大学物理 k波粒二象性7

1、1量子物理量子物理Quantum Physics原子及亚原子层次原子及亚原子层次波粒二象性波粒二象性原子中的电子原子中的电子固体中的电子固体中的电子2第一章第一章 波粒二象性波粒二象性Wave-Particle Duality主要内容：主要内容： 普朗克量子假设普朗克量子假设光电效应光电效应光的波粒二象性光的波粒二象性实物粒子的波动性实物粒子的波动性波函数波函数不确定关系不确定关系薛定谔方程薛定谔方程3量子力学量子力学是研究原子、分子和凝聚态物质是研究原子、分子和凝聚态物质的结构和性质的理论基础的结构和性质的理论基础在化学、生物、信息、激光、能源和新材在化学、生物、信息、激光、能源和新材料等方

2、面有着重要应用料等方面有着重要应用1900年，年，普朗克普朗克（M.Pulanck）提出）提出能量能量子子，即，即能量量子化能量量子化的概念，它标志了量子的概念，它标志了量子力学的诞生。力学的诞生。1905年，为解释年，为解释光电效应光电效应，爱因斯坦爱因斯坦提出提出光量子光量子（光子）（光子）的概念，指出光具有波粒的概念，指出光具有波粒二象性。二象性。41927年，年，戴维孙戴维孙和和革末革末通过通过镍单晶体镍单晶体表面表面对电子束的散射，观测到和对电子束的散射，观测到和X光衍射类似光衍射类似的的电子衍射电子衍射现象；现象；同年，同年，G.P.汤姆孙汤姆孙用电子束通过多晶薄膜，用电子束通过多

3、晶薄膜，证实了电子的波动性。证实了电子的波动性。 1923年，年，德布罗意德布罗意提出实物粒子也具有波提出实物粒子也具有波动性的假设动性的假设波粒二象性波粒二象性假说假说。51925年，年，海森伯海森伯（W.Heisenberg）放）放弃电子轨道等经典概念，用实验上可弃电子轨道等经典概念，用实验上可观测到的光谱线的频率和强度描述原观测到的光谱线的频率和强度描述原子过程，奠定了量子力学的一种形式子过程，奠定了量子力学的一种形式矩阵力学矩阵力学的基础。的基础。1926年，年，薛定谔薛定谔（E.Schrodinger）提出了非相对论粒子（能量远小于提出了非相对论粒子（能量远小于静能）的运动方程静能）

4、的运动方程薛定谔方程，薛定谔方程，由此方程出发的量子力学称为由此方程出发的量子力学称为波动波动力学力学。6矩阵力学矩阵力学和和波动力学波动力学是等价的，前者偏重于物是等价的，前者偏重于物质的粒子性，后者偏重于物质的波动性，它们质的粒子性，后者偏重于物质的波动性，它们是量子力学的两种不同描述方式。薛定谔方程是量子力学的两种不同描述方式。薛定谔方程是微分方程，数学工具人们比较熟悉，因此，是微分方程，数学工具人们比较熟悉，因此，我们只简要介绍波动力学。我们只简要介绍波动力学。同年，同年，狄拉克狄拉克（P.A.M. Dirac）提出）提出了电子的相对论性运动方程了电子的相对论性运动方程狄拉克狄拉克方程

5、方程，把狭义相对论引入薛定谔方，把狭义相对论引入薛定谔方程，统一了量子论和相对论，为研究程，统一了量子论和相对论，为研究粒子物理的量子场论奠定了基础。粒子物理的量子场论奠定了基础。7热运动是混乱的，原子的动能与温度有关，热运动是混乱的，原子的动能与温度有关，因而辐射电磁波的能量也与温度有关。因而辐射电磁波的能量也与温度有关。热辐射热辐射的基本概念的基本概念例如：加热铁块，例如：加热铁块， 温度温度升高升高，铁块颜色由铁块颜色由 蓝白蓝白色色不发光不发光 暗红暗红 橙色橙色 黄白色黄白色这种与温度有关的电磁辐射，称为热辐这种与温度有关的电磁辐射，称为热辐射。并不是所有发光现象都是热辐射，射。并不

6、是所有发光现象都是热辐射，例如：激光、日光灯发光就不是热辐射。例如：激光、日光灯发光就不是热辐射。Note:8任何物体在任何温度下都有热辐射，波长任何物体在任何温度下都有热辐射，波长自远红外区连续延伸到紫外区（连续谱）自远红外区连续延伸到紫外区（连续谱）温度温度 辐射中短波长的电磁波的比例辐射中短波长的电磁波的比例 1400K800K1000K1200K几种温度下辐射最强的电磁波颜色几种温度下辐射最强的电磁波颜色91.1 黑体辐射黑体辐射 Blackbody Radiation任何物体在任何温度下都发射各种波长的任何物体在任何温度下都发射各种波长的电磁波电磁波 常温下，以红外辐射为主常温下，以

7、红外辐射为主热辐射热辐射10中国第一张红外照片中国第一张红外照片（熊大缜于（熊大缜于1935年在清年在清华大学气象台顶上拍摄的北京西山夜景）华大学气象台顶上拍摄的北京西山夜景）111.1 黑体辐射黑体辐射 Blackbody Radiation任何物体在任何温度下都发射各种波长的任何物体在任何温度下都发射各种波长的电磁波电磁波 常温下，以红外辐射为主常温下，以红外辐射为主 mM oM 光谱辐射出射度光谱辐射出射度:单位时间单位时间内从物体内从物体单位表单位表面积面积发出的频率在发出的频率在 附近附近单位频率区间单位频率区间的辐射能的辐射能热辐射热辐射规律：规律：T m 12阿尔萨斯阿尔萨斯洛洛

