第四章 直梁的弯曲

1、上一内容下一内容回主目录O返回第一篇 力学基础第一章第一章 刚体刚体受力分析受力分析第二章第二章 金属力学性能金属力学性能第三章第三章 受拉构件的强度计算受拉构件的强度计算与受剪切构建的实用计算与受剪切构建的实用计算第四章第四章 直梁的弯曲直梁的弯曲第五章第五章 圆轴的扭转圆轴的扭转上一内容下一内容回主目录O返回 1 弯曲概念和梁的分类弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形梁的变形 6 本章小结本章小结第四章 直梁的弯曲 上一内容下一内容回主目录O返回第一

2、节 弯曲概念与梁的分类 一、弯曲变形的宏观表现与实例一、弯曲变形的宏观表现与实例G/2G/2G/2G/2图图4-1 受力分析受力分析图图4-1所受到的外力有如下特点：所受到的外力有如下特点：(1)外力均与梁的轴线外力均与梁的轴线垂直垂直;(2)外力彼此外力彼此相距较远相距较远.凡具备以上受力特点，并产凡具备以上受力特点，并产生弯曲变形的杆统称为生弯曲变形的杆统称为梁。梁。上一内容下一内容回主目录O返回三、梁的外力、梁的支座三、梁的外力、梁的支座（1）集中力）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（作用面积很小时可视为集中力（N）（2）分布力）分布力q 沿梁轴线分布较长（沿梁轴线分布较长（N/m）

3、（3）集中力偶）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上力偶的两个力分布在很短的一段梁上（Nm）qq(x)均匀分布力均匀分布力P集中力集中力TT集中力偶集中力偶 T分布力分布力非均匀分布力非均匀分布力第一节 弯曲概念与梁的分类 上一内容下一内容回主目录O返回第一节 弯曲概念与梁的分类 梁的支座：梁的支座：a)活动铰链支座活动铰链支座b)固定铰链支座固定铰链支座c)固定端固定端RyRxRAAAmyRxR上一内容下一内容回主目录O返回第一节 弯曲概念与梁的分类 二二. 梁的几个主要类型和名称梁的几个主要类型和名称简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁 外伸梁外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支座，有：一

4、个固定铰链支座和一个活动铰链支座，有一端或两端一端或两端伸出支座以外伸出支座以外：一端固定，另一端自由。：一端固定，另一端自由。上一内容下一内容回主目录O返回例例1 简支梁的受力分析简支梁的受力分析0, 0, 0MYX利用静力学平衡方程：利用静力学平衡方程：0X 0RAx0Y 0PRRByAy0MA02/lPlRBy2/PRBy2/PRAyAxRl2/lPABByRAyRxy第一节 弯曲概念与梁的分类 上一内容下一内容回主目录O返回思考题：悬臂梁的受力分析思考题：悬臂梁的受力分析0X 0Rx0Y 0lqRyqlRy 0AM02lqlMA221qlMAMAqlABRyRxxy第一节 弯曲概念与梁

5、的分类 上一内容下一内容回主目录O返回 1 弯曲概念和梁的分类弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形梁的变形 6 本章小结本章小结第四章 直梁的弯曲 上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 一、梁横截面内的内力一、梁横截面内的内力1. 从力的平衡看梁中的内力从力的平衡看梁中的内力P1M1M1Q1QARPPaaABCDBRBR1x 用截面法求用截面法求1-1截面内力：截面内力：以任一段如左段为对象，受以任一段如左段为对象，受力如图所示。力如图所示

6、。由静力平衡方程知：由静力平衡方程知：0Y 01QRAPRQA1 0M111PxxRMA剪力剪力弯矩弯矩RA=RB=PAR11P上一内容下一内容回主目录O返回求求2-2截面内力：以右段为对象截面内力：以右段为对象0Y 02PQRA02ARPQ 0M0)(222MxRaxPAaPM2 弯曲变形时梁横截面上弯曲变形时梁横截面上的内力包括的内力包括剪力剪力Q和和弯矩弯矩M。剪力剪力弯矩弯矩 AC段和段和BD段截面内有段截面内有剪力和弯矩，属于剪力和弯矩，属于剪切弯剪切弯曲曲。 CD段截面内只有弯矩，段截面内只有弯矩，没有剪力（没有剪力（=0），属于），属于纯纯弯曲弯曲。P2M2QBRP1M1M1Q1

