积分法上-换元积分法ppt课件

1、第二节 积分法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有3.2.1 3.2.1 换元积分法换元积分法)(xu xxxfd)()( uufd)( xxg)d(CuF )(.)(CxF xxud)(d 1. 第一类换元法 (凑微分法)sin2 dx x 2 ux1cos2uC 1cos22xC 1sin2 d(2 )2xxsin2 dx x2 sin cos dxx x2 sin d(sin )xx2uCsin2

2、duxu u2sin x C1sin d2u u例例1.1.求求sin2 dx x解或例例2.2.1d3 2xx1ln 32.2xC11d(3 2 )2 3 2xx例例3.3.1001(32 )d(32 )2xx3 2ux 3 21 1d2uxuu 1ln2uC1001d2uu1011202uC1011(32 ).202xC100(32 )dxx例例4.4.22dxax2221d1xaxa211d( )1 ( )xxaaa1arctan.xCaaCaxaxax arctan1d22例例5.5.22dxax)0( a21d( )1 ( )xaxaarcsin.xCaCaxxax arcsind2

3、2Caxaxaln21例例6.6.求求.d22axx解解221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 = =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d例例7.7.221e d2xx21e.2xC2e dxxx例例8.8.21dxx x2211d(1)2xx 3221(1).3xC例例9.9.cosdxxx2 cosdxx2sin.xC常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn

4、1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例10. 10. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例11.11.求求tan d .x x解解xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtanx

5、xtansecxxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtanseclnxxdcscCxxcotcscln例例12.12.求求.dsecxx例例13. xxdsin2 xx d)2cos1(21 xxdsin3xxxdsinsin2 xxcosd)cos1 (2.cos31cos3Cxx xxxdcossin52 )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx .2sin4121Cxx )2d(2cos412

6、1xxx例例14.例例15.例例16. 求求.dsec6xx解解 原式原式 = =xdxx222sec) 1(tanxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例17. xxdtan3 xxxdtan) 1(sec2 xxxxdtantandtan.seclntan212Cxx xxxdsectan35 xxxxxd)sec(tansectan24 xxxsecdsec)1(sec222.sec31sec52sec71357Cxxx xxxxsecd)secsec2(sec246 xxxsecdsectan24例例18.5sin101sin21Cxx 例例1

7、9. xxxd2cos3cos)cos()cos(21coscos xxxd)5cos(cos21例例20. xxxxxdcossincossin )cos(sindcossin1xxxx.cossinlnCxx 例例21. 21. 求求.1dxex解法解法1 1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样CtF )(.)(1CxF xxfd)( tttfd)()( 2. 2. 第二换元积分法第二换元积分法回代回代不不能能凑凑出出

8、xd, , 作作变变换换tx ) 0( t, , 则则 xx1d tttd12 ，2tx ，ttxd2d ttd)111(2，Ctt )1ln( 2回代回代, ,.)1ln( 2Cxx 原原式式.1d xx例例22.22.解解.d)1(13xxx 求求解解,d6d5ttx ttttd)1(6235原原式式 tttd1622，令令6tx ttd)111(62Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 例例23. 23. 例例24.24.求求. )0(d22axxa解解 令令 , ),(,sin22ttaxtaaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttad

9、costtadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例25.25.求求. )0(d22aaxx解解 令令, ),(,tan22ttax22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C例例26.26.求求. )0(d22aaxx解解 ,时当ax 令令, ),0(,sec2ttax22222secataaxtatanxdtttadtansec原式原式td

10、 ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令,ux,au 则22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln三角代换去掉根式三角代换去掉根式22)1(xa 令令;sintax 22)2(xa 令令;tantax 22)3(ax 令令.sectax .d1122xxx 求求解解，ttxdsecd2 ，令令txtan ttttdsectansec22原原式式 tttdsincos2Ct

11、sin1.12Cxx 例例27. 27. 1x21x t ttsindsin12(11)tan dxx (12)cot dx x (13)sec dx x (14)csc dx x Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln常用基本积分公式的补充 P207-208221(15)d xaxCaxaarctan1221(17)dxax221(18)dxxa221(16)dxxaCaxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22221(19)dxxaCaxx22ln.32d2 xxx解解 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan2

12、1xC例例28. 求求例例29. 求求.1d2xxx解解 原式原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例30. 求求.94d2 xx 223)2()2(d21xxCxx942ln212解解 原式原式例例31. 31. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin例例32. 32. 求求.d222axxx解解: 令令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )

13、2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如内容小结内容小结第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()6(xa

14、fx令xat 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx2. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt13. 知知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12xx那么1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt2