vtalking总结高二理科各科学习方法4数学课本精析

1、精析一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：x | y = lg x函数的定义域；y | y = lg x函数的值域；(x, y) | y = lg x函数图象上的点集，如：（1）设集合 M =x | y = x + 3，集合 Ny | y = x2 +1, x Î M ，则 MN = （答： 1, +¥)= xy =x - 4x + 3ìÎ é- p , p ùüMN = 2（2）集合 M，集合N = yy = siní3 úûýêë6îþ

2、（答：1 ）2、条件为 A Í B ，在讨论的时候不要遗忘了 A = f 的情况如：（1）若非空集合 A = x / 2a + 1 £ x £ 3a - 5， B = - 22) £ 0 ，则使得 A Í A Ç B 成立的（答： 6 £ a £ 9 ）a 的集合是 + a < 0, N =- 2 > 0, 若 M Í N ，则实数a 的取值范围为 （2）集合 M=（条件为 A Í B ，在讨论的时候不要遗忘了 A = f 的情况）（3） A = x | ax 2 - 2x -1 =

3、 0，如果 A I R+ = f ，求 a 的取值。3、 A I B =x | x Î A且x Î B ; A U B =x | x Î A或x Î B（答： a ³ 3 ）（答：a0）CUA=x|xU 但xÏ A; A Í B Û x Î A则x Î B ;真子集怎定义？如：含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,真子集个数为n2n1;如：满足1, 2̹ M Í 1, 2, 3, 4, 5集合 M 有 个。4、CU(AB)=CUACUB; CU(AB)=CUAC

4、UB;5、AB=A Û AB=B Û A Í B Û CUB Í CUA Û ACUB= Æ Û CUAB=U（答：7）6、补集思想常运用于解决型或正面较复杂的有关问题。如：（1）若关于 x 的不等式| x + 2 | + | x -1 |< a 的解集是Æ ，则 a 的取值范围是 （答： a £ 3 ）f (x) = 4x 2 - 2( p - 2)x - 2 p 2 - p + 1在区间-1,1 上至少存在一个实数 c ，使f (c) > 0 ，求（2）已知函数3（答： (-3,

5、 ) ）实数 p 的取值范围。27、原命题: p Þ q ;逆命题: q Þ p ;否命题: Øp Þ Øq ；逆否命题: Øq Þ Øp ；互为逆否的两个命题是等价的.如：（1）“ sin a ¹ sin b ”是“ a ¹ b ”的 条件。（答：充分非必要条件）+1,"x0 Î R, $y0 > 0 ，使得 f (x0 ) = y0 ， 命题 q ：“ 不等式（ 2 ） 设命题 p : “ 已知函数 f (< 9 - m2 有实数解”，若 Øp 且

6、q 为真命题，则实数 m 的取值范围为 （答： (-3,-2 U2,3) ）x28、若 p Þ q 且 q ¹p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）;x -1 < 2 成立”的一个必要而不充分条件 （答：比(-1,3) 范围大即可）如：写出“9、注意命题 p Þ q 的命题 p Þ q 的命题“p 或q”的与它的否命题的区别:是 p Þ Øq ；否命题是Øp Þ Øq是“ Ø P 且Ø Q”，“p 且q”的是“ Ø P 或Ø

7、 Q”注意：如：命题：“若 a 和b 都是偶数，则 a + b 是偶数”否命题：“若 a 和b 不都是偶数，则 a + b 是奇数” 命题的：“若 a 和b 都是偶数，则 a + b 是奇数”二、函数与导数1、指数式、对数式：ma n- m 1 =a ，nma=，nma n=| a |= ìa, a ³ 0当 n 为奇数时， n an = a ；当 n 为偶数时，lg 2 + lg 5 = 1n aní-a, a < 0.îa0 = 1(a ¹ 0)， ab = N Û log N = b(a > 0,a ¹ 1

8、, N > 0)alog a a = b，baloga N= N,，log(bn ) = n logM, log (MN ) = log M + log Nlog= log M - log Nb;(am )aaaaaaamN1log b =alog ab11log 2 8 的值为（答：）(lg 2)3 + 3lg 2 × lg 5 + (lg 5)3 =如： ( ) 2 （答：1）642、一次函数:y=ax+b(a0) b=0 时奇函数;3、二次函数b4ac - b2b三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(对称轴 x = -,a0,顶点 (-,) );顶点式 f(x)=

