上海昂立智立方数学高中高一(秋季班)高数—10秋—04—子集与推出关系—杨阳-教师版

1、昂立智立方专业引领共成长高一数学暑假班（教师版）教师日期秋季班学生课程编号课型同步复习课题子集与推出关系教学目标1 .理解集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系；2 .掌握用集合间的包含关系进行推理的方法.教学重点1 .子集与推出关系等价性的理解与应用；2 .掌握判断命题推出关系的方法.教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习30高一数学秋季班课程子集与推出关系（教师版）1/ 14品立立方专业引领共成长【例3】试用子集与推出关系来说明是 的什么条件.高一数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)4/ 14子集与推由关系知识梳理1、子集与推出关系:设Aa

2、 | a具有性质,Bb| b具有性质，则等价.2、子集与推出关系的各种表述形式:已知集合Aa | a具有性质 ，B b| b具有性质(1)的充分条件;(2)的充分非必要条件;(3)的必要条件;(4)B,则的必要非充分条件;(4)B,则的充要条件.3、推出关系具有传递性:等价.设A a|a具有性质，Bb |b具有性质，则集合A、 B之间的关系与之间的关系，可用卜表表示:集合A,B之间 的关系与之间的推出 关系是的什么条 件原命题若 ， 则”的真假逆命题若、 则”的真假A B,/充分非必要条件真命题假命题A B,/必要非充分条件假命题真命题A B充要条件真命题真命题A, B不满足以上三种情况/,/

3、既非充分又非必 要条件假命题假命题例题解析一、子集与推出关系【例1】用,“ ，“ ”填空：(1)命题 ：我是上海人；命题 ：我是中国人，A= x I x是上海人; B= x I x是中国人则命题 命题 ；A B .(2) A=x|x 1; B=x|x 3,命题：x 1;命题：x 3.则A B ；命题 命题【难度】【答案】(1),; (2),.【例2】试用子集与推出关系判断是(甲是乙)的什么条件:(1) ：x2;： x2 .(2) ：x2 1;： x1 ；22(3)甲：x2 y2 0 ,乙：x 0,y 0 ；(4)设 A xx 2, B x x 6,甲：x M x B ,乙：x A B .【难度

4、】【解答】(1)设Ax|x2 , B x|x2, A B, a是3的充分非必要条件.(2)设 A x|x21 , B xx1 , ：A 1, 1 , B1 , AB, a是 3的必要非充分条件.(3)甲是乙的充分必要条件.(4)甲是乙的必要不充分条件.专业引领共成长Cl ；智立方(1): x 1 ,:x2 1(2):正整数n被5整除，：正整数n的个位数是5R1 度【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件【说明】体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系.【例4】试用子集与推出关系来说明集合(1) A xx是12的约数，(2)A xx 1 ,(3) A xx是矩形，A与B的关系.B x

5、x是36的约数B x x 3B xx是有一个角为直角的平行四边形【难度】【答案】(1) A B A B (3) A B【说明】体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系.【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件.(1)写出 3 x 1的充分条件；(2)写出 3 x 1的必要条件；(3)写出 3 x 1的充要条件.【难度】【答案】答案不唯一22.【例6】(1)设x, y R ,右 ：x y 0 ,： xy 0,则是的 条件.(2)设x,y R,若 ：x, y都不为零，：xy 0,则是的 条件.(3)设：a b 3,: a 1且b 2,则是的 条件.(4)设 ：x 0且y 0,:

6、x y 0,则 是 的 条件.【难度】【答案】充分非必要，必要非充分，必要非充分，充分非必要【例7】(1)设：三角形中有一个角是直角，：三角形的三边满足 AB2 BC2 AC2,则 是的 条件.(2)该平面图形是四边形”是 该平面图形是梯形”的 条件.【难度】【答案】必要非充分，必要非充分数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)5/ 14.n.同I专业引领共成长同立立方甲事量【巩固训练】1. “x 2” 是 “ x2 3x 2 0 ” 的 条件.【难度】【答案】充分非必要2. “x 2”是“ x 2”的 条件.【难度】【答案】必要非充分3. k除以4余1,: k除以2余1,则是的 条件.【难度】

7、【答案】充分非必要1 ,，乂 1 , 一，一，4.:是整数的一的数，：与整数相差 一的数，则是 的 条件.22【难度】【答案】必要非充分5 .设 ：x是奇数， ：x被4除余1,则 是 的 条件.【难度】【答案】必要非充分6 . *y 0”的一个充要条件是（）A.x 0 B. y 0 C.x,y 异号 D.x 0, y 0【难度】【答案】C7 .设 ：实数x适合Jx2 3x 2,：x 4或x 1,则是 的 条件.【难度】【答案】充要8 .下列各式中， 是 的必要非充分条件的是（）a bb ca b不为偶数xy 2(1) ： x 1 x 20,： x 22(2) : b ac,(3) : a, b

