空间解析几何ppt课件

1、空间解析几何空间解析几何第六章第六章4. 空间中的平面与直线空间中的平面与直线u空间中的平面及其方程。空间中的平面及其方程。u空间直线及其方程。空间直线及其方程。几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系解析式描述此几何关系.任取平面任取平面上一点上一点M(x, y, z).故故 nM0M=0.设：平面设：平面过定点过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向且垂直于方向n=(A, B,C).由已知，由已知，nM0M， M0Mxzy

2、0 n (A, B, C) (x x0, y y0, z z0)= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)= 0.即平面即平面上任意点上任意点M(x, y, z)都满足方程都满足方程(1).反之若反之若(x, y, z)满足满足(1)，则由，则由(1).(1)n与与 M0M 垂直垂直. 即即M在平面在平面 上上.我们称垂直于平面我们称垂直于平面 的任何非零向量为的任何非零向量为的法的法方向或法向，方向或法向，因而，因而，n即为即为 之一个法向之一个法向.方程方程(1)依赖于法向依赖于法向n及定点及定点M(x0, y0, z0). 故故(1)称为平面称为平面 的法点式方程的法点式方程.A

3、(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0法点式方程法点式方程例例 1 1 求求过过三三点点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 解解取取ACABn ),1, 9,14( 所求平面的点法式方程为所求平面的点法式方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx),6, 4 , 3( AB).1, 3 , 2( AC例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx 和和051223 zyx的的平平面面方方程程. 1 7nzyx的法向量为的法向量为 2 05122

4、3nzyx的的法法向向量量为为取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解),1 , 1, 1( )12, 2, 3( 一般地，设平面一般地，设平面 过过M1, M2, M3三点三点, M1, M2, M3不共线不共线. 即即. 03121MMMM则得平面方程为：则得平面方程为：, 0)(31211MMMMMM即即, 0),(111131312121212 zzyyxxzzyyxxzzyyxxkji. 0131312121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三平面

5、的三点式方程点式方程.由点法式方程由点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx0 DCzByAx法向量法向量).,(CBAn ;（一一次次方方程程）反反之之，对对一一次次方方程程D (1) 0 DCzByAx，则则取取其其一一解解),( 000zyx0000 DCzByAx同同解解于于 (1) 0)()()(000 zzCyyBxxA的的图图形形是是平平面面。 (1) 平面的一般式方程。平面的一般式方程。平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面

6、通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点 )2, 3, 6( ，且且与与平平面面824 zyx 垂垂直直，求求此此平平面面方方程程。 设平面设平面 ：, 0 DCzByAx由过由过原点知原点知, 0 D由由 过点过点)2, 3, 6( 知知 0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA 所求平面方程为所求平面方程为解解. 032

7、2 zyx，不不全全为为、0CBA，、可可取取322 CBA设平面方程为设平面方程为, 0 DCzByAx将三点坐标代入方程，得将三点坐标代入方程，得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 平平面面方方程程为为0)()()( DxcDybDxaD1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程即即x轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距解：如图解：如图 M1NM0 设平面设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 那么那么平面上点平面上点M1(x1, y1, z1)满足满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.由于由于 M0N 为之法向为之法向.故故M0N

8、/ (A, B, C).n |0NMd |cos|10 MM即即|0NMd |cos|10 MM|101010nMMnMMMM |10nnMM ,| )()()(|22200101CBAzzCyyBxxA .|222000CBADCzByAxd 即即点到平面的点到平面的距离公式距离公式我们目前已对平面本身的解析关系描述得我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了较清楚了. 现在讨论两平面间的关系现在讨论两平面间的关系.一般说来，两平面的关系有以下几种一般说来，两平面的关系有以下几种两平面平行不重合两平面平行不重合.两平面平行重合两平面平行重合.两平面不平行相交两平面不平行相交两平面法向一致但

9、无交点两平面法向一致但无交点两法向一致且有交点两法向一致且有交点两平面垂直两平面垂直相交但不垂直相交但不垂直两法向垂直两法向垂直两法向不共线两法向不共线也不垂直也不垂直桥梁桥梁法向夹角法向夹角 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.如何求其间夹角如何求其间夹角？分别为分别为 1 ， 2 的法向，的法向，故故 cos |2121nnnn,222222212121212121CBACBACCBBAA 20 定义定义: 两平面两平面 1, 2 的法方向的法方向n1, n2的夹角的夹角称为平面称为平面1和和 2 的夹角的夹角 (通常指锐角通常指锐角).由平面

10、方程，知由平面方程，知n1=(A1, B1, C1)、n2=(A2, B2, C2)A1A2+B1B2+C1C2=0;两平面平行两平面平行0222111 CBACBAkjikBABAjCACAiCBCB)()()(122112211221 =) , ,(122112211221BABACACACBCB =A1:A2=B1:B2=C1:C2.两平面垂直两平面垂直n1n2=0n1n2=0 A1:A2=B1 : B2=C1 : C2 .000即即平行不重合平行不重合重合重合A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .特殊情形：特殊情形：例例5.