7、QARPPaaABCDBRBR1xAR222x第二节 梁的内力分析 上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 2. 从弯曲变形看弯矩从弯曲变形看弯矩PPaaABCD1）纵向纤维变成了）纵向纤维变成了弧线，凹入边纵向纤弧线，凹入边纵向纤维维缩短了，突出边缩短了，突出边 n1n2伸长了，伸长了， O1O2长度不变。长度不变。2）横向线）横向线a1b1、a2b2仍为直线，说明变仍为直线，说明变形前的横截面变形形前的横截面变形后仍然保持为平面。后仍然保持为平面。 加载后发生弯曲：加载后发生弯曲：上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 3）a1b1与与a2b2不再平行（互相倾斜），

8、说明横截面不再平行（互相倾斜），说明横截面a1b1与与a2b2发生了相对转动。发生了相对转动。上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 中性层：中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。维层称为中性层。xyz中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴中性层中性层梁的弯曲，实际是上各个截面绕着中性轴的相对转动。梁的弯曲，实际是上各个截面绕着中性轴的相对转动。上一内容下一内容回主目录O返回zy第二节 梁的内力分析 将梁沿中性轴纵向切开将梁沿中性轴纵向切开(1)作用在中性轴上面的是压应力；作用在中性轴上面的

9、是压应力；(2)作用在中性轴下面的是拉应力。作用在中性轴下面的是拉应力。sdA根据弯矩的定义根据弯矩的定义AMy dA上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 剪力计算法则：剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面梁任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧都可）所有一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力横向外力的的代数和代数和。 截面截面左侧向上左侧向上的外力和截面的外力和截面右侧向下右侧向下的外力取的外力取正正值；值；截面截面左侧向下左侧向下的外力和截面的外力和截面右侧向上右侧向上的外力取的外力取负负值。值。二、剪力和弯矩的计算二、剪力和弯矩的计算Q=P0Q=P0Q=P0Q=P

10、 Ra=935N上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 CD段：段：NPRQA43512125435)(12xaxPxRMAaABCDblP1P3P2l/2EDE段：段：NPPRQA565213625565)2/()(213xlxPaxPxRMAEB段：段：NRQB8654865865)(4xxlRMBRARB上一内容下一内容回主目录O返回第二节 梁的内力分析 NQ9351xM9351NQ43521254352xMNQ56536255653xMNQ86548658654xMQ (N)xM (Nm)x上一内容下一内容回主目录O返回例例2 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷

11、载作用。试作梁的剪力的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。解：解：1）求支反力）求支反力2qlRRBA2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程qxqlQ2 222qxqlxxMxRBRABlAq第二节 梁的内力分析 上一内容下一内容回主目录O返回qxqlQ2ql 2Qxxql2 8M 222qxqlxxM 在均布载荷作用下，弯矩图为抛物线；在均布载荷作用下，弯矩图为抛物线；q向下时抛向下时抛物线开口向下；物线开口向下；q向上时，抛物线开口向上。向上时，抛物线开口向上。xBlAq第二节 梁的内力分析 上一内容下一内容回主目录O返回 1 弯曲概念和梁的分类弯曲概念和梁的分类 2

12、 梁的内力分析梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形梁的变形 6 本章小结本章小结第四章 直梁的弯曲 上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 一、一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力1. 变形几何关系变形几何关系yz1m2a1a2m1o2o1n2n1b2b(1)横向线横向线a1b1和和 a2b2仍然仍然为直线，但相互倾斜，与为直线，但相互倾斜，与弯后纵线弯后纵线m1m2和和n1n2仍然仍然正交；正交；(2)纵线纵线m1m2和和n1n2变为变为弧线，凹入边