8、不都为偶数，(4) ： x 1 且 y 2 ,A .(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)【难度】高一数学秋季班课程子集与推出关系（教师版）7/ 14专业引领共成长C.充要条件D.既不充分也不必要条件小立智立【答案】A二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合M x 0 x 3, N x0 x 2,那么a M ”是a N ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【例9】若命题 是命题 的充要条件，命题 是命题 的必要非充分条件，则命题 是命题 的条件.【难度】【答案】

9、充分非必要条件【解答】设命题 对应的集合为 A,命题 对应的集合为B,命题 对应的集合为 C是的充要条件，A BZ=B又是的必要非充分条件，C BC A,，所以是的充分非必要条件.、一【例10】给定两个命题p, q.若非p是q的必要而不充分条件，则 p是非q的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件高一数学秋季班课程子集与推出关系（教师版）9/ 14【难度】【答案】 A【提示】本题利用等价法来判断p与非q的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理.【解析】利用 等价转换的思想， 根据题意可知，q?非p,但非pq,那么其逆否命题 p?非q,但非 衿 p,即p是非q的充分而不

10、必要条件.专业引领共成长备立普立方中事宜【例11】设：1 x 3, : m 1 x 2m 4, m R, 是的充分条件，求m的范围.【难度】 【答案】设 A x|1x3,B x|m 1 x 2m 4因为是的充分条件，即，所以A B,一 .一口 m 11 口 1I由右图可得，斛得 m 03 2m 42*m 1 13 2m 4 x，1所以m的取值范围是 m 0 .2【说明】透彻理解“子集与推出关系”，学会综合运用集合、命题、充分条件与必要条件等知，识来解决 问题.【例12】设：2 x3,: x m1或x m 1,m R, 是的充分条件，求 m的范围.【难度】【答案】设 A x|2x3 , Bx|x

11、 m 1或x m 1,mR是的充分条件，即，A B画数轴分析可得 m 1 3或m 1 2,解得m 4或m 1所以m的取值范围是m 4或m 1.【例13】若a1，b1,a2,b2R,且都不为零，则“ 亘b1”是“axb,0与a?xb?0解集相同”a2 b2的（）A .充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【难度】【答案】B【解析】若 亘 b1,取a1匕1 , a2 b21则x 1 0与x 1 0解集不同.a2 b2所以曳 不是 a1x b1 0与a2x b2 0解集相同”的充分条件.a2 b2若&由，22,2 R,且都不为零且ax b1 0与a2x b2 0解集相同

12、，此时，必有b1所以电灯成立.a1a2a2 b2高一数学秋季班课程子集与推出关系（教师版）10/ 14、星立智立方专业引领共成长所以“ aL bL”是“ aix匕0与a?x b? 0解集相同”的必要条件.a2 b2综上所述，“包 立”是“ &x匕0与a?x b2 0解集相同”的必要非充分条件.a? b?【例14】设：a2 a 6 0,: mb 1 0,若是 的充分条件，求 m的值.【难度】【解答】令A aa2 a 6 0 , Bb mb 1 0则 A 3,2高一数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)11/ 14QB A B 或 3或2(1)当 B 时，m 01(2)当 B 3 时，m 31(3

13、)当 B 2 时，m 21八1综上所述：m 0或一或32【例 15】设 m, a R , f x x2 a 1 x 1, g x mx22axm，若“对一切实数 x , f 4是“对一切实数x, g x 0”的充分条件，求实数 m的取值范围.【难度】2【解答】对一切实数x,fx0 f a 14 01 a 3当 m 0 时，g x 2ax ,因为g 00 ,所以不可能对一切实数 x , g x 0 .因此，对一切实数x , g x 04a2令 A a 1 a 3 , B由条件知：A B,所以m 3,即m 6.2【巩固练习】1 .设 ：0 x a(a 0),： x 10 2a,若是 的充分条件，求

14、实数 a的取值范围.【难度】入10【答案】0 a3专业引领共成长2 .设A xx2,B xxa,求满足B A的一个充分条件.【难度】【答案】a 3 (答案不唯一)3 .设 A、B、C 三个集合，A B 是 A (BUCq ()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【难度】【答案】A【解析】 A B 是 B (B UC).-. A (BUC).但是，当 B = N, C= R, A = Z 时，显然A (BUC),但A B不成立，综上所述：“A B”“A (BUC)”，而 “A (BUC)”/ “A B” .即“A B”是“A (BUC)”的充分条件(不必要).4 .已知：