9、a(x-h)2+k;零点2a2a4a2 );b=0 偶函数;式 f(x)=a(x-x )(x-x )(对称轴122区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;+ a 2 - 2a + 2 在区间 0,2 上 有 最 小 值 3 ，求 a 的值 (1) 已 知 函 数 f (如： (答: a = 1-2,5 + 10 )（2）若函数 y = 1 x2 - 2x + 4 的定义域、值域都是闭区间2,2b ，则b （答：2）2实根分布:先画图再研究开口、>0、对称轴与区间关系、区间端点函数值符号;4、反比例函数: y = c (x ¹ 0) 平移Þ y

10、= a +(中心为(b,a) ，对勾函数 y = x + a 是奇函cx - bxx数, a < 0时,在区间(-¥，0),(0，+ ¥)上为增函数， a > 0时,在(0，a ,- a ,0)递减 在(-¥，-a , a,+¥)递增5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若 a = 20.5 ， b = log 3 ， c = log sin 2 ,则 a, b, c 的大小关系为（答： c < b < a ）25ì1ü（2）设 a Î -1，13 ，则使函数 y = x 的定义域为aí

11、， ，ýRa且为奇函数的所有值为（答：1 或 3）î2þ（3）不等式lg( x -1) < 1 的解集是方程9x - 6 × 3x - 7 = 0 的解是（答: (1,11) log 7）3ì4x - 4，x £ 1，（4）函数 f (x) = í的图象和函数 g(x) = log2 x 的图象的交点个数是 （答：3 个）4x + 3，x > 1î（5）、幂函数 y= xa ，当a取不同的正数时，在区间0，1上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）设yB点 A（1，0），B（0，1），连接 AB，线段 AB

12、 恰好被其中的两个幂函数 y= xa ，y= x b 的图像三等分，即MN有 BM=MN=NA那么，ab= （6）、设二元一次不等式组ìx + 2 y -19 ³ 0（答：1）xAïx - y + 8 ³ 0所表示的平面区域为M，若函数y = ax (a > 0 , a ¹ 1) 的图象没有经íï2x + y -14 £ 0î过域 M ,则a 的取值范围 （答： 0 < a < 1,1 < a < 2, a > 9 ）6、单调性定义法;导数法.（1）设 x1 ×

13、; x2 Îa,b, x1 ¹ x2 那么f (x1 ) - f (x2 ) > 0 Ûf (x)在a,b上是增函数；f (x)在a,b上是减函数.) f (x ) - f (x ) > 0 Û(x - x1212x - x12f (x1 ) - f (x2 ) < 0 Û) f (x ) - f (x ) < 0 Û(x - x1212x - x12(2)设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果 f ¢(x) > 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ¢(x) <

14、 0 ，则 f (x) 为减函数.如：（1）已知函数 f (x) = x3 - ax 在区间1, +¥) 上是增函数，则 a 的取值范围是(答： (-¥,3 )；+ a |在0,+¥) 上为增函数，则 a 的取值范围为 （答： a ³ 0 ）(2) 函数 f (注意： f ¢(x) > 0 能推出 f (x) 为增函数，但反之不一定。如函数 f (x) = x3 在 (-¥,+¥) 上单调递增，但f ¢(x) ³ 0 ， f ¢(x) > 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件

15、。注意：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如：已知奇函数 f (x) 是定义在(-2,2) 上的减函数,若 f (m -1) + f (2m -1) > 0 ，求实数 m 的取值范围。12（答： -< m <）23复合函数由同增异减判定 图像判定.作用:比大小,解证不等式.如：（1）函数 y = log1 (-x + 2x) 的单调递增区间是 (答：（1,2）)。221)(0 < a < 1) 在区间(-,0) 内单调递增，则 a 的取值范围是 （2）若函数 f (23(答： ,1) )47、奇偶性：f(x)是偶函数 Û f

16、(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 Û f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。k - 2x 1+ k × 2x（答： k = ±1）如：（1）若函数 f (x) =（a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k= （2）定义在R 上的偶函数 f (x) 在(-¥,0 上是减函数，若 f (a -1) > f (2 - a) ，则 a 的取值范围是 3（答： a >）2（3）已知函数 y=f(x),x1，1的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（