8、 林林13黑体：黑体：黑体辐射黑体辐射空腔上的小孔：空腔上的小孔：e.g.黑体辐射实验曲线：黑体辐射实验曲线：M o理论计算：理论计算：原子振动原子振动电磁波电磁波 腔内驻波腔内驻波能能量密度量密度 辐射功率辐射功率能能完全吸收完全吸收入射的入射的各种波长各种波长的辐射的辐射的物体的物体14黑体辐射谱测量（黑体辐射谱测量（M 关系）关系）测量黑体辐射谱的实验装置测量黑体辐射谱的实验装置黑体黑体 热电偶测热电偶测M (T)光栅光谱仪光栅光谱仪T 对黑体加热，放出热辐射对黑体加热，放出热辐射用光栅分光把辐射按频段分开用光栅分光把辐射按频段分开用热电偶测各频段辐射强度，得用热电偶测各频段辐射强度，得

9、 )(TM 15维恩（维恩（W. Wien）公式）公式（1864-1928）W. Wien1896年，维恩假设气体分子辐射的频率只与其年，维恩假设气体分子辐射的频率只与其 速速率有关，首先从理论上推出率有关，首先从理论上推出一个黑体辐射公式一个黑体辐射公式TeTM/3)( 其中其中 ， 为常量。为常量。普朗克不太信服维恩公式的普朗克不太信服维恩公式的推导过程，认为维恩提出的推导过程，认为维恩提出的假设没什么道理。假设没什么道理。 高频段与实验符合很好，低高频段与实验符合很好，低频段明显偏离实验曲线。频段明显偏离实验曲线。16瑞利瑞利(Rayleigh) 金斯金斯(Jeans)公式公式L. Ra

10、yleigh(1842-1919)1900年年6月，瑞利按经典的能量均分定理，把空腔月，瑞利按经典的能量均分定理，把空腔中简谐振子平均能量取与温度成正比的连续值，得中简谐振子平均能量取与温度成正比的连续值，得到一个黑体辐射公式到一个黑体辐射公式kTcTM222)( 123KJ1038. 1 k低频段与实验符合很好，高低频段与实验符合很好，高频段明显偏离实验曲线。频段明显偏离实验曲线。 , M“紫外灾难紫外灾难”！17 /1014HzM (10 - 9 W/(m2 Hz)0实验曲线实验曲线TeTM/3)( ， 为常量为常量kTcTM222)( （1896）（1900）K2000 T“紫外灾难紫外

11、灾难”“ 物理学晴空中的物理学晴空中的一朵乌云一朵乌云!”18普朗克（普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck）1858194719普朗克的能量子假说和黑体辐射公式普朗克的能量子假说和黑体辐射公式1900年年10月，普朗克利用数学上的内插法，把适用月，普朗克利用数学上的内插法，把适用于高频的维恩公式和适用于低频的瑞利金斯公式于高频的维恩公式和适用于低频的瑞利金斯公式衔接起来，得到一个半经验公式，即普朗克黑体辐衔接起来，得到一个半经验公式，即普朗克黑体辐射公式：射公式：12)(32 kThechTM 在全波段与实验曲线惊人地符合！在全波段与实验曲线惊人地符合！普朗克常量：

12、普朗克常量：seV10136. 4sJ10626. 61534 h20 普朗克不满足普朗克不满足“侥幸猜到侥幸猜到”的半经验公式，要的半经验公式，要“不惜任何代价不惜任何代价” 地去揭示真正的物理意义。地去揭示真正的物理意义。 普朗克认为：空腔内壁的分子、原子的振动可以普朗克认为：空腔内壁的分子、原子的振动可以看成是许多带电的简谐振子，这些简谐振子可以辐看成是许多带电的简谐振子，这些简谐振子可以辐射和吸收能量，并与空腔内的辐射达到平衡。从空射和吸收能量，并与空腔内的辐射达到平衡。从空腔小孔辐射出的电磁波，就是由这些空腔内壁的简腔小孔辐射出的电磁波，就是由这些空腔内壁的简谐振子辐射出的。谐振子辐

13、射出的。 普朗克大胆地假设：频率为普朗克大胆地假设：频率为 的简谐振子的能量的简谐振子的能量值，只能取值，只能取 的整数倍，即简谐振子的能量的整数倍，即简谐振子的能量是量子化的（是量子化的（quantization），只能取下面的一系），只能取下面的一系列特定的分立值列特定的分立值 h ,3,2, 21 能量能量 称为能量子称为能量子(quantum of energy)，空，空腔内的辐射就是由各种频率的能量子组成。腔内的辐射就是由各种频率的能量子组成。 普朗克能量子假设普朗克能量子假设 h 能量子概念的提出标志了量子力学的诞生，普朗能量子概念的提出标志了量子力学的诞生，普朗克为此获得克为此获

