第2章数值微分和数值积分-ppt课件

1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第二章 数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值微分hhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfhhh2)()(lim)()(lim)()(lim)( 000 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又

2、简单的方法就是，取极限的近似值，即差商数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICShxfhxfxf)()()( 000向前差商x0 x0+h数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，有误差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhxfhxfxfxR数 学 系University of S

3、cience and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICShhxfxfxf)()()( 000向后差商x0-hx0数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开002000),( ! 2)( )()(xhxfhxhfxfhxf因此，有误差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhhxfxfxfxR数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT

4、 OF MATHEMATICShhxfhxfxf2)()()( 000中心差商x0-hx0 x0+h数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开23000010102300002020()()()()( ),2!3!()()()()(),2!3!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx因此，有误差)()( 6)( )( 12 2)()()( )(22212000hOfhffhhhxfhxfxfxR数 学 系University of Sci

5、ence and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSf(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：数 学 系University of Science and Technolog

6、y of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最正确步长我们可以用事后误差估计的方法来确定设D(h),D(h/2) 分别为步长为h,h/2 的差商公式。那么)2()(hDhD时的步长h/2 就是适宜的步长( )( )( )( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )( )2( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )2( )2( /2)fxD hfxD h( )( /2)( )( /2)fxD hD hD h数 学 系University of Scienc

7、e and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函数的手段，用以研讨原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数)()()()(xLxfknk误差插值型数值微分用Taylor展开分析数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS给定点列20)(,(iiixfx且hxxxx0112，求)( ),( ),( 012xfxfxf解：)(2)()()()(2)()(2210122002212xfhxxxxxfhxxxx

8、xfhxxxxxL)(2)()()()(2)()(2210122002212xfhxxxxxfhxxxxxfhxxxxxL例：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS20200121() ()3 ()4 ()()( )23hfxLxf xf xf xfh2121021() ()()()( )26hfxLxf xf xfh22220121() ()()4 ( )3 ()( )23hfxLxf xf xf xfhTaylor展开分析，可以知道，它们都是)(2hO称为三点公式2(4)0200

9、121221() ()()2 ()()( )()6hfxLxf xf xf xhffh 2(4)11201221() ()()2 ()()( )12hfxLxf xf xf xfh2(4)2220121221() ()()2 ( )()( )()6hfxLxf xf xf xhffh数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值积分)()()(aFbFdxxfba关于积分，有Newton-Leibniz 公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数由离散数据组成2、原函数F(x)求不

10、出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合)()(0iniinxfafI称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS)()(0iniinxfafI为数值积分，badxxffI)()(为积分，那么称数值积分有k阶代数精度是指：)()(;, 0),()(11kkniinxIxIkixIxI两个问题：1、系数ai如何选取，即选取原那么？2、假设节点可以自在选取，取什么点好？代数精度代数精度 对恣意次数不高于k次的多项式

11、f(x)，数值积分没有误差数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS用插值函数的积分，作为数值积分)()()()()()(00inibaiibaniibannxfdxxldxxfxldxxLfI ia代数精度代数精度由Lagrange插值的误差表达式，)()!1()()()1(xnfxRnnn，有dxxnfdxxRfIfIbannbann)()!1()()()()()1(可以看出，至少n 阶代数精度nkxxfxfkn,)(, 0)()1(插值型数 学 系University of Sci

12、ence and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS121111122101010nabababaaaxxxxxxnnnnnnnnVandermonde行列式行列式运用尽能够高的代数精度mixIxIiin, 0),()( niia0知求系数所以，要存在独一，mn，确定一个n1 阶的方程组前面得到的系数是最好的吗？数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以，m=n时存在独一，且至少n阶代数精度。与节点的选取无关。假设数值积分至少n阶

13、代数精度，那么系数独一( ),0,biiaal x dx in误差误差dxxnfdxxRfIfIbannbann)()!1()()()()()1(数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一点数值积分)(2()()()(00abbaffIabaffI0阶代数精度阶代数精度1阶代数精度阶代数精度例：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSNewton-Cotes 积分假设节点可以自

14、在选取，那么，一个自然的方法就是取等距节点。对区间做等距分割。该数值积分称为Newton-Cotes积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSniihaxnabhi,0,dtntititttnininhdthinintititttdxxlaninninthaxbaii00)() 1)(1() 1()!( !) 1( ) 1()!( !)() 1)(1() 1()()()(niiCaba设节点步长)( niC(b-a)与步长h无关，可以预先求出数 学 系University of Sc

15、ience and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn1时时2121) 1(10)1(110)1(0dttCdttC)(21)()(21)()(1bfabafabfI梯形公式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn2 时时61) 1(4164)2(2161)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0dtttCdtttCdtttC)(61)()2(64)()(61)()(2bfababfabafabfISimpson公式公