17、）,则不等式的的解集为 11（答：-1,- ) U (0, ) ）22（4）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数， f (1) = 0 ，xf ¢(x) -f (x) > 0（x > 0），则不等式 x2 f (x) > 0 的解集是（答： (-1,0) U (1,+¥) ）x 28、周期性。（1）类比“三角函数图像”得： 如：已知定义在 R 上的函数f (x) 是以 2 为周期的奇函数，则方程 f (x) = 0 在-2, 2 上至少有个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数 f (x) 满足 f (x) = f (a + x) (a &g

18、t; 0) ，则 f (x) 是周期为 a 的周期函数”得：函数 f (x) 满足- f (x) = f (a + x)，则 f (x) 是周期为 2 a 的周期函数；1若 f (x + a) =(a ¹ 0) 恒成立，则T = 2a ；f (x)1若 f (x + a) = -(a ¹ 0) 恒成立，则T = 2a .f (x)如：(1) 设 f (x) 是(-¥,+¥) 上的奇函数， f (x + 2) = - f (x) ，当0 £ x £ 1 时， f (x) = x ，则 f (47.5) 等于 (答： - 0.5 )；（2

19、）若 f (x) 是R 上的偶函数，f (x - 1) 是R 上的奇函数，则 f (x + 4) 与 f (x) 的大小关系为 （答： f (x + 4) = f (x) ）（3）定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x + 2) = f (x) ，且在-3, -2 上是减函数，若a , b 是锐角三角形的两个内角，则 f (sina ), f (cos b ) 的大小关系为 (答： f (sina ) > f (cos b ) )9、常见的图象变换函数 y = f (x + a)的图象是把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴向左(a > 0) 或向右(a <

20、0) 平移 a 个如：（1）要得到 y = lg( 3 - x) 的图像，只需作 y = lg x 关于 轴对称的图像，再向 平移 3 个y ；右)；得到的。而得到(答：（2）函数 f= x × lg(x + 2) -1的图象与 x 轴的交点个数有个(答：2)函数 y = f (x)+ a 的图象是把函数 y = f (x)助图象沿 y 轴向上(a > 0) 或向下(a < 0) 平移 a 个得到的；函数 y = f (ax) (a > 0) 的图象是把函数 y = f (x)的图象沿 x 轴伸缩为原来的 1 得到的。a如：（1）将函数 y = f (x) 的图像上

21、所有点的横坐标变为原来的 1 （纵坐标不变），再将此图像沿 x 轴方向向左平移 23，所得图像对应的函数为(答： f (3x + 6) )；个（2）如若函数 y = f (2x -1) 是偶函数，则函数 y = f (2x) 的对称轴方程是(答： x =- 1 )2函数 y = af (x) (a > 0) 的图象是把函数 y = f (x)的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的.10、函数的对称性f ( x + a) = f (b - x) 的函数的图象关于直线 x = a + b 对称。满足条件2如：已知二次函数 f (x) = ax 2 + bx(a ¹ 0) 满足条

22、件 f (5 - x) = f (x - 3) 且方程 f (x) = x 有等根，则 f (x) 1(答： -x + x )；22点(x, y) 关于 y 轴的对称点为(-x, y) ；函数 y = f (x)关于 y 轴的对称曲线方程为 y = f (- x)；点(x, y) 关于 x 轴的对称点为(x, - y) ；函数 y = f (x)关于 x 轴的对称曲线方程为 y = - f (x)；点(x, y) 关于原点的对称点为；函数 y = f (x)关于原点的对称曲线方程为 y = - f (- x)；点(x, y) 关于直线 y = ±x + a (-x, - y) 的对称

23、点为(±( y - a), ±x + a) ；曲线 f (x, y) = 0 关于直线y = ±x + a 的对称曲线的方程为 f (±( y - a), ±x + a) = 0 。特别地，点(x, y) 关于直线 y = x 的对称点为( y, x) ；曲线 f (x, y) = 0 关于直线 y = x 的对称曲线的方程为f ( y, x) = 0 ；点(x, y) 关于直线 y = -x 的对称点为(- y, -x) ；曲线 f (x, y) = 0 关于直线 y = -x 的对称曲线的方程为 f (- y, -x) = 0 。- 33,

24、若 y = f (x + 1) 的图像是C ,它关于直线 y = x 对称图像是C ,C 关于如：己知函数 f- 31222原点对称的图像为C ,则C 对应的函数式是（答： y =- x + 2 ）；332x +1a + bb - a若 f(ax)f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x=对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图像关于直线 x=对称。2提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；2如：已知函数 f (x) = x + 1 - a (a Î R) 。求证：函数f (x) 的图像关于点 M (a, -1) 成中心对

25、称图形。a - x曲线 f (x, y) = 0 关于点(a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a - x, 2b - y) = 0 。如：若函数 y = x 2 + x 与 y = g(x) 的图象关于点（-2，3）对称，则 g(x) （答： -x2 - 7x - 6 ）形如 y = ax + b (c ¹ 0, ad ¹ bc) 的图像是双曲线，对称中心是点(- d , a ) 。cx + dc c如：已知函数图象C¢ 与C : y(x + a +1) = ax + a2 +1关于直线 y = x 对称，且图象C¢ 关于点（2，3）对称，则 a 的

26、值为 （1） y =（答：2）f (x) 的图象先保留 f (x) 原来在 x 轴上方的图象，作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形，然后擦去 x 轴下方的图象得到；（2） y = f ( x ) 的图象先保留 f (x) 在 y 轴右方的图象，擦去 y 轴左方的图象，然后作出 y 轴右方的图象关于 y轴的对称图形得到。如：（1）作出函数 y =| log2 (x +1) | 及 y = log2 | x +1|的图象；（2）若函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，则函数 F (x) =11、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：f (x

27、) + f ( x ) 的图象关于对称 （答： y 轴）正比例函数型： f (x) = kx(k ¹ 0)- f (x ± y) = f (x) ± f ( y) ；幂函数型： f (x) = x2 - f (xy) = f (x) f ( y) ， f ( x ) =f (x)；yf ( y)f (x)；指数函数型： f (x) = ax - f (x + y) = f (x) f ( y)， f (x - y) =f ( y)对数函数型： f (x) = log x - f (xy) = f (x) + f ( y) ， f ( x ) = f (x) - f

28、 ( y) ；ayf (x) + f ( y)三角函数型： f (x) = tan xf (x + y) =。1- f (x) f ( y)如：已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则 f (- T ) =（答：0）212、反函数:函数存在反函数的条件一一数值域是反函数的定义域。；互为反函数的两函数具相同单调性原函数定义域是反函数的值域,原函f (x) 的图象过点(1,1),那么 f (4 - x) 的反函数的图象一定经过点 （答：（1,3）；如：已知函数 y =13、题型方法总结（）判定相同函数:定义域相同且对应法则相同（）求函数式的常用方法：（1）

29、待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： f (x) = ax2 + bx + c ；顶点式：f (x) = a(x - m)2 + n ；零点式：a(x - x )(x - xf () ）12如：已知 f (x) 为二次函数，且 f (x - 2) = f (-x - 2) ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f (x)1（答： f=x + 2x +1）2的式 。2（2）代换（配凑）法已知形如 f (g(x) 的表达式，求 f (x) 的表达式。如：（1）已知 f (1 - cos x) = sin 2 x, 求 f (x 2 )的式2,

30、 x Î- 2, 2 ）；（答： f (（答： x2 - 2x + 3 ）；12（2）若 f (x -，则函数 f (x - 1) =（3）若函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当 x Î (0,+¥) 时， f () ，那么当 x Î (-¥,0) 时，（答： x(1- 3 x ) ）.式的定义域的等价性，即 f (x) 的定义域应是 g(x) 的值域。f (x) = 这里需值得注意的是所求（3）方程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于 f (x) 及另外一个函数的方程组。（答： f (x) = -3x - 2 ）；如：（1）已知

31、f (x) + 2 f (-x) = 3x - 2 ，求的式3（答：1x -12（2）已知 f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f (x) + f (x) g(x) =,则 f (x) =）。x 2 - 1（）求定义域:使函数式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若 f(x)定义域为a,b,复合函数 fg(x)定义域由 ag(x)b 解出；若 fg(x)定义域为a,b,则 f(x)定义域相当于 xa,b时 g(x)的值域；如：（1）若函数 y = f (x) 的定义域为é 1 ,2ù ，则 f (log

32、 x) 的定义域为 （答： x |2 £ x £ 4）；êë 2úû2（2）若函数 f (x2 +1) 的定义域为-2,1) ，则函数 f (x) 的定义域为 （答：1,5）（）求值域: 配方法：如：求函数 y2 - 2x + 5, x Î-1, 2 的值域（答：4,8）； 逆求法（反求法）：3x如： y =xx通过反解，用 y 来表示3 ，再由3 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围（答：（0,1）；1+ 3x 换元法：如：（1） y = 2sin2 x - 3cos x -1的值域为（答：-4, 17 ）；8x

33、 -1 的值域为 （答： 3, +¥) ）（令（2） y = 2x +1+x -1 = t ， t ³ 0 。运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；2sinq -1 1 + cosq3如： y =（答： (-¥, ）；2的值域不等式法利用基本不等式 a + b ³ 2 ab(a,b Î R+ ) 求函数的最值。(a + a) 2如：设 x, a , a , y 成等差数列， x, b , b , y 成等比数列，则 12的取值范围是.（答：1212b b1 2(-

34、5;, 04, +¥) ）。单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。9(5 - x) 的值域为(1 < x < 9) ， y = sin2 x +， y = 2x-2 - log如： 求 y（答： 31+ sin2 x11(0, 80) 、,9 、0, +¥) ）；92数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。y3 ,3 、- 5, 5 ）；如：（1）已知点 P(x, y) 在圆 x2 + y2 = 1上，求及 y - 2x 的取值范围（答：-x + 233（2）求函数 y =(x - 2)2 +(x + 8)2 的值域（答：10,

35、+¥) ）；判别式法：é 1 1 ù的值域（答： -,）；x如：（1）求 y =êë2 úû1+ x22x2 + x +1（2）求 y =的值域（答： (-¥, -31, +¥) ）x +1导数法;分离参数法;如：求函数 f (2 - 40x ， x Î-3, 3 的最小值。（答：48）3 + 2xx 2 - x + 3用 2 种方法求下列函数的值域： y =(x Î-1,1) y =, x Î (-¥,0) ；3 - 2xxx 2 - x + 3y =, x &#

36、206; (-¥,0)x -1（V）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.(VI)恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.af(x)恒成立 Û af(x)max,;af(x)恒成立 Û af(x)min;如：（1）若不等式 (a - 2)x 2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对 x Î R 恒成立，则a 的取值范围是 （答： (-2,2）(2)对于任意 a Î-1,1 ，函数 f (x) = x2 + (a - 4)x + 4 - 2a 的值恒大于零，那么 x 的取值范围是 （答： (-

37、65;,1) U (3,+¥) ）1的取值范围是（答：,1) ）16（3）已知：不等式.在上恒成立，则实数，若 0 < q £ p(4)设函数 f (时，f (m cosq ) + f (1- m) > 0 恒成立，则实数的取值范围是_（答;m<1）2(5)已知函数 f(x)= | x + t +1| + 1 , (x > 0) ,若 f (x) ³ 2在(0, +¥) 上恒成立，则 t 的取值范围是（答: t ³ -1 ）x$x Î D ，使得af(x)成立 Û af(x)min,; $x 

38、6; D ，使得af(x)成立 Û af(x)max;存在性问题:如：(1) 设 f (x) = 3ax - 2a + 1 ， a 为常数若存在 x0 Î (0,1) ，使得 f (x0 ) = 0 ，则实数 a 的取值范围是1(答： a < -1或a > -)22（2）若存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20 成立，则实数x 的取值范围是 （答：(-¥,-1) U ( ,+¥) ）3x2 + 2ax + 3a£ 2 ，则满足条件的所有的实数 a 的个数（3）已知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式是 （答

39、：2 个）2f (x) = x 3 ， x Î-1,8 ，函数 g(x) = ax + 2 ， x Î-1,8 若对任意 x1 Î-1,8 ，总存在（4）已知函数x2 Î-1,8 ，使f (x1 ) = g(x2 ) 成立则实数 a 的取值范围是（答： (-¥,-2 U2,+¥) ）f (1) 、令 y = x 或 y = -x 等）、递推法、反证法等）进行(VII)利用一些方法（如赋值法（令 x 0 或 1，求出逻辑探究。f (0) 或如：（1）若 x Î R ， f (x) 满足 f (x + y) = f (x) +

40、f ( y) ，则 f (x) 的奇偶性是 （答：奇函数）；（2） 若 x Î R ， f (x) 满足 f (xy) = f (x) + f ( y) ，则 f (x) 的奇偶性是（答：偶函数）；（3） 已知 f (x) 是定义在(-3,3) 上的奇函数，当 0 < x < 3 时， f (x) 的图像如右图所示，那y么不等式 f (x) × cos x < 0 的解集是（答： (- p , -p1)(0,1)(,3) ）；22f ( x ) = f (x) - f ( y) ，且 x > 1 时，yf (x) 的定义域为 R+ ，对任意 x, y

