE代入 GA GB GC =0,例5.得GA EG =0 Ga ge 2Gd ,故6是 ABC勺重心.（反之亦然（证略）P是ABC/f在平面内任一点.G是 ABC勺重心PG -（PA PB PC）.3证明PG PA AGPBBG PC CG 3PG (AGBG CG) (PA PB PC) GA GB GC =0A

7、GBG CG =0,即 3PG PAPBPC由此可得T 1 ,PG (PA3PBPC）.（反之亦然（证略）A.内心解析：由ABC内一点,oA OB oC 0ABC 的（D.重心oA OB oC 0 得 OB oC oAOB OC为相邻两边构作平行四OCED 边形,OB oc od,由平行四边形性质知 oE -od, |OA 2OE| ,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选Db内分点，所分这比为点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的-。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三1角形重心性质等相关知识巧

8、妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查例7若O为ABC内一点， oA| OB OC ，则O是ABC的（A.内心C.垂心解析：由向量模的定义知 O到 ABC的三顶点距离相等。故 O是 ABC的外心 ，选R 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量 op1 , OP7 , op3 满足条件 函 +op2 +op3=0, | op1 |=| op2 |=| op3 |=i ,求证 RF2F3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B组第6题）证明i由已知OPi+OP2=-OP3 ,两边平方得 OPi OP

9、2=-,同理iOP2 OP3 =OP3 OPi =,-'IPiP2| = |P2P3| = |P3Pl|=艮从而PiBR 是正三角形.反之，若点 O是正三角形 P1P2R的中心，则显然有 OPi +OP2 +OP3 =0且| OPi | = | OP2 | = | OP3 |.即O是 ABC所在平面内一点,OPi +OP2+OP3 =0 且 I OPi |=| OP2 |=| OP3 I 点 O是正 PiF2P3的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、 重心、垂心。求证:Q G H三点共线，且QG:GH=12【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示

10、的直角坐标系。设 A(0,0)、B (xi,0)、C(X2,y 2),D E、F分别为AR BGAC的中点，则有:D (工0)、E( 22由题设可设Q (a,y3)、2G(红',均33AH4 (x2,y4)QF，H (X2，y4),y2)y3)(X2 xl)BCX2(X2、/ X2(X2 Xi) y 4Xi)y 2y4:qF aCqF ?aCy2X2(X27）y3)y22X2(X2 Xi) y 2y 2xiQH (X2 -, y4y3)2x22Xi3x 2(x 2Xi)2y2(X2 Xi 3Xi y2,2 3y3)(2X2 Xi _y26 ,yX2(X2 Xi)2y2yr)(2X2 X

11、i63x 2 (x 2 X1)6y2y2、1/2x2 Xi'?) 3(F"3X2(X2 Xi) y2y2= iqH3qH=3qG,故 Q G H 三点共线，且 QG GH=1: 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形 式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若Q H分别是 ABC勺外心和垂心.求证OH OA OB OC .证明若ABC勺垂心为H,外心为 O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结ADCD

12、AD AB , CD BC .又垂心为 H,AH BC , CH.AH/ CD CH/ ADH四边形AHCD；平行四边形, AH DC DO OC ,故 OH OAAH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的外心、重心、垂心的位置关系:(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例11. 设Q G H分别是锐角 ABC勺外心、重心、垂心.求证 OG 10H3证明按重心定理 G是 ABC勺重心'OG

13、 1(OA OB OC)3按垂心定理 OH OA OB OC 一 1 一由此可得 OG -OH .3补充练习动点P满足1 .已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是三角形ABC的重心,0P=- ( -0A + -0B+20C),则点P一定为三角形ABC的边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C.重心1. B取AB边的中点M,则OA OB 20M ,由OP(20A1 一+ 0B +2 0C )可付 2边的中点AB边上的中线的一个三等分点，且点P不3 0P 30M 2MC , . . MP 2MC ,即点P为三角形中3过重心，故选 B.2 .在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式：JB?东+C

14、AIOC+ B2,则。为 ABC的夕卜心B 内心 C重心垂心已知 ABC的三个顶点A、 B、及平面内点P满足：pA pb pCP为 ABC的3.夕卜心B 内心 C重心垂心已知。是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:0P 0A (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 夕卜心B 内心 C重心 D 垂心4.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足:PA?PC PA?PB PB?PC 0,则P点为三角形的夕卜心B 内心 C 重心 D 垂心5.已知ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a PAPB c?pCP点为三角形的夕卜心B 内心 C 重心 D 垂心则P点轨迹一定通过 ABC的：- 22角形ABC中，动点P满足：CA CB 2AB?CP ,A 夕卜心B 内心 C 重心 D 垂心"日 -一5 AB AC - l AB AC 1 皿人 、,7 .已知非零向量 ABfACf足（+ ）- BC=0且 =-, 则4ABC为（）|AB| |AC|AB| |AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足（)=0,即角A的平分线垂直于BC, AB=AC,又 COSAZ A=-,所以 ABE等边三角形，选 D.m（OA OB OC）,则实数m =8 . AB