14、得1918年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。221921 年叶企孙，年叶企孙，W.Duane， H.H.Palmer 测得：测得：sJ10)009. 0556. 6(34 h1986年推荐值：年推荐值： sJ106260755. 634 hsJ1063. 634 h 1998年推荐值：年推荐值： sJ1062606876. 634 h一般取：一般取：12)(/32 kThechTM kTcTM222)( 低低频频TeTM/3)( 高高频频由普朗克公式可导出其他所有热辐射公式：由普朗克公式可导出其他所有热辐射公式：23 叶企孙叶企孙中国科学院学部委员中国科学院学部委员清华大学首任物理系清华大学

15、首任物理系主任（主任（1926）、首任）、首任理学院院长（理学院院长（1929）用用X 射线方法测定普射线方法测定普朗克常量，在国际上朗克常量，在国际上沿用了沿用了16年。年。（18981977）24 /1014HzM (10- -9 W/(m2 Hz)0实验曲线实验曲线TeTM/3)( ， 为常量为常量kTcTM222)( （1896）（1900）K200012)(32 kThechTM 普朗克黑体辐射公式普朗克黑体辐射公式符合实验曲线符合实验曲线25普朗克量子假设普朗克量子假设1900年，年，M.Planck “绝望地绝望地”、“不惜任不惜任何代价地何代价地”提出了提出了能量量子化假设能量

16、量子化假设：谐振子能量：谐振子能量： E=nh (n=1,2,3,)h普朗克常量普朗克常量(6.626 10-34J s)n量子数量子数 频率频率普朗克黑体辐射公式：普朗克黑体辐射公式：12/32kThechM(与实验相符与实验相符)26Notes:由该公式可导出另两个辐射定律：由该公式可导出另两个辐射定律：Stefan-Boltzmann定律、定律、Wien位移位移定律定律(See P.78)能量量子化普遍存在，但在宏观能量量子化普遍存在，但在宏观情形，难以观测到情形，难以观测到e.g.单摆：单摆：m=0.1kg, =1Hz, A=0.1m222122 .0 10EmAJ 346.6 10E

17、hJ331.7 10AmNo measurable!27赫兹赫兹 1887年发现年发现281.2 光电效应光电效应 (Photoelectric Effect)实验现象实验现象e-i (光电流光电流)1887年发现年发现光光阴极阴极阳极阳极U(电压电压)29光强光强I im(饱和电流饱和电流) 光频光频 I规律：规律：光照光照 t10 9s 光电流光电流M M Uc 00M30理论解释理论解释光的波动理论无能为力。光的波动理论无能为力。1905年，年，Einstein：光子光子假说假说光由光子光由光子(photon)组成，每个光子组成，每个光子以光速运动，具有能量以光速运动，具有能量h 光电效

18、应方程光电效应方程212mmhAv光电子的光电子的最大动能最大动能入射光子入射光子的能量的能量金属的金属的逸出功逸出功31对实验的解释对实验的解释光强光强I 单位时间内入射的光子数单位时间内入射的光子数 光电子数光电子数 im Uc h212mmv212cmemvUAh0光频光频 0 h A 无光电子逸出无光电子逸出 光子被电子吸收几乎瞬时完成光子被电子吸收几乎瞬时完成 快快速响应速响应32光的本性光的本性波粒二象性波粒二象性 光子光子 波动性波动性 , 粒子性粒子性E, p, m 关系：关系：hEhcEpchcEm2e.g. =500nmE=2.5 eVp=1.3 10 27 kg m/sm

19、=4.4 10-36 kg3334光电效应的应用光电效应的应用光电转换光电转换光电子能谱光电子能谱e.g.XPS (X-ray Photoelectron Spectro-scopy)X-rayPhotoelectron35材料表面成分分析和结构分析材料表面成分分析和结构分析Ek (eV)谱图：谱图：36光控继电器：自动控制、自动计数、自动报光控继电器：自动控制、自动计数、自动报警等警等光电倍增管光电倍增管放大器放大器接控件机构接控件机构光光光控继电器示意图光控继电器示意图37例例1-1在某金属的光电效应实验中，测得如在某金属的光电效应实验中，测得如图所示曲线，则该金属的红限频率图所示曲线，则

20、该金属的红限频率 0= Hz，逸出功，逸出功A= eV。Uc (V) (1014Hz)50-2解：解：由图：由图： 0=5 1014 Hz Ah212cmeUmvchAUee38143401051063. 6hA2AVe 2AeV解法二解法二：)(08. 2eV)(1032. 319J思考思考为什么两种解法结果不同为什么两种解法结果不同?chAUee039例例1-2 以以 =0.207 m的紫外光照射金属钯，的紫外光照射金属钯，已知钯的红限频率已知钯的红限频率 0=1.21 1015 Hz ，则遏止电压则遏止电压 Uc = V。解：解：212cmeUmv0()chUe 思考思考 钯的红限波长？

21、属于什么光区？钯的红限波长？属于什么光区？0cheV99. 0Ah0hh4012.2.2 康普顿效应康普顿效应1923年康普顿发现，单色年康普顿发现，单色X射线照射石墨等物质，射线照射石墨等物质，散射光中除了波长与入射光的波长相同的成分外，散射光中除了波长与入射光的波长相同的成分外，还有波长较长的成分。还有波长较长的成分。这种波长变长的散射，称为这种波长变长的散射，称为康普顿效应。康普顿效应。41实验表明：实验表明：波长改变量与散射物质波长改变量与散射物质及入射波长无关，只与散射角及入射波长无关，只与散射角 有有关关)cos1(C 康普顿效应公式康普顿效应公式nm30C1043. 2 cmh