41、 Î R+ ，都有（4）设f (x) < 0 ，又 f ( 1 ) = 1，求证 f (x) 为减函数；解不等式 f (x) + f (5 - x) ³ -2 .（答： (0,1 4, 5) ）214、导数几何物理意义:k=f/(x )表示曲线 y=f(x)在点 P(x ,f(x )处切线的斜率。000Vs/(t)表示 t 时刻即时速度,a=v(t)表示 t 时刻度。如：一物体的运动方程是 s = 1- t + t2 ，其中 s 的（答：5 米/秒）是秒，那么物体在t = 3 时的瞬时速度为 是米， t 的15、常见函数的导数公式: C ' = 0 ； (xn

42、 )' = nx n-1 ； (sin x)' = cos x ； (cos x)' = -sin x ； (ex )' = ex ； (a x )' = ax ln a ；11。x ln a (ln x) =；x' (log a x) ='导数的四则运算法则： ( f (x) ± g(x)¢ = f (x)' ± g(x)' ； ( f (x)g(x)¢ = f (x)' g(x) + f (x)g(x)' ；f (x)f (x)' g(x) - f (x)

43、g(x)'¢() =g 2 (x)g(x)16、导数应用:过某点的切线不一定只有一条;如： 已知函数 f= x3 - 3x 过点 P(2, -6) 作曲线 y = f (x) 的切线， 求此切线的方程（ 答： 3x + y = 0 或24x - y - 54 = 0 ）。研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f/(x)0 得增区间;解不等式 f/(x)0 得减区间;注意 f/(x)=0 的点;如：设 a > 0 函数 f (在1,+¥) 上单调函数，则实数 a 的取值范围（答： 0 < a £ 3 ）；求极值、最值步骤:求

44、导数;求 f ¢(x) = 0 的根;检验 f ¢(x) 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.¢ pp如：（1）已知函数 f(x)= f ( ) sinx+cosx，则 f ( ) = （答：0）24（2）函数 y = 2+ 5 在0，3上的最大值、最小值分别是（答：5； - 15 ）；（3）已知函数 f (x) = x3 + bx2 + cx + d 在区间1,2 上是减函数，那么 bc 有最 值 (答：大， - 15 )2-10 = 0

45、 的实根的个数为_ （4）方程（答：1）（答： 2 ）（5）若点P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x2 的最小距离为 （ 6 ） 已 知 a , b2 + 2bx 的 两 个 极 值 点 ， 且 a Î (0,1), b Î (1,2) ，是 三 次 函 数 f (32b - 21a, b Î R，则（答： ( ,1) ）4f ¢( x0 ) 0， f ¢( x0 ) 0 是 x0 为极值点的必要的取值范围是 a -1特别提醒：（1） x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号，而不仅是而不充分条件。（2）给出函数

46、极大(小)值的条件，一定要既考虑 f ¢(x0 ) = 0 ，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！f ( x) = x3 + ax2 + bx + a2在x = 1 处有极小值 10，则 a+b 的值为（答：7）如：函数三、数列S (n = 1)11、a =注意验证 a 是否包含在 a的公式中。n1nS - S (n ³ 2, n Î N * )nn-1= ì6(n = 1)= 2n2 + 3n +1,求a = 如：(1) 数列a 中,已知 S（答： aí4n + 1(n ³ 2)）nn

47、nnî2、判断和证明：（1）an是等差数列 Û an - an-1 = d (常数) Û 2an = an+1 + an-1 (n ³ 2, n Î N *中项)Û an = an + b(一次) Û sn = An + Bn(常数项为0的二次);a,b, A, B = ?2ìa 2 = a × a(n ³ 2,n Î N)Û a= a1 × qÛ sn = m - m × q ; m = ?n-1ana 等比Û ínn-1n

48、+1Û= q(定); n nna ¹ 0aîn-1nì 1 üì an üíýíý（2）常见结论：若an、bn等差则kan+tbn等差若a、b等比，则ka(k0)、ab、nnnnnbbî n þî n þ等比； 若an等差,则can (c>0)成等比； 若bn(bn>0)等比,则logcbn(c>0 且c ¹ 1)等差。如：（1）若an 是等比数列，且 Sn = 3 + r ，则 r n（答：1）2(1 - 4n )（