13、弧线，凹入边m1m2缩短，缩短，凸出边凸出边n1n2伸长。伸长。纯弯曲试验现象：纯弯曲试验现象：1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bxoyyd上一内容下一内容回主目录O返回距中性层距离为距中性层距离为y处的纵向纤维处的纵向纤维变形前变形前ddxOOnn2121 ：中性层的曲率半径中性层的曲率半径变形后变形后21nn伸长量：伸长量：yd线应变：线应变：dyddxd1dydxy1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bxoyydy1m2a1a2m1o2o1n2n1b2bdxdy)(第三节 纯弯曲梁的正应力 上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 2. 正应力分布规律正应力分布规律

14、根据虎克定律，当应力不超过比例极限时：根据虎克定律，当应力不超过比例极限时：yEE 横截面上任意一点的正应力，与该点到中性轴的距横截面上任意一点的正应力，与该点到中性轴的距离成正比。距中性轴越远，应力越大。距中性轴同一高离成正比。距中性轴越远，应力越大。距中性轴同一高度上各点的正应力相等。中性轴上度上各点的正应力相等。中性轴上y=0，=0。xyz中性轴中性轴正应力分布规律：正应力分布规律：)(maxmaxpyE上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 例例 4-3 直径为直径为1mm的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持收弯的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持收弯钢丝的弹性，试问圆柱体的直径不

15、得小于多少？已知钢丝钢丝的弹性，试问圆柱体的直径不得小于多少？已知钢丝的比例极限时的比例极限时400MPa，弹性模量，弹性模量E=2105MPa。解解：根据：根据maxmax1Eymax5min22 100.52504 10pEymm所以圆柱体的直径不得小于所以圆柱体的直径不得小于2r即即500mm启发：对承载用的钢丝绳，在横截面积相等的条件下启发：对承载用的钢丝绳，在横截面积相等的条件下 ，钢丝，钢丝细些，根数多些，钢丝绕性越好，便于捆绑物体细些，根数多些，钢丝绕性越好，便于捆绑物体上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 3. 曲率与弯矩的关系曲率与弯矩的关系 弯矩弯矩M即截

16、面上分布内力的合即截面上分布内力的合力偶矩，所以力偶矩，所以AAyMdyEE AAEMdy2AAyEd2令令AzAyId2横截面对中性轴横截面对中性轴z的的轴惯性矩轴惯性矩Mxyz中性轴中性轴轴惯性矩轴惯性矩Iz只与横截面的几何形状有关。只与横截面的几何形状有关。zIEMzEIM1上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 zEIM1yEE zIMy4. 正应力的计算公式正应力的计算公式弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式 适用范围：适用范围：zIMy弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式1）纯弯曲和）纯弯曲和l/h5剪切弯曲剪切弯曲2）有纵向对称面的梁（未必为矩形）有纵向对称面的梁

17、（未必为矩形）3）弹性变形阶段（）弹性变形阶段（ ）pmax上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 最大正应力、及位置：最大正应力、及位置：zIMyzIMymaxmax最大正应力发生在离中性轴最最大正应力发生在离中性轴最远处远处上、下边缘上、下边缘 令令maxyIWzz横截面对中性轴横截面对中性轴z的的抗弯截面模量抗弯截面模量zWMmax横截面上最大正应力计算式横截面上最大正应力计算式zybhmaxymaxy上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 5. 截面的截面的Iz与与Wzbh/2h/2ydyyzo32222()12hhzAbhIy dAy bdy32max

18、/1226zzIbhhbhWy上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 二、正应力的强度条件二、正应力的强度条件 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；2. 正应力强度条件正应力强度条件bzWMmaxmax1. 危险面与危险点危险面与危险点许用弯曲应力许用弯曲应力脆性材料（如铸铁）脆性材料（如铸铁）抗拉和抗压性能不同，二方面都抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑。要考虑。梁横截面不对称于中性轴时（如梁横截面不对称于中性轴时（如T字型钢），上下表字型钢），上下表面抗弯截面模量不同。面抗弯截面模量不同。说明：说明：上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正