15、集合P x 2 x 4 Q x x a ,: a x x 2,则与的推出关系是( )A.B.C.D.【难度】【答案】B5 .已知命题 ：1x4,命题：3m1x m,且是 的必要条件，求实数 m的取值范围.【难度】【解答】令Ax|1x4,Bx|3m1 x m因为所以B A.，一一八,1一一，1 .当B时，m3m1m一满足条件.4m 3m 112 .当 B 时，3m 110 m 4m 4综上所述：m 026 .如果a,b,c都是实数，那么 p： ac 0,是q：关于x的万程ax bx c 0有一个正根和一个负根的()高一数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)13/ 14专业引领共成长昂立智立方高一

16、数学秋季班课程子集与推出关系（教师版）15/14A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【难度】【答案】C7 .设x, y R,求证：|x y|x| |y|成立的充要条件是 xy 0.【难度】【解答】证明：充分性：如果 xy 0,那么，x 0, y 0x 0, y 0x 0, y 0于是 |x y| |x| |y|如果 xy 0 即 x 0, y 0 或 x 0, y 0 ,当 x 0, y 0 时，|x y| x y |x| |y|,当 x 0, y 0 时，|x y| x y ( x) ( y) |x | | y |,总之，当 xy 0 时，| x y

17、| | x | | y |.必要性：由|x y|x| |y|及x,y R得(x y)2 (|x| |y|)“Px2 2xy y2 x2 2|xy| y2得| xy | xy所以xy 0故必要性成立，综上，原命题成立.1 .在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方袪二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题.2 .本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来.设A a a具有性质，B bb具有性质 ，具体如下：专业引领共成长昂 立智立方(1) AB是的充分条件；(2) AB是的必要条件

18、；(3) A B 是的充分非必要条件;(4) A B是的必要非充分条件；(5) A B是的充要条件.课后练习1,若非空集合 M N ,则a M或a N”是a M N ”的 条件.【难度】【答案】必要非充分2. 一个整数的末位数字是 2,是这个数能被2整除的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【难度】【答案】A3. p是q的充要条件的是：()x y 1 ,A. p ： a 1, q ：二元一次方程组有唯一解ax y 1B. p ：两条对角线互相垂直平分，q :四边形是正方形C. p： 3x 2 5, q： 3x 25D. p ：两个三角形相似， q：

19、两个三角形面积之比等于对应的高之比 【难度】【答案】C高一数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)16/14、昂立智立方专业引领共成长4 .设U为全集，A, B是集合，则 存在集合C使得A?C , B? ?uO aAAB= ”的()A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【难度】【答案】C【解析】如图可知，存在集合满足A?C , B? ? UC.故选C.C,使 A?C , B?uC,则有 APB =.若 APB =数学秋季班课程子集与推出关系(教师版)18/14,25 . (D ax bx c 0 a 0 有实根是 ac 0 的(2) ABCAAB

20、C 是 ABCs/XABC ”的.【难度】【答案】(1)必要不充分条件，(2)充分不必要条件6 .已知A是B的充分条件，B是C的充要条件，A是E的充分条件，D是C是必要条件，则D是 E的 条件.【难度】【答案】必要不充分条件7 .设A, B是有限集，定义：d(A, B) = card(A? B)card(AAB),其中card(A)表示有限集 A中元素的个 数.命题？：对任意有限集 A, B, A田”是d(A, B)0”的充分必要条件；命题？：对任意有限集 A, B, C, d(A, C)4(A, B) + d(B, C).()A .命题？和命题？都成立B .命题？和命题？都不成立C.命题？成

21、立，命题？不成立D.命题？不成立，命题？成立【难度】【答案】A【解析】命题？显然正确.对于命题 ？：设d(A)=a, d(B) = b, d(C) = c,则d(A, C)向+ c|= |a b+b c| QF b|十|bc|aA, B) + d(B, C),所以命题？也成立.故选 A.8 . 判断下列集合A与B的关系.A=x | x是12的约数, B=x | x是36的约数;9 2) A=x | x3, B = x | x5;A= x | x是矩形 , B= x | x是有一个角为直角的平行四边形.【难度】【解答】(1)因为 x是12的约数 x是36的约数，所以 AB.(2)因为 x5 x3,所以 B A.(3)因为 x是矩形 x是有一个角为直角的平行四