D18连续性间断点08ppt课件

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数的连续性与间断点 第一章 可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 continue)()(lim, ),(000 x

2、PxPxxx假设)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()

3、(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例. 证明函数证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在在在在二、函数的间断点二、函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3)

4、 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一函数之一函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为间断点称为间断点 . 在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf假设假设称称0 x, )()(00 xfxf假设假设称称0 x第二类间断点第

5、二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为可去间断点为可去间断点 .为跳跃间断点为跳跃间断点 .为无穷间断点为无穷间断点 .为振荡间断点为振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1) 1 (1)(lim1fxf

6、x显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为为连续函数连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是

7、第一类可去间断点 ,3. 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 确定常数确定常数a 、b, 使得使得 2122( )lim1nnnxaxbxf xx 为连续函数为连续函数.解解: 因为因为 【分析】主要考虑指数函数在【分析】主要考虑指数函数在n 时的极限时的极限.2 11 1 ()1(1) 121(1) 12axbxx

8、xxfxabxabx ，这类函数一般都是分段函数这类函数一般都是分段函数.( )( )f xf xx 要要使使连连续续, ,则则必必须须在在 = =1 1处处连连续续1111lim( )lim( )(1) lim( )lim( )( 1)xxxxf xf xff xf xf 由由11(1)2 11(1)2abababab 得得10 11abaabb 即即内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间