22、电子的康普顿波长，电子的康普顿波长，处于处于X射射线波段。线波段。 散射光中还包含波长不变的光。散射光中还包含波长不变的光。 42 光的波动理论无法解释康普顿效应：光的波动理论无法解释康普顿效应： 康普顿用光子概念的解释：康普顿用光子概念的解释： X射线光子能量射线光子能量104eV，远大于被原子核束，远大于被原子核束缚较弱的外层电子的束缚能，可近似把外层电缚较弱的外层电子的束缚能，可近似把外层电子看成静止的自由电子。子看成静止的自由电子。 X射线光子与静止的自由电子发生弹性碰撞，射线光子与静止的自由电子发生弹性碰撞，电子反冲带走了一部分能量，减少了散射光子电子反冲带走了一部分能量，减少了散射

23、光子的能量的能量 物质中物质中电子在电子在X射线的照射下做同频率受迫振动，发射射线的照射下做同频率受迫振动，发射的子波（散射光）的频率（波长）与入射光的的子波（散射光）的频率（波长）与入射光的相同。相同。 波长变长波长变长43)cos1 (0 cmh 完全符合实验结果！完全符合实验结果！ 光子还与被原子核束缚得很紧的电子碰撞，光子还与被原子核束缚得很紧的电子碰撞，相当于和整个原子碰撞。相当于和整个原子碰撞。2200mchcmh 00hhnnmccv2201cmmv 联立解出：联立解出： 散射光子只改变方向，散射光子只改变方向，几乎不改变能量，所以散射光中还包含波长不几乎不改变能量，所以散射光中

24、还包含波长不变的光。变的光。44 康普顿效应：康普顿效应：支持了爱因斯坦光量子理论，支持了爱因斯坦光量子理论，揭示了光子除了具有能量还具有动量，验证了揭示了光子除了具有能量还具有动量，验证了在微观的单个碰撞事件中，能量和动量守恒定在微观的单个碰撞事件中，能量和动量守恒定律也严格成立。律也严格成立。 康普顿效应和光电效应一起成为光具有粒子康普顿效应和光电效应一起成为光具有粒子性的重要实验依据。性的重要实验依据。 颁奖委员会特别申明，不是由于建立了相对颁奖委员会特别申明，不是由于建立了相对论，而是论，而是 “为了表彰他在理论物理学上的研究，为了表彰他在理论物理学上的研究，特别是发现了光电效应的定律

25、特别是发现了光电效应的定律”。 康普顿获得康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。 爱因斯坦获得爱因斯坦获得1921年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。45 （1）为什么在康普顿效应中，电子不能像光）为什么在康普顿效应中，电子不能像光电效应那样吸收光子，而是散射光子？电效应那样吸收光子，而是散射光子？ 【思考】【思考】康普顿效应和光电效应，都可归结为康普顿效应和光电效应，都可归结为光子与电子之间的相互作用。光子与电子之间的相互作用。违反相对论！违反相对论！ 因因此此自由电子不能吸收光子，只能散射光子。自由电子不能吸收光子，只能散射光子。c v 2200mccmh vmch 0 2

26、20/1cmmv 2211ccvv 上述过程不能同时满足能量、动量守恒上述过程不能同时满足能量、动量守恒假设自由电子能吸收光子，则有假设自由电子能吸收光子，则有46 （2）为什么在光电效应中观察不到康普顿）为什么在光电效应中观察不到康普顿效应？效应？光子能量较小（几个电子伏特），不能把金属光子能量较小（几个电子伏特），不能把金属中的电子看成是静止的自由电子中的电子看成是静止的自由电子 所以在光所以在光电效应中不会发生康普顿效应电效应中不会发生康普顿效应在光电效应中，入射光是可见光或紫外线，在光电效应中，入射光是可见光或紫外线，47光光(波波)具有粒子性，那么实物粒子具有波具有粒子性，那么实物粒

27、子具有波动性吗动性吗?一、德布罗意假设一、德布罗意假设L.V. de Broglie （ 法国人，法国人，1892 1986 ）从自然界的对称性出发，认为既然光从自然界的对称性出发，认为既然光(波波)具有粒子性，那么实物粒子也应具有波动具有粒子性，那么实物粒子也应具有波动性。性。1924.11.29德布罗意把题为德布罗意把题为“量子理论的研量子理论的研究究”的博士论文提交给了巴黎大学。的博士论文提交给了巴黎大学。6.5 实物粒子的波动性实物粒子的波动性48路易路易.德布罗意德布罗意Louis.V.de Broglie法国人法国人1892 1986提出电子的波动性提出电子的波动性1929年获诺年

28、获诺贝尔物理奖贝尔物理奖49与粒子相联系的波称为与粒子相联系的波称为物质波物质波或或德布罗意波德布罗意波一个能量为一个能量为E、动量为、动量为 p 的实物粒子，同时也的实物粒子，同时也具有波动性，它的波长具有波动性，它的波长 、频率频率 和和 E、p的关的关系与光子一样系与光子一样：他在论文中指出：他在论文中指出：德布罗意关系德布罗意关系hmchE2hhpmv50少女？少女？老妇？老妇？波粒二象性波粒二象性51Emhph02 eUmhph02 U=150V 时，时， =0.1nm经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。在论文答辩会上，佩林问：在论文答辩会