16、式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS1、梯形公式1( )( )()()2!bxafE fx a x bdx此处用了积分中值定理误差误差3( )()()()( )2!12bafb ax a x bdxf 数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS2、Simpson 公式)()()()()()()(332fSPSPIfIfSfIfE 留意到，Simpson 公式有3 阶代数精度

17、，因此为了对误差有更准确地估计，我们用3 次多项式估计误差)2()2(),()(),()(333bafbaPbfbPafaP为0)(2880)()(2)(! 4)( )(2)(! 4)( )4(52)4(2)4(fabdxbxbaxaxfdxbxbaxaxfbaba)2( )2( ,3bafbaP数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS普通的有kndxxxKfnKfEbannnnn2, 0)(),()!2()()2(12, 0)(),()!1()()1(kndxxKfnKfEbannn

18、nn因此，N-C积分，对偶数有n+1 阶代数精度，而奇数为n 阶代数精度数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS复化积分数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge景象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS)( 12)()(2)(311iiixxfhxfxfhxfii103111031

19、)( 12)(21)()(21 )( 12)()(2)(niiniiniiiinfhbfxfafhfhxfxfhfT误差误差做等距节点，niihaxnabhi, 0,复化梯形公式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由均值定理知)( )( .,.,102nfftsbabaCfnii)( 12)()( )(12)( 12)(2323fnabfabhfnhfEn可以看出，复化梯形公式是收敛的。假设节点不等距，还可以做复化积分吗？怎样处置？数 学 系University of Scienc

20、e and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS)(2880)2()()(4)(62)()4(522122222iiiixxfhxfxfxfhxfii10)4(5112101210)4(522122)(2880)2()()(2)(4)(3 )(2880)2()()(4)(62)(miimiimiimiiiiinfhbfxfxfafhfhxfxfxfhfS误差误差做等距节点，mnniihaxnabhi2;, 0,复化Simpson公式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPART

21、MENT OF MATHEMATICS由均值定理知)(180)()(2880)()(2880)2()()4(45)4(45)4(5fnabfmabfmhfEn可以看出，复化Simpson公式是收敛的。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定义定义 假设一个积分公式的误差满足假设一个积分公式的误差满足 且且C 0，那么称该公式是那么称该公式是 p 阶收敛的。阶收敛的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：计算例：计算dxx 10142 解：解： )1(

22、)(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502运算量根运算量根本一样本一样数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 函数变化有急有缓，为了照顾变化猛烈部分的误差，我们需求加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会呵斥计算的浪费。以此我们引见一种算法，可以自动在变化猛烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，那么取稀疏的格点。积分的自顺应计算积分的自顺应

23、计算数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS先看看事后误差估计以复化梯形公式为例)( 12)()()(2fhabfTfIn)( 212)()()(22fhabfTfInn等分区间等分区间2n等分区间等分区间近似有：)( )( ff)()(31)()(22fTfTfTfInnn)()(151)()(22fSfSfSfInnn类似，复化Simpson公式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHE

24、MATICS自顺应计算记为复化一次，2次的Simpson公式,21baSbaS0控制dxxffIba)()(求数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS,21baSbaS15,21baSbaS,)(2baSfI是215,2,22152,2,2121bbaSbbaSbaaSbaaS数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS)()(31)()(22fTfTfTfInnn由前面的事后误差

25、估计式，)()()(31)()(222fSfTfTfTfInnnn那么，这启发我们，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。)()()(151)()(222fCfSfSfSfInnnn类似，Romberg积分积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS记为以步长为h的某数值积分公式，有)(hI)()()(mmhochhIfImmhohchIfI22)2()(12)(22)(mhIhIhIfI 1222)(mhIhIhIfI数 学 系University of Science and

26、Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS有如下的Euler-Maclaurin定理)(12)()2()2()2(222)()()()1(mmmmmmhOhIhIhIhI假设)()()(2)(mmhOhIfI为2m阶公式，那么Romberg 积分就是不断地用如上定理组合低阶公积分就是不断地用如上定理组合低阶公 式为高阶公式，进而计算积分式为高阶公式，进而计算积分 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1

27、=)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSRomberg公式是对近似值进展修正而得到更近似的公式，它已不是前面所讲的插值求积的思想了，这是一种新的方法，称为外推法。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSl 用Romberg方法的任务量主要在于求 ，其他各步都是线性组合，计算量不大，所以， Romberg方法在到达同样精度的前提

28、下大大节省了计算量。)(0lT数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS重积分的计算 badcdxdyyxf),( 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进展的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。a,b,c,d 为常数，为常数，f 在在D 上延续。将它变为化累次积分上延续。将它变为化累次积分 dcbabadcbadcdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(

