理学公开课经济应用数学学习教案

1、会计学1理学公开课经济应用理学公开课经济应用(yngyng)数学数学第一页，共38页。微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样(znyng)的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼微分学的重要性第1页/共38页第二页，共38页。圆柱形金属饮料罐的容积(rngj)一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？1、省料问题(wnt)第2页/共38页第三页，共38页。 在如图所示的电路中，已知电源(dinyun)的内阻为r，电动势为，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？2、最大功率(gngl)问题Rr 第3页/共38页第四页，共38页。3、牛仔裤的销售(xiosh

2、u)第4页/共38页第五页，共38页。Why ?第5页/共38页第六页，共38页。在这几个问题的解决过程(guchng)中，都离不开咱们 的微分学。 咱们今天一起来学习一下微分学中最基本的概念-导数。第6页/共38页第七页，共38页。 1. 变化率问题(wnt)举例 2. 导数(do sh)的定义 3. 求导数(do sh)举例 4. 导数的几何意义5. 可导与连续的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第一部分第7页/共38页第八页，共38页。tsv （1） 变速(bin s)直线运动的速度匀速直线运动(yndng)：速度0tso)(0tS)(tSt机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 变速直线运动：已知)(tss 求在0t时刻的瞬时速度。221tgs 自由落体运动第8页/共38页第九页，共38页。0t在 的平均速度(pn jn s d)为而在 时刻的瞬时速度为0ttStvt00lim)(so)(0tS)(tSt机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 ,0tttSv00)()(tttStS)(0tv其中(qzhng)0tttttSttSt)()(lim00000)()(lim0tttStStt第9页/共38页第十页，共38页。 xyo)(xfy C曲线(qxin)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线(qixin)x割线 M N 的极限位置 M T(当 时

4、)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P第10页/共38页第十一页，共38页。so0t)(0tS)(tSt瞬时速度(shn sh s d) lim0ttv)()(0tStS0tt 切线(qixin)斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量

5、与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共38页第十二页，共38页。定义(dngy)1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在(cnzi),)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导, 在点0 x的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共38页第十三

6、页，共38页。运动(yndng)质点的位置函数)(tSS so0t)(0tS)(tSt在 时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tStS0tt 曲线(qxin)(:xfyC在 M 点处的切线(qixin)斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tS)(0 xf 说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共38页第十四页，共38页。0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述(shngsh)极限不存在 ,在点 不

7、可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数(hnsh)在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成(guchng)的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意:)(0 xf 0)(xxxf就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共38页第十五页，共38页。 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别(qbi):)(xf 是函数(hnsh) ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数机动 目录 上页

8、 下页 返回 结束 第15页/共38页第十六页，共38页。Cxf)(C 为常数(chngsh) 的导数. 解:yxCCx0lim0即0)(C例2. 求函数)N()(nxxfn解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 ax 在的导数(do sh)第16页/共38页第十七页，共38页。对一般(ybn)幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如(lr)，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将

9、证明）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共38页第十八页，共38页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 )(1 (6 . 1x511516x)(2(53xx)(513xx423536 . 1)4( ,)3( ,)2( ,) 1 (xxxyxyxxyxy利用幂函数求导公式，求下列(xili)函数的导数解：)(516 x6 . 06 . 1x)(3(3x43x)(4(42xxx)(41212xxx)(49 x4549x第18页/共38页第十九页，共38页。hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)(的导数(do sh). 解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0l

10、imh0limhhhhx2sin)2cos(2)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似(li s)可证得xxsin)(cos机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共38页第二十页，共38页。)1(lnxhxxfln)(的导数(do sh). 解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共38页第二十一页，共38页。机动 目录 上

11、页 下页 返回(fnhu) 结束 设,cos)(xxf求),6(f ).3(f 解：,sin)(cos)(xxxf,216sin)6(f,233sin)3(f第21页/共38页第二十二页，共38页。)()(00 xfhxf0 xxxf)(在 不可(bk)导. 证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在(cnzi) , 例6. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf机动 目录 上

12、页 下页 返回 结束 即 在 不可导x0 x第22页/共38页第二十三页，共38页。课本(kbn)P51习题2第23页/共38页第二十四页，共38页。xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线(qxin)过上升(shngshng);若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .切线方程:)(000 xxxfyy法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x机动 目录 上页

13、 下页 返回 结束 第24页/共38页第二十五页，共38页。11113xy 哪一点有垂直(chuzh)切线 ? 哪一点处的切线(qixin)与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共38页第二十六页，共38页。处可导在点xxf)(定理(dngl)1.证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0

14、xfxyx存在(cnzi) ,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意: 函数在点 x 连续未必可导.反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf在点 x 处连续第26页/共38页第二十七页，共38页。在点0 x的某个(mu )右)(xfy 若极限(jxin)xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右 导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如

15、,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义2 . 设函数邻域内有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共38页第二十八页，共38页。在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写(jinxi)为在点处右 导数存在0 x定理(dngl)3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右 连续.(左)(左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 ,则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必

16、要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共38页第二十九页，共38页。1. 导数(do sh)的实质:3. 导数的几何意义(yy):4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共38页第三十页，共38页。 P51 5 , 6第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第30页

17、/共38页第三十一页，共38页。解: 因为(yn wi)1. 设)(xf 存在(cnzi), 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共38页第三十二页，共38页。)(xf在 0 x处连续(linx), 且xxfx)(lim0存在，证明(zhngmng):)(xf在0 x处可导.证：因为(yn wi)xxfx)(lim0存在，则有0)(lim0 xfx又)(xf

18、在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.xfxfx)0()(lim0)0(f 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共38页第三十三页，共38页。)(0 xf 存在(cnzi) , 则._)()(lim000hxfhxfh4. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k5. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否(sh fu)在0 x可导?解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则(zhnz)0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页