29、上，佩林问： “这种波怎样用实验耒证实呢？这种波怎样用实验耒证实呢？”德布罗意答道：德布罗意答道： “用电子在晶体上的衍射实验可以做到。用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”电子的波长：电子的波长：设加速电压为设加速电压为U（单位为伏特）（单位为伏特）X 射线波段射线波段（电子电子v c）)nm(225. 1U 52二、电子衍射实验二、电子衍射实验l戴维孙戴维孙（Davisson）革末革末（Germer）实验）实验(1927)当满足当满足 2dsin = n ，n = 1, 2, 3,时，应观时，应观察到电流察到电流 I 为极大为极大C CCIUnCemdhnU 02sin2 当当 , 2C,

30、3C时，时，CU eUmhph02 实验观察到实验观察到 I 为极大！为极大！G Ni 片片（单晶）（单晶）抽真空抽真空UI 53lG.P.汤姆孙汤姆孙（G.P.Thomson）实验（）实验（1927） 1929年德布罗意获诺贝尔物理奖年德布罗意获诺贝尔物理奖 电子通过金多晶薄膜衍射电子通过金多晶薄膜衍射金多晶薄膜金多晶薄膜电子束电子束衍衍射射图图象象1937年戴维孙、年戴维孙、 汤姆孙共获诺贝尔物理奖汤姆孙共获诺贝尔物理奖54l约恩孙约恩孙（Jonsson）实验（）实验（1961）电子单、双、三、四缝衍射实验：电子单、双、三、四缝衍射实验：质子、中子、原子、分子质子、中子、原子、分子也有波动

31、性。也有波动性。1hmmmv， 单单 缝缝 双双 缝缝 三三 缝缝 四四 缝缝宏观粒子宏观粒子 m 大，大， 0，表现不出波动性。，表现不出波动性。551.6 概率波概率波一、对物质波的理解，概率波的概念一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔：薛定谔：波是基本的，波是基本的，波包总要扩散，波包总要扩散，而电子是稳定的。而电子是稳定的。 德布罗意：德布罗意：物质波是引导粒子运动的物质波是引导粒子运动的“导波导波”。 本质是什么，不明确。本质是什么，不明确。电子是电子是“物质波包物质波包”。 夸大了波动性，抹煞了粒子性。夸大了波动性，抹煞了粒子性。56一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：一个一个电

32、子依次入射双缝的衍射实验：700003000200007个电子个电子100个电子个电子57底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子电子具有粒子性电子具有粒子性 来源于来源于“一个电子一个电子”所具有的波动性所具有的波动性随着电子增多，逐渐形成衍射图样随着电子增多，逐渐形成衍射图样玻恩玻恩（M.Born）：德布罗意波并不像经典波）：德布罗意波并不像经典波那样，代表实在物理量的波动，而是描述粒那样，代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的子在空间的概率分布的“概率波概率波”。尽管单个电子的去向是随机的，但其概率在尽管单个电子的去向是随机的，但其概率在一定条件下（如双缝），具有确定的

33、规律。一定条件下（如双缝），具有确定的规律。581.4 波函数波函数 (Wave Function)用来描述微观粒子的运动状态用来描述微观粒子的运动状态(1925年年, E.Schrdinger提出提出)2()0( , )itxx te2()0iEt pxhe59波函数的统计解释波函数的统计解释光的双缝干涉实验：光的双缝干涉实验：当入射光很弱以至光当入射光很弱以至光子一个一个地入射时，干涉条纹依然出现子一个一个地入射时，干涉条纹依然出现.屏幕上光强大处，光子出现的概率大屏幕上光强大处，光子出现的概率大光强光强波函数的统计解释波函数的统计解释 粒子在某时某地出现的概率，与该时该地粒子在某时某地出

34、现的概率，与该时该地粒子波函数的模的平方成正比。粒子波函数的模的平方成正比。而而 光强光强 2 概率概率 2 玻恩玻恩(M.Born)，192670000 概率概率60粒子出现的概率粒子出现的概率概率密度概率密度(单位体积内粒子出现的概率单位体积内粒子出现的概率)2则则 在体积元在体积元dV内出现的概率：内出现的概率：2dV2dV在区域在区域 内出现的概率：内出现的概率：归一化条件：归一化条件：2d1V (积分区域为积分区域为 的定义域的定义域)定义：定义：Note:只有满足归一化条件，概率密度才是只有满足归一化条件，概率密度才是261对波函数的要求对波函数的要求单值、有限、连续、单值、有限、

35、连续、(归一归一)Notes: 德布罗意波的本质是概率波德布罗意波的本质是概率波, 因此因此又称粒子的波函数为又称粒子的波函数为概率幅概率幅 在量子力学中在量子力学中, c (c为常数为常数)与与 描描述的是粒子的同一运动状态述的是粒子的同一运动状态波函数的统计解释是否反映了自然波函数的统计解释是否反映了自然界的实质界的实质, 尚有争议尚有争议62解：解：22135 /6cos2aaa例例1-3已知粒子波函数为已知粒子波函数为13( )cos()2xxaxaaa 则粒子在则粒子在x=5a/6处出现的概率密度应处出现的概率密度应为为 .思考思考何处概率密度最大？何处为零？何处概率密度最大？何处为