29、),(首先来看看复化梯形公式的二重推行数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS做等距节点，x轴，y轴分别有：ncdkmabh,dcdyyxf),(先计算),(21),(),(21),(110nnjjdcyxfyxfyxfkdyyxf，将x作为常数，有再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分),(21),(),(212),(210110000yxfyxfyxfhdxyxfmmiiba),(21),(),(212),(21110nmmininbanyxfyxfyxfhdxyxf二重

30、积分的复化梯形公式二重积分的复化梯形公式数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 1111110111101111),(),(21),(21 ),(21),(),(21 ),(),(njmijinjjmjnjjmmijijnjbajbanjjyxfhyxfyxfhyxfyxfyxfhdxyxfdxyxf数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 1111,111111110111

31、1000000),( ),( ),(),(),(),(21 ),(),(),(),(41),(njmijijinjmijinjjmnjjminimiimmnbadcyxfchkyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfhkdxdyyxf系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边境为1/2，内部节点为1),(),(12)()(222222fykfxhabcdfE误差数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS类似前面有： minjjijibadcyxfhkdxdyyxf00,),

32、(),(记TnTmvvvVuuuU31,34,32,34,32,34,31,31,34,32,34,32,34,31,1010jijivu ,二重积分的复化二重积分的复化Simpson公式公式做等距节点，x轴，y轴分别有：ncdkmabh,m，n为偶数为偶数数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS),(),(180)()(444444fykfxhabcdfE误差数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF

33、 MATHEMATICSLab03 复化积分复化积分1.分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积 分公式计算积分的通用程序2.用如上程序计算积分51( )sin( )I fx dx取节点xi , i=0,N，N 为 2k,k=0,1,12 ，并估计误差3.简单分析他得到的数据数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSHome WorklP69 ：9。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MA

34、THEMATICSGauss型积分公式型积分公式 Newton-Cotes 积分公式，可以知道n为偶数时，n+1个点数值积分公式有n+1阶精度。能否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会处理这个问题。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS例：在两点数值积分公式中，假设积分点也作为未知量，那么有4个未知量，可以列出4个方程： 以f(x)在-1,1为例032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxd

35、xxaxadxaa可解出：31,31, 1, 11010 xxaa数值积分公式)31()31(11fffdx具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSbaiiniiinbadxxlaxfafIdxxffI)(, )()()()(0证明：取)()()()()(222120 xxxxxxxxpnn易知：0)(0)(xpIxpIn也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以，n+1个点的数值积分公式不超越2n+1阶n +1个积分点的

36、数值积分公式，代数精度最高个积分点的数值积分公式，代数精度最高2n+1阶阶定理如何构造最高阶精度的公式？如何构造最高阶精度的公式？数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义：假设一组节点 使插值型公式具有2n+1次代数精度，那么称此节点为Gauss点，相应的求积公式为Gauss 型求积公式 构造Gauss型求积公式的关键是求 Gauss点 ,., 10baxxxnbaiiniiindxxlaxfafI)(, )()(0数 学 系University of Science and T

37、echnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS普通性，思索积分：0)(,)()()(xWdxxfxWfIba称为权函数定义两个可积函数的内积为：badxxgxfxWgf)()()(),(两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS利用Schmidt 正交化过程，nxx, 1变为正交基0010( )( )( ),( )( )( )( )( ),( )nninniiiigxfxfx g xgxfxg xg x g

38、x)(,),(),(10 xpxpxpn就可以将多项式基函数数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度Gauss点点Gauss积分，记为积分，记为Gn(f)证明：bannndxxWxxxxxffIfIfE)()(,)()()(21,21xxxxfn假设 f 为 2n1 次多项式，那么为 n1 次多项式又，)(),(xpxnn仅差一个常数零点一样0)(fE1)(nnPfp具有一个很好的性质：nfIfGn),()(数 学 系

39、University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , xn 即为Gauss点. (1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .(3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS)()(),()(,()(00001xpxpxpxpxxxp)()(),()(,()()(),()(

40、,()(111120000222xpxpxpxpxxpxpxpxpxxxp5321141151121142xxdxxdxxdxxdxxx解解 按按 Schemite Schemite 正交化过程作出正交多项式正交化过程作出正交多项式: : 的2点Gauss公式.求积分dxxfx)(112例：0( )1p x 数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS故两点Gauss公式为 积分系数为31)(11212211121dxxxxxxdxxlxA112212211211( )3xxAx lx d

41、xxdxxx)()()(535331112ffdxxfxP2(x)的两个零点为的两个零点为 ,532531xx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. (1) Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .几种几种Gauss型求积公式型求积公式由因此,a,b上权函数W(x)=1的Gauss型求积

42、公式为batabbaxdttabbafabdxxf)2)()()22(2)(11baniiixabbafAabdxxf1)22(2)(数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.2386191861036076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153

43、118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.5255324099010122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889数 学 系University of Science

44、 and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点. (2) Gauss-Laguerre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .由所以,对0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:00)()(dxxfeedxxfxx01)()(niixixfeAdxxfi数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.14644