九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

1、北师大版 九年级数学上册知识点归纳（北师大版） 第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数 （八下前情回顾）平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ，平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等 , 对角相等 ,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行线之间的距离：若两条直线互相平行，

2、则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个 距离称为平行线之间的距离。- 1 -北师大版第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质 , 且四条边都相等 , 两条对角线互相垂直平分 , 每一条对角线平分一 组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。2 矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角

3、线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条 对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 （根据定义 ）。 对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （正方形是轴对称图形，有两条对称 轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系 （如图 3 所示）： 梯形定

4、义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半- 12 -第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为 ax2 bx c 0 （a、b、c 为 常数， a 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程 。a 为二次项系数； b 为把 ax2 bx c 0 （a、 b、c 为常数

5、， a 0）称为一元二次方程的一般形式，次项系数； c 为常数项。2 用配方法求解一元二次方程 配方法 <即将其变为 （x m）2 0的形式 >配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；3 用公式法求解一元二次方程公式法 xb b2 4ac 2a将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成 （x m）2 0 的形式； 两边开方求其根。注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）4 用因式分解法求解一元二次方程分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。主要包括“提公因式”和十字相乘” ）

6、5 一元二次方程的根与系数的关系cx1 x2。a根与系数的关系：当 b2-4ac>0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac<0 时，方程无实数根。如果一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根分别为 x1、 x2，则有： x1 x2一元二次方程的根与系数的关系的作用：1）已知方程的一根，求另一根；2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2 的对称式的值，特别注意以下公式： x12x22 (x1 x2)22x1x211 x1 x222 (x1 x2)(x1 x2) 4x1x2x1x2x1x22(x1 x2)2x1x2 2|x

7、1x2 |x1x2 | (x1 x2 )2 4x1x22 (|x1 | |x2 |)2 x13x23 (x1 x2)33x1x2 (x1x2)其他能用 x1x2或 x1x2 表达的代数式。3）已知方程的两根 x1、x2，可以构造一元二次方程： x2 （x1x2)x x1x2 04）已知两数 x1、x2的和与积，求此两数的问题， 可以转化为求一元二次方程 x2 （x1 x2）x x1x2 0的根6 应用一元二次方程在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述

8、等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程） 。分析求解处理问题的过程可以进一步概括为： 问题 方程 解答抽象检验第三章 概率的进一步认识用树状图或表格求概率相关知识点链接：频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必 然事件发生的概率为 1；不可能事件发生的概率为 0；不确定事件发生的概率在 0与 1之间。 【知识点 1】频率与概率的含义在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与频数总

9、次数的比值为频率，即 频率总次数把刻画事件 A发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率。【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。 我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。【知识点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）1 成比例线段. 线段的比第四章 图形的相似1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是 m、n, 那么就说这两条线段的比AmAB:CD=m:n , 或写成Bn2. 四条线段 a、b、c、d中,如果 a与 b的比等于 c与 d的

10、比,即a bc, 那么这四条线段 a、 b、 c、 d 叫 d做成比例线段 , 简称比例线段 . 3. 注意点 : a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍;由于线段a、 b的长度都是正数 ,所以 k是正数;比与所选线段的长度单位无关 , 求出时两条线段的长度单位要一致ab除了 a=b 之外 ,a:b b:a, a 与 b 互为倒数 ;ba比例的基本性质 : 若 a bac, 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则bd_A_C_B_图 1_12_32 平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例如图 2, l 1 / l 2 / l 3,

11、则 AB BCDE EF二 . 黄金分割AC BC1. 如图 1,点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC,如果 AC BC ,那么称线段 AB AC叫做线段 AB的黄金分割点 ,AC与 AB的比叫做黄金比 . AC:AB 5 1 0.618:1 22. 黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.3 相似多边形¤1. 一般地 , 形状相同的图形称为相似图形 .2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 .1. 在相似多边形中 , 最为简单的就是相似三角形 .2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫

12、做相似比 .3. 全等三角形是相似三角的特例 , 这时相似比等于 1. 注意: 证两个相似三角形 , 与证两个全等三角形一样, 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4. 相似三角形对应高的比 , 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 5. 相似三角形周长的比等于相似比 . 6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似多边形的周长等于相似比 ; 面积比等于相似比的平方 .4 探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法 :般三角形直角三角形基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线 ） 相交的直线 ,所截得的三角形与原三角形相似两角对应相等 ;一个锐角对应相等

13、 ;两边对应成比例 , 且夹角相等 ;两条边对应成比例 :三边对应成比例 .a. 两直角边对应成比例 ;b. 斜边和一直角边对应成比例 .2. 平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例如图 2,l 1 / l 2 / l 3, 则 AB BC . DE EF3. 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线 ）相交, 所构成的三角形与原三角形相似5 相似三角形的判定定理的证明6 利用相似三角形测高7 相似三角形的性质8 图形的位似第五章 投影与视图A）三视图? 主视图从正面看到的图 左视图从左面看到的图 俯视图从上面看到的图? 画物体的三视图时 , 要符合

14、如下原则 : 大小：长对正 , 高平齐 , 宽相等 .? 虚实 : 在画图时 , 看的见部分的轮廓通常画成实线 , 看不见部分的轮廓线通常画成虚线 .B）投影? 物体在光线的照射下 , 会在地面或墙壁上留下它的影子 , 这就是投影现象 .? 太阳光线可以看成平行光线 , 像这样的光线所形成的投影称为平行投影。? 在同一时刻 , 物体高度与影子长度成比例 .? 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线 （ 垂直于投影面的平行光线 ） 下的平行投影 .? 探照灯 ,手电筒 ,路灯 ,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中心投影? 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影

15、子 . 它们是中心投影。C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。. 眼睛所在的位置称为视点，. 由视点发出的光线称为视线，. 眼睛看不到的地方称为盲区第六章 反比例函数知识点 1 反比例函数的定义k一般地，形如 y（k 为常数， k 0 ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 x 0的一切实数，函数值的取值范围是 y 0 ；比例系数 k 0 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：ky k （k 0），x y kx 1（ k 0 ）， x y k （定值）（ k 0 ）；kk函数 y

16、（k 0）与x（k 0）是等价的，所以当 y是x的反比例函数时， x也是 y的反xy比例函数。k（k 为常数， k 0 ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， y ，就不是反比例函数了，由于反比xk例函数 y（k 0 ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定x反比例函数的表达式。知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式k由于反比例函数 y （ k 0 ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的x值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线， 它有两个分支， 这两个分支分别位于第一、 第

17、三象限或第二、 第四象限， 它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 x 0，函数值 y 0 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取； 列表时选取的数值越多，画的图像越精确； 连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； 画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：k 0 时， y 随 x注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图 k像（双曲