11、 设平面设平面 过点过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与且与平面平面1：x+y+z=0垂直，垂直， 求平面求平面 .而而 过点过点M1, M2. 故故平面平面 / M1M2 .设设1法向法向n1=(1, 1, 1).因而，平面因而，平面 n1M1M2 . n1 M1M2 即即 的法向的法向 n =n1M1M2 .那么那么 平面平面 / n1 .解：解：110111kji kj ).1 , 1 , 0( 故得平面故得平面方程为方程为. 0)0()0()1(0 zyx即即. 0 zy)01 , 01 , 11()1 , 1 , 1( n例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系

12、：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx解解 cos601 两平面相交，且夹角两平面相交，且夹角.601arccos 2222231)1(2)1(|311201| 解解),1, 1,2(1 n)2,2,4(2 n,212142 两平面平行。两平面平行。21)0 , 1 , 1( )0 , 1 , 1( MM且且两平面不重合两平面不重合 如果一个非零向量平行于直线如果一个非零向量平行于直线L L，就称这个向，就称这个向量为直线量为直线 的一个方向向量的一个方向向量xyzo0M M sr0rl,),( 0000LzyxM 设设的的

13、一一个个方方向向向向量量为为 ),(Lpnms 上任一点上任一点为为LzyxM),(00,rOMrOM u 点点 在在 直线直线 l 上的充要条件是上的充要条件是 0M共共线线与与sMM0s trrs tMM 00亦即亦即即即（1式叫做直线式叫做直线 l 的向量式参数方程的向量式参数方程)1()(0为为参参数数故故ts trr sMM/ 0因因为为直线的直线的(坐标式坐标式)参数方程参数方程，s tMM 0，即即),(),( 000pnmtzzyyxx ptzzntyymtxx000得得:L将直线的参数方程中的参数将直线的参数方程中的参数 t 消去，则可得到消去，则可得到pzznyymxx00

14、0 直线直线L的标准方程或的标准方程或对称式方程。对称式方程。直线直线L的一组方向数。的一组方向数。方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx，则则，、若若2122221111),(),( MMLzyxMzyxM :L121121121zzzzyyyyxxxx 两点式方程。两点式方程。注：注：1 2 L若空间直线若空间直线L为两平面为两平面0:11111 DzCyBxA0:22222 Dz

15、CyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA:L那那么么的交线，的交线，空间直线的一般方程。空间直线的一般方程。xyzo(不唯一不唯一)在直角坐标系下，在直角坐标系下， 两平面的法向量分别为两平面的法向量分别为21 和和,22221111CBAnCBAn 22112211221121,BABAACACCBCBnns所以直线所以直线 l 的方向向量可取为的方向向量可取为例例 8 将直线将直线L 化成对称式方程化成对称式方程 0220123zyxzyx解：平面解：平面 的法向量的法向量0123:1 zyx )1 , 2, 3(),(1111 CBAn022:2 zyx ) 1, 1

16、 , 2(),(2222 CBAn平面平面 的法向量的法向量21,nLnL 求直线求直线L上一点上一点M0(x0,y0,z0)令令x0=1 那那么么 042zyzy得得 Y0=4,z0=4745411 zyx所求直线所求直线L方程为方程为kjikjinns7511212321 的的方方向向向向量量直直线线 l解解 先作过点先作过点M且与已知直线且与已知直线 L 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,，由由 tztytx1213LM N代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交点交点)73,713,72( N取方向向量取方

17、向向量MN)373, 1713, 272( ),4 , 1, 2(76 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx另解另解: 12131:)3 , 1 , 2( 垂垂直直的的平平面面且且与与已已知知直直线线先先做做过过点点zyxLMLM )0 , 1 , 1(0LM L)1, 2 , 3()3 , 0 , 3(/0 sMMns所所求求直直线线： 0)3() 1( 2)2( 3 zyx0)3() 1( 2)2( zyx）（1 , 2 , 16 再求过再求过M与与L的的：0)3() 1( 2)2(: zyx. 0)3()1(2)2(3 zyx2L1L则两直线夹角则两直线夹角 满满足足21,

18、 LL设直线设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角( (通常取锐角通常取锐角) )的方向向量分别为的方向向量分别为2121cosssss 1s2s),(, ),(22221111pnmspnms 212121pnm222222pnm212121ppnnmm特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例10 10 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: : 直线直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)

19、1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角L 当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时, ,设直线设直线 L L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量的法向量为为.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角解解:),2, 1, 1( n),2, 1, 2(