19、应力 例题例题4-4：已知：已知：l=3m，h=15cm，b=10cm，q=3000N/m，许用弯曲应力许用弯曲应力b =10MPa。按正应力校核强度。按正应力校核强度。qxlyz/2lmaxMANBN所以强度足够所以强度足够8/330008/22max qlM解：解：最大弯矩最大弯矩Nm33756/15. 01 . 06/22 bhWz341075. 3mMPaWMz91075. 333754maxmaxMPa10上一内容下一内容回主目录O返回qxlyz/2lmaxMANBN上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 MmaxMx例例4-5： 已知许用弯曲应力已知许用弯曲应力b

20、=120MPa ，l=1.6m，矩形截，矩形截面面a/b=2，其它如图所示。试确定三种梁截面的尺寸。，其它如图所示。试确定三种梁截面的尺寸。ANBNl/2lyyzzP=1500Nzy4/MmaxPl解：梁的最大弯矩解：梁的最大弯矩Nm60004/6 . 11500bzWMmaxmaxmaxbzMW3650101206000cm梁为矩形平放时：梁为矩形平放时：503626322bbbabWza=10.6cm b=5.3cm上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 梁为矩形立放时：梁为矩形立放时：5012632abaWza=10.6cm b=5.3cmA=53.2cm2a=8.4cm

21、 b=4.2cmA=35.3cm2梁为工字钢时：梁为工字钢时：350cmWz查表取查表取10号工字钢，横截面积号工字钢，横截面积A=14.3cm2三种不同截面的梁所需的横截面积之比：三种不同截面的梁所需的横截面积之比：工字钢：矩形立方：矩形平放工字钢：矩形立方：矩形平放=1：2.47：3.72满足相同的强度条件，工字钢用料最省。满足相同的强度条件，工字钢用料最省。上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 三、梁的合理设计三、梁的合理设计 在一般情况下，弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要在一般情况下，弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素，根据正应力强度条件，要提高梁的弯曲强度，可因素

22、，根据正应力强度条件，要提高梁的弯曲强度，可从以下方面考虑：从以下方面考虑：1. 选择合理的截面形状选择合理的截面形状2. 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 1）将荷载分散）将荷载分散2）合理设置支座位置）合理设置支座位置Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4 l/4l/4D+Pl/4M图图+Pl/8M图图Pl/8qlABql2/8M图图+q3l/5ABl/5l/5M图图+-ql2/40ql2/50ql2/50辅梁辅梁上一内容下一内容回主目录O返回第三节 纯弯曲梁的正应力 2. 合理选取截面形状合理选取截面形状bzWMmaxmaxM

23、一定时，一定时，Wz越大，越大，越小，强度增加。越小，强度增加。 当截面积一定时，材料分布在离中性轴较远处可获得较大的当截面积一定时，材料分布在离中性轴较远处可获得较大的Wz。 实例：工字形、空心矩形（竖放）、圆环形均属合理截面。实例：工字形、空心矩形（竖放）、圆环形均属合理截面。yzyzyz上一内容下一内容回主目录O返回 1 弯曲概念和梁的分类弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形梁的变形 6 本章小结本章小结第四章 直梁的弯曲 上一内容下一内容回主目录

24、O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考虑，强度计算时只考虑正应力即可。但对虑，强度计算时只考虑正应力即可。但对跨距短跨距短、截面截面高而窄高而窄的的矩形截面梁矩形截面梁，腹板薄腹板薄的的工字梁工字梁等则不能忽视。等则不能忽视。 无论何种截面，最大剪应力均发生在中性轴上。无论何种截面，最大剪应力均发生在中性轴上。 梁弯曲时，既有剪力，又有弯矩，弯矩形成正应力，梁弯曲时，既有剪力，又有弯矩，弯矩形成正应力，剪力产生剪应力。因此梁弯曲时，截面上既有正应力（纯剪力产生剪应力。因此梁弯曲时，截面上既有正应力（纯弯曲只