36、零？a21631.5 不确定关系不确定关系 (Uncertainty Relations) de Broglie波是概率波波是概率波1927年，海森伯年，海森伯(W.Heisenberg)导出：导出：2xpx2ypy2zpz( “h-bar”)2h粒子的粒子的位置和动量不可能同时确定位置和动量不可能同时确定无法确定粒子在某时出现于何处无法确定粒子在某时出现于何处642EtNotes不确定关系常用于数量级估计，不确定关系常用于数量级估计，有时将式中有时将式中 /2 取为取为 或或 h。不确定关系不确定关系因因 /2 很小很小 (10-35J s)，不确定关系，不确定关系在宏观现象中难以觉察到。在

37、宏观现象中难以觉察到。端坐的人端坐的人(m=70kg)： x0.1mm vx 8 10 34m/se.g.65原子激发态寿命原子激发态寿命 t10 8s能级宽能级宽度度 E 10 8eV发光非单色发光非单色. 相干长度相干长度2(See波动与光学波动与光学P.129133)附附 与光的单色性相关的物理量与光的单色性相关的物理量:66例例1-4如图如图, (A)、(B)、(C)、(D)分别为粒子分别为粒子运动的波函数图线，则其中确定粒子运动的波函数图线，则其中确定粒子动量精确度最高的波函数是哪个？动量精确度最高的波函数是哪个？(A)X(B)X(C)X(D)X解：解： px 最小最小 x最大最大

38、非零区域最大非零区域最大 (A)671.6 薛定谔方程薛定谔方程 (Schrdinger Equation) 1925年年, E.Schrdinger连连“猜猜”带带“凑凑”给给出：出：222Uimt 薛定谔方程薛定谔方程其中其中2222222zyx),(tzyxUU 势能函数势能函数Laplacian(see p158-159)68简单情形：简单情形：一维，且一维，且U=U(x)波函数：波函数： (x,t) = (x)e iEt/ 此时此时 (x,t ) 2 = (x) 2一维定态一维定态Schrdinger方程方程定态波函数定态波函数 (x)满足：满足：222d2dUEmx定态定态69一维

39、无限深方势阱一维无限深方势阱U=0 (0 xa) (x 0, x a)Ua0X物理背景：物理背景：金属中自由电子所处的势场金属中自由电子所处的势场方程方程222d20(0)dmExax), 0(0axx70(i) 阱内（阱内（0 xa）22( )( )0mExx 2mEk 设设通解：通解： ( )sincosxAkxBkx 已满足单值、有限条件已满足单值、有限条件2( )( )0 xkx 71(0)( )0a B = 0 ( )sinxAkx (0)0 ( )0a sin0ka (ii) 用波函数的连续条件确定特解用波函数的连续条件确定特解, 1,2,3,nkna228 mEkh 2228hE

40、nma 无限深方势阱中粒子能量是量子化的无限深方势阱中粒子能量是量子化的72( )sinnxAxa 归一化条件归一化条件2*0dd1axx220sind1anAx xa2Aa(iii) 用波函数的归一化条件待定系数用波函数的归一化条件待定系数73定态波函数定态波函数2( )sin (1,2,3,)nxxnaa 不同的不同的 n 不同的不同的 (x) 不同的运动状态不同的运动状态（能量本征态）（能量本征态）所得粒子波函数具有驻波形式所得粒子波函数具有驻波形式:/sin2),(iEtexanatx给定给定 n，振幅随，振幅随 x 而变而变粒子在各处粒子在各处出现的概率不同出现的概率不同 (与经典有

41、别与经典有别)Note:74能级能级 (energy levels), 3 , 2 , 1(8222nnmahEn能级能级量子数量子数特点：特点：01minEE与经典结果有与经典结果有根本区别！根本区别！(与不确定关系有关与不确定关系有关)能级是分立的能级是分立的75a0X n , n 2 n=1E=E0 (基态基态)E=4E0 (第一激发态第一激发态)E=9E0 (第二激发态第二激发态)n=2n=3n=4E=16E0 (第三激发态第三激发态)76在量子力学中在量子力学中, c (c为常数为常数)与与 描描述的是粒子的同一运动状态述的是粒子的同一运动状态解释解释222Uimt 若若 1和和 2

42、 都是薛定谔方程的解都是薛定谔方程的解则则 C1 1+C2 2 也是薛定谔方程也是薛定谔方程的解的解 叠加态叠加态7778798081*隧道效应隧道效应 (tunneling effect)U=0 (x0)U0 (x 0)阶跃势阶跃势 (step potential)物理例证：物理例证：金属表面电子气金属表面电子气0XUU0E (x)82U=0 (xa)势垒势垒 (potential barrier)EU0 , 粒子仍可以一定的概率穿越势垒粒子仍可以一定的概率穿越势垒隧道效应隧道效应物理例证：物理例证：放射性原子核的衰变；核聚放射性原子核的衰变；核聚变；黑洞蒸发等变；黑洞蒸发等.U0U0Xa8

43、3848586IBM公司用公司用STM将将48个个Fe原子做原子做成成“量子围栏量子围栏”通过扫描可观通过扫描可观测固体测固体表面的表面的微观结构微观结构. 探针探针头还可吸附并头还可吸附并搬动原子，形搬动原子，形成成人工微结构人工微结构.e.g.应用：应用：STM(扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜)87Chap.1 SUMMARY普朗克量子假设普朗克量子假设光电效应光电效应谐振子能量谐振子能量: E=nh (n=1,2,3,)(h=6.626 10-34J s)光电效应方程光电效应方程:212mmhAv红限频率红限频率:Ah0遏止电压遏止电压:212cmeUmv光的波粒二象性光的波粒二象性:hp

