【课件】6.2.3向量的数乘运算

1、特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾连首尾连特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab O2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :3a3a一般地，我们规定实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a| .一 向量数乘的定义(2)a(a0)的方向当 时，与a的方向相同；当 时，与a的方向相反.特别地，当0时，a .当1时，(1)aa.向量数乘

2、|a|000a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2二 向量数乘的运算律1.设，为实数，那么(1)(a) .(2)()a .(3)(ab) .特别地，()a(a) ，(ab) .2.向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b) .()aaaab(a)ab加减数乘1a2b例1(1)若a2bc，则化简3(a2b)2(3bc)2(ab)等于（ ） A.a B.b C.c D.以上都不对题类一、向量的线性运算解 原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.(2)若3(xa)2(x2a)4(

3、xab)0，则x_.解 由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0， 所以x4b3a.4b3a【悟】向量线性运算的基本方法( (1)1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、 移项移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用， 但是但是这里的这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”是指向量，实数看作是向量的系数是指向量，实数看作是向量的系数. .( (2)2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把

4、所求向量当作未知数，利用解方程的方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方方 法法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. .【练1】计算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.题类二、用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的两种方法【悟】(1)直接法(2)方程法当当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建平行四边形法则建立立关于所求向量和已知向量的等量关系，

5、然后解关于所求关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的向量的方程方程. .题类二、用已知向量表示其他向量:(1)0,.a abbaab对对于于向向量量 ，以以及及实实数数 如如果果， 那那么么 向向量量 与与 ，事事共共线线实实(|)0|-2|abbaabaabbaabba向向量量 与与 共共线线，且且向向量量的的长长度度是是向向量量 的的长长度度 即即，那那么么当当 与与 同同向向时时， 有有，当当 与与 反反向向反反过过来来， 已已时时 ，有有知知的的 倍倍。三向量共线定理向量向量a(a0)与与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使使 .b

6、a三向量共线定理思考向量共线定理中为什么规定a0?答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()2.若ba，则a与b共线.()3.若a0，则a0.()4.|a|a|.()题类三、向量共线的判定及应用,a0a bb 设是两个向量，是两个实数，在中，例2(1)0ab若 ， 至少有一个不为，则与共线，(2)0ab若 与 共线， 至少有一个不为；000-ababab ， 向量 与向量 共线。证

7、明： (1)， 至少有一个不为，不妨，由=-10a0=-10a0abRbaabbb 向量 与向量 共线，使得即（ ），在中，至少存在 、，使得成立。证明： (2)，,0/ / )0abbaabba 是两个向量，是两个实数与 共线（， 至少有一若，则个不为，题类三、向量共线的判定及应用,a0a bb 设是两个向量，是两个实数，在中，例2(3)0ab若只有， 全为时才成立，则与不共线，(4)= =0ab 若 与 不共线，则。00abab反证，假设向量 与向量共线，则存在使，与题设矛盾， 原结论正确。证明： (3)，至少有一个不为， 0a0bab反证，若 、 不全为 ，由，向量与向量共线，与题设矛盾

8、， 原结论成立。证明： (4),00a babab 是两与 不共个向量，是两个实数，若，线则三向量共线定理（另一种叙述）,0a bab ：是两个向量，是【两个实数，若理】，则定/ / )0abab与 共线（， 至少（ ）有一个不为20ab与 不共线（1）1212123,4.e eeekeek 例例 ：设设是是两两个个不不共共线线的的向向量量，而而和和共共线线， 求求实实数数 的的值值12121212-4-4eekeeRkeeee 解：和和共共线线，使使得得（），1212-1-40keeee 即即（） （），又又和和不不共共线线，-011-404kk，题类三、向量共线的判定及应用例4设a，b是不

9、共线的两个向量.A，B，C三点共线. 132.22tt若，共线，求实数的值baab题类三、向量共线的判定及应用例4设a，b是不共线的两个向量. 132.22tt若，共线，求实数的值baab 13132-2222tRt 解：，共共 线线 ， 使使 得得（） ，baabbaab13(-1)022t即即 （），与与 不不 共共 线线 ，abab11=03232-1=0=-23tt131-=.223tt当，共共 线线 时时baab【悟】(1)证明或判断三点共线的方法 要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得 即可.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相

10、应向量系数相等求解.A，B，DA，B，D三点共线.核心素养HE XIN SU YANG三点共线的常用结论A.1 B.2 C.3 D.4解 连接AO，O是BC的中点，又M，O，N三点共线，则mn2.素养判断三点共线的一个常用结论： + =1.OxyOAxOB yOCABx yC 若， 为直线外一点存在实数 、， ， 三点共线使 ，则课堂练习课堂练习KE TANG LIAN XI课堂练习1.下列运算正确的个数是 (3)2a6a； 2(ab)(2ba)3a； (a2b)(2ba)0. A.0 B.1 C.2 D.3解 据向量数乘运算和加减运算规律知正确； 中，(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运 算错误. 所以运算正确的个数为2.课堂练习解 因为M是BC的中点，课堂练习所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4(a3b)6(2ba)_.解 4(a3b)6(2ba