25、有正应力），又有剪应力。弯曲只有正应力），又有剪应力。上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 一、矩形截面梁一、矩形截面梁hbmax最大剪应力：中性轴上，是平均剪应力得最大剪应力：中性轴上，是平均剪应力得1.5倍倍5 . 123maxAQ)4(222yhIQz)4(222yhIQzAQ23max剪应力：剪应力：上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 例题例题4-7 图示一矩形截面悬臂梁，试比较横截面图示一矩形截面悬臂梁，试比较横截面内发生的最大剪应力和最大正应力。内发生的最大剪应力和最大正应力。zWMmaxmax解lh4maxmaxAQ23max 非薄壁梁的

26、剪应力比正应力小得多，剪切弯曲的强度非薄壁梁的剪应力比正应力小得多，剪切弯曲的强度可可只按正应力计算只按正应力计算，不必考虑剪应力不必考虑剪应力。yzlhbP2266bhPlbhPlbhP23上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 二、工字形截面梁二、工字形截面梁p翼缘部分翼缘部分max腹板上的腹板上的max，只需计算腹板上的，只需计算腹板上的max。p剪应力主要由腹板承受（剪应力主要由腹板承受（9597%），且腹板上），且腹板上maxminp工字钢最大剪应力约等于最大剪力除以腹板面积：工字钢最大剪应力约等于最大剪力除以腹板面积：dhQ0maxmaxd0h腹板腹板zy翼缘翼缘

27、上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 AQ2maxQ所讨论截面上的剪力所讨论截面上的剪力A圆环的截面面积圆环的截面面积实例：卧式容器实例：卧式容器封头人孔支座筒体管口液位计 最大剪应力：中性轴最大剪应力：中性轴处，其值为平均剪应力的处，其值为平均剪应力的2倍。倍。xQ剪力图剪力图三、环形截面梁三、环形截面梁上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 四、实心圆截面梁四、实心圆截面梁最大剪应力在中性轴上：最大剪应力在中性轴上：AQ34max上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 MPaMPadhQ4027.188 .1215 .5122400m

28、ax例例4-8 试对例题试对例题4-5和和4-6中的工字梁进行剪切强度校核，中的工字梁进行剪切强度校核，已知材料的需用剪应力已知材料的需用剪应力=40MPa。解：例题解：例题4-5中所求的工字钢为中所求的工字钢为10号，查附表号，查附表A-1 钢板厚度钢板厚度d=4.5mm，腹板高，腹板高h0=100-27.6=84.8mm由表由表4-1知，知，NPQ75002/maxMPaMPadhQ4065.198 .845 .475000max根据例题根据例题4-6结果，结果，kNPqlQ24.122/ 2/max查附表查附表A-1知，钢板厚度知，钢板厚度d=5.5mm腹板高腹板高h0=140-29.1

29、=121.8mm 工字钢等梁正应力达到许用应力时，最大剪应力仍远低于许用剪工字钢等梁正应力达到许用应力时，最大剪应力仍远低于许用剪应力。应力。上一内容下一内容回主目录O返回第四节 直梁弯曲时的剪应力 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况： 对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考对一般细长梁，剪力对强度和刚度影响很小，可不考虑，强度计算时只考虑正应力即可。虑，强度计算时只考虑正应力即可。1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，M 较小，而较小，而Q较大时，要校核剪应较大时，要校核剪应力；力； 2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小）铆接或焊接的组合截面，其腹板的

30、厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力；于型钢的相应比值时，要校核剪应力；3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核要校核剪应力。剪应力。上一内容下一内容回主目录O返回 1 弯曲概念和梁的分类弯曲概念和梁的分类 2 梁的内力分析梁的内力分析 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件强度条件 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力 5 梁的变形梁的变形 6 本章小结本章小结第四章 直梁的弯曲 上一内容下一内容回主目录O返回第五节 梁的变形 一、梁的挠度和转角一、梁的挠度和转角 梁除去应满足强度条件不发生破坏外，还应满足刚度梁除去应满足强度条件不发生破坏外，还应满足刚度条件，以保证工况良好。条件，以保证工况良