49、2）已知an 是等比数列，a2 = 2 ，a4 = 8，则 a1a2 + a2 a3 + a3 a4 +L+ an an+1 = （答：±）3（3）数列an 满足 an = 2an-1 + 2 +1(n Î N, n ³ 2), a = 27.n3（答： a1 = 2, a2 = 9 ）（1）求 a1, a2 的值；12n(a + t)(n Î N ), 且数列b 为等差数列？若存在，求出实数t；（2）是否存在一个实数t，使得b =+（答: t = 1 ）nnn若不存在，请说明理由。3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前 n 项和最大(或最小)问题

50、,转化为解不等式ìan ³ 0ìan £ 0,或用二次í(或í)îan+1 £ 0îan+1 ³ 0函数处理;(等比前 n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如:（1）等差数列an 中， a1 = 25 ， S9 = S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前 13 项和最大，最大值为 169）；（2）若an 是等差数列，首项 a1 > 0, a2003 + a2004 > 0 ， a2003 × a2004 < 0 ，则使前 n 项和 S

51、n > 0 成立的最大正整数n 是（答：4006）（3） 设 Sn 为等差数列 an 的前n 项和，若 a3 + a9 > 0, S9 < 0 ,则 S1 , S2 , S3 ,K中最小的是(答 S5 )（4） 已知an 为等差数列，若 a11 < -1，且它的前 n 项和Sn 有最大值，那么当Sn 取得最小正值时，n=（答：19）a10（5） 等差数列 an 满足3a8 = 5a13 ，且 a1 > 0 ，S n 为 an 的前n 项和，则 Sn 中的最大项是（答：S20 ）+ n(n -1) d = n(a1 + an )S = na4、基本量方法：等差数列中

52、a =a +(n-1)d;n1n122a (1- qn )a - a q当q1,S = 1= 1n 等比数列中a =aqn-1;当 q=1,S =nan1n1n1- q1 - q如：数列an 是公差不为零的等差数列，并且 a5 ， a8 ， a13 是等比数列bn 的相邻三项，若b2 = 5 ，则bn 等于 （答： bn = 5 × (3)）5、利用等差（比）数列的性质：5n-2d = am - an ;等差数列中, （1）an=am+ (nm)d,m - n（2） 当 m+n=p+q,am+an=ap+aq；若 m + n = 2 p ， am + an = 2ap则（3） 任意连

53、续m 项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列.项数为 2n 时，则 S偶 = q ;项数为奇数 2n -1时，S奇（4）等差数列a ,项数 2n 时,S-Snd;项数 2n-1 时,S-Sa ;n偶奇奇偶nS奇 = a1 + qS偶ann-m等比数列中，（1） an = amq;= qn-mam则2;若 m + n = 2 p ， an × am = ap ；（2）若，则（3）等比数列an 的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m - Sm、S3m - S2m、S4m - S3m仍为等比数列.如：公比为-1 时， S4 、

54、 S8 - S4 、 S12 - S8 、不成等比数列。如：（1）在等比数列an 中， a3 + a8 = 124, a4a7 = -512 ，公比q 是整数，则 a10 = （答：512）；（2）各项均为正数的等比数列an 中，若 a5 × a6 = 9 ，则log3 a1 + log3 a2 + log3 a10 = （答：10）。（3） 一个等差数列共 n 项，其和为 90，这个数列的前 10 项的和为 25，后 10 项的和为 75，则项数 n 为（答：18）（4）等比数列an 中，前四项之和为 240，第二、第四项之和为 180，则首项为 （答：6）（5） 等差数列an 的

55、前 12 项的和是 98，前 98 项的和是 12，则an 的前 110 项的和为（答：- 110 ）（6） 设等比数列an 的公比为 q ，前n 项和为 Sn ，若 Sn+1 , Sn , Sn+2 成等差数列，则 q 的值为 （答： q = -2 ）（注意在运用等比求和公式时对公比 q 进行讨论）（7）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，已知(a2 -1) + 2009(a -1) = 1,32(a2008 -1) + 2009(a-1) = -1，则下列结论正确的是 32008（1） S2009 = 2009, a2008 < a2（2） S2009 = 2009, a2008 > a2 （3） S2009 = 2008, a2008 £ a2（4） S2009 = 2008, a2008