44、hE,88德布罗意波德布罗意波与实物粒子相联系的波与实物粒子相联系的波hmc 2hmv波函数波函数(概率幅概率幅)统计解释统计解释2 概率密度概率密度 (前提：前提： 是归一的是归一的)概率计算概率计算 应满足：单值、有限、连续、应满足：单值、有限、连续、(归一归一)89不确定关系：不确定关系：2xpx Schrdinger方程方程222d()2dUEmx一维定态一维定态Schrdinger方程方程方程的解方程的解一维无限深势阱一维无限深势阱90特点：特点：粒子在各处出现的概率不同粒子在各处出现的概率不同能级分立能级分立Emin 0有限势垒有限势垒隧道效应隧道效应91EXERCISES光子波长

45、为光子波长为 ，则其能量，则其能量= ；动量；动量的大小的大小= ；质量；质量= .解：解：hchEhp chcEm292解：解：某金属的逸出功为某金属的逸出功为A，则该金属的红限频，则该金属的红限频率率 0=. 若用频率为若用频率为 1的光照射该金属能的光照射该金属能产生光电效应，则遏止电势差产生光电效应，则遏止电势差 Uc =.Ah02112cmeUmhAveAhUc1hA0思考思考 要使要使 Uc =0， 1=? 93解：解：某单色光照射到金属表面产生了光电效应某单色光照射到金属表面产生了光电效应,若此金属的逸出电势是若此金属的逸出电势是U0(使电子从金属使电子从金属逸出需作功逸出需作功

46、eU0), 则此单色光的波长则此单色光的波长 必须必须满足：满足：(A) hc/(eU0)(B) hc/(eU0)(C) eU0/(hc)(D) eU0/(hc)必要条件：必要条件：Ahch0eUhc0eU)(A94思考思考 hc/(eU0) 的物理意义？的物理意义？定性分析法？定性分析法？95解：解：可见光光子的最大能量：可见光光子的最大能量：已知一些材料的功函数已知一些材料的功函数(逸出功逸出功)为：铍为：铍3.9eV，钯，钯5.0eV，铯，铯1.9eV，钨，钨4.5eV。今要制造能在可见光（频率范围。今要制造能在可见光（频率范围为为3.9 1014Hz 7.5 1014Hz）下工作的光电

47、下工作的光电管，在这些材料中应选管，在这些材料中应选。eVhE1 . 3maxmax应有应有eVA1 . 3 铯铯思考思考光电子的最大动能光电子的最大动能=？遏止电压？遏止电压=？96解：解：频率为频率为 1和和 2的两种单色光先后照射同一的两种单色光先后照射同一金属，均能产生光电效应。已知该金属的红金属，均能产生光电效应。已知该金属的红限频率为限频率为 0，且两次照射时的遏止电压，且两次照射时的遏止电压 Uc2 = 2 Uc1 ，则，则 1和和 2之间的关系为之间的关系为。0hhAhUec2010212ccUU0122思考思考 一般情形一般情形 Uc2 = k Uc1 ，结果？结果？97解：

48、解： 低速运动的质子和低速运动的质子和 粒子粒子, 若它们的德布罗若它们的德布罗意波长相同意波长相同, 则它们的动量之比则它们的动量之比pp:p =;动能之比动能之比Ekp:Ek =. =h/p p= pp:p = 1:1 Ek=p2/2m pp= p Ekp:Ek = m :mp=4:1思考思考若动能相同，则若动能相同，则 pp:p = ? p : =?98 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，静止质量不为零的微观粒子作高速运动，则粒子物质波的波长则粒子物质波的波长 与速度与速度v有如下关系：有如下关系：(A) (B)v1/v(C) (D)2211cv22cv解：解：2201hmcvv (C

49、) 思考思考 与与E的关系？的关系？hmv22011hmcv99解：解：圆周运动：圆周运动：22eBmR vv2meRBv2hhmeRBv (A) 若若 粒子在磁感应强度为粒子在磁感应强度为B的均匀磁场中沿的均匀磁场中沿半径为半径为R的圆形轨道运动，则的圆形轨道运动，则 粒子的德布罗粒子的德布罗意波长为意波长为(A) h/2eRB (B) h/eRB(C) 1/2eRBh (D) 1/eRBh思考思考高速运动，结果？高速运动，结果？100 中子质量中子质量m=1.67 10-27kg，当中子的动能，当中子的动能等于温度为等于温度为T=300k的热平衡中子气体的中子的热平衡中子气体的中子平均动能

50、时，其德布罗意波长为平均动能时，其德布罗意波长为 .解：解：mpkT2232mkTp3mkThph3思考思考是否需考虑相对论效应？是否需考虑相对论效应？nm146. 0101 如图，一束动量为如图，一束动量为p的电子通过缝宽为的电子通过缝宽为a的的狭缝，在距离狭缝为狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，则处放置一荧光屏，则屏上衍射图样中央最大的宽度为屏上衍射图样中央最大的宽度为 .a 1pR解：解：xx20apRh2aR2102解：解：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为函数为)0()/sin(/2)(axaxnaxn若粒子处于若粒子处于n=1的状态，则

51、在的状态，则在0a/4区间发现区间发现该粒子的几率是多少？该粒子的几率是多少？/4210( ) daPxx091. 0/4202sindaxxaa思考思考对一般的对一般的n值，结果值，结果?103 物质波的概念可以成功地解释原子中令人物质波的概念可以成功地解释原子中令人 rnhrm v 2 轨道角动量量子化轨道角动量量子化“揭开了自然界巨大帷幕的一角揭开了自然界巨大帷幕的一角”“看来疯狂，可真是站得住脚呢看来疯狂，可真是站得住脚呢” nr 2ph 稳定轨道稳定轨道波长波长论文获得了评委会高度评价。论文获得了评委会高度评价。困惑的轨道量子化条件。困惑的轨道量子化条件。爱因斯坦称：爱因斯坦称：,

52、3 , 2 , 1,2 nnnhl 1041.6 概率波与概率幅概率波与概率幅一、对物质波的理解，概率波的概念一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔：薛定谔：波是基本的，波是基本的，l波包总要扩散，波包总要扩散，而电子是稳定的。而电子是稳定的。 德布罗意：德布罗意：物质波是引导粒子运动的物质波是引导粒子运动的“导波导波”。 本质是什么，不明确。本质是什么，不明确。电子是电子是“物质波包物质波包”。l通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的一部分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电一部分，如果波代表实体，那就意味着能观测到电子的一部分，这与显示电

53、子具有整体性的实验结果子的一部分，这与显示电子具有整体性的实验结果矛盾。矛盾。 夸大了波动性，抹煞了粒子性。夸大了波动性，抹煞了粒子性。105另一种理解：另一种理解： 粒子是基本的，电子的波动性是粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之间相互作用的结果。大量电子之间相互作用的结果。 为防止电子间发生作用，让电子一个一个地为防止电子间发生作用，让电子一个一个地入射，发现时间足够长后的干涉图样和大量电入射，发现时间足够长后的干涉图样和大量电子同时入射时完全相同。子同时入射时完全相同。 这说明，电子的波动性并不是很多电子在空这说明，电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时相互作用的结果，而是单个电

54、间聚集在一起时相互作用的结果，而是单个电子就具有波动性。换言之，干涉是电子子就具有波动性。换言之，干涉是电子“自己自己和自己和自己”的干涉。的干涉。 无论是大量电子同时入射，还是电子一个一无论是大量电子同时入射，还是电子一个一个地长时间地入射，都只是让单个电子干涉的个地长时间地入射，都只是让单个电子干涉的效果在底片上积累并显现出来而已。效果在底片上积累并显现出来而已。106一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：700003000200007个电子个电子100个电子个电子107底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子 电子具有粒子性。电子具有粒子性。“一个电

55、子一个电子”所具有的波动性，所具有的波动性， 来源于来源于而不是电子间相而不是电子间相互作用的结果。互作用的结果。随着电子增多，逐渐形成衍射图样随着电子增多，逐渐形成衍射图样一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。玻恩（玻恩（M.Born）：）：子在空间的概率分布的子在空间的概率分布的“概率波概率波”。德布罗意波并不像经典德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，波那样是代表实在物理量的波动， 而是描述粒而是描述粒尽管单个电子的去向是概率性的，尽管单个电子的去向是概率性的， 但其概率在但其概率在108【例例】m = 0.01kg，v = 30

56、0 m/s 的子弹的子弹34346.63 102.21 100.01 300mhhpmvh极小极小 宏观物体的波长小得实验难以测量宏观物体的波长小得实验难以测量 “宏观物体只表现出粒子性宏观物体只表现出粒子性”h 0 ：波动光学波动光学几何光学）几何光学）（ 0：量子物理量子物理经典物理经典物理c ： 相对论相对论牛顿力学牛顿力学 两把自然尺度：两把自然尺度： c 和和 h波长波长109思想方法自然界在许多方面都是思想方法自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设法提出物质波的假设 “整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的整个世纪以来，在辐射

57、理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于是我们关于粒子粒子的图象想得太多，而过分地的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？忽略了波的图象呢？”法国物理学家德布罗意法国物理学家德布罗意Louis Victor de Broglie 18921987 1101.3 德布罗意波德布罗意波 (de Broglie Waves)1924年，年，L.V.de Broglie提出：提出：实物粒子也实物粒子也应具有波动性。应具有波动性。de Broglie

58、假设假设A particle of matter such as an electron also has wavelike properties.hmchE2mvhphde Broglie 公式公式111与实物粒子相联系的波与实物粒子相联系的波de Broglie波波相应的波长相应的波长de Broglie波长波长Note: 对于对于de Broglie波，波，粒子运动速度粒子运动速度电子衍射实验电子衍射实验1927年年, 戴维孙戴维孙(C.J.Davisson)和革末和革末(L.A. Germer)镍单晶镍单晶 (See P.2223)同年，同年，G.P.Thomson金多晶金多晶1961年，年， C.Jonsson电子的单缝、双缝、电子的单缝、双缝、三缝、四缝衍射三缝、四缝衍射112(C.Jonsson, 1961)113Notes:电子波长的计算电子波长的计算 .U=10 kV相对论相对论: =1.221 10 2 nm相对误差相对误差 3meUhph2加速电压加速电压低速：低速：e.g.mpEeUk22meUp2 =1.225 10