9应力状态和强度理论2

1、第九章第九章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 课题课题91 91 应力状态分析应力状态分析 课题课题92 92 强度理论简介强度理论简介 课题课题91 91 应力状态分析应力状态分析 1.1.轴向拉（压）轴向拉（压）旧课复习：旧课复习：F 2.2.圆轴扭转圆轴扭转MMmax 3.3.弯曲弯曲MMmaxMmaxFF 一、应力状态的概念一、应力状态的概念 单元体单元体 二、应力状态分类二、应力状态分类 主单元体主单元体 一点的应力状态一点的应力状态表示出截面应力的单元体称为该点的应力状态。FFAA A A 主应力主应力 1.单向应力状态单向应力状态 有一个主应力不为零的应力状态。 2.二向应

2、力状态二向应力状态 有二个主应力不为零的应力状态。 3.三向应力状态三向应力状态 有三个主应力不为零的应力状态。 主单元体主单元体围绕构件内部一点处从不同方位截出的诸多单元体中，总存在一个切应力为零的单元体称为主单元体。 单元体单元体围绕受力构件内部一点作一棱边为无穷小的正六面体。 主应力主应力切应力为零的平面称为主平面主平面，作用在主平面上的正应力称为主应力。用 1、 2、 3、表示，并按代数值排序，即。 1 2 3。三、二向应力状态分析三、二向应力状态分析 图为一平面应力状态。规定：拉应力为正；切应力对单元体力矩顺时针转向为正，反之为负。 用截面法确定单元体斜截面ef上的正应力 和切应力

3、。列平衡方程：解得 x x y y 1.斜截面上的应力斜截面上的应力 斜面ef的外法线n与x轴的夹角用表示，简称截面。ef x x y yefyxn 设斜截面ef的面积为dA。dAdAcondAsin:0nFsin)con(con)con(dAdAdAxx0con)sin(sin)sin(dAdAxy:0Fcon)con(sin)con(dAdAdAxx0sin)sin(con)sin(dAdAxysin2con22xyxyxcon2sin2xyx 2.主应力和主平面主应力和主平面 正应力有极值的斜截面上，切应力为零，是单元体的主平面主平面。极值正应力是单元体的主应力主应力。解：解： x=40

4、MPa, y=-20MPa, x=30MPa例例9-1 图示应力状态，应力单位为MPa,求主应力和最大切应力。40 3020由函数求极值知： 主平面0为极值正应力0con2sin2 2xyxddyxx22tan022minmax)2(2xyxyx最大切应力2)2(3122maxxyxMPa23010302)20(402)20(4022minmax 1=52.1MPa, 2=0, 1=-32.1MPa, max=42.1MPa例例9-2 图示为圆轴扭转时的应力状态，试分析铸铁试样扭转破坏现象。 解解 圆轴扭转时，在横截面的圆周边缘处有最大切应力。 22minmax)2(2xyxyx45 3 1M

5、M 其 x=0, y=0, x= ，是纯剪切应力状态。 主应力为主应力为 1= , 2=0, 3= - 。 圆截面铸铁扭转时，表面各点主应力 1所在主平面组成倾角为45的螺旋面。由于铸铁抗拉强度低，试样将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏 。 2.主应力和主平面主应力和主平面 课后作业：课后作业：工程力学练习册练习三十三三十三本课节小结本课节小结一、应力状态的概念一、应力状态的概念二、应力状态分类二、应力状态分类一点的应力状态一点的应力状态表示出截面应力的单元体 1.单向应力状态单向应力状态 有一个主应力不为零的应力状态。2.二向二向应力状态应力状态 有二个主应力不为零的应力状态。3.三向应力状

6、态三向应力状态 有三个主应力不为零的应力状态。三、二向应力状态分析三、二向应力状态分析 1.斜截面上的应力斜截面上的应力sin2con22xyxyxcon2sin2xyx22minmax)2(2xyxyx一、三向应力状态的最大切应力和广义胡克定律一、三向应力状态的最大切应力和广义胡克定律 弹性力学的研究结果表明，三向应力状态的最大切应力为 1.三向应力状态的最大切应力三向应力状态的最大切应力 由于单向和二向应力状态是三向应力状态的特殊情况，上述结论同样适用于单向和二向应力状态。例例9-3 图示三向应力状态，单位为MPa,求主应力和最大切应力。 解：解：已知一个主应力为-30MPa, x=120

7、MPa, y=40MPa, x= -30MPa,求另外两个主应力得 课题课题92 92 强度理论简介强度理论简介231max120 4030302222minmax30）-（)240120(240120)2(2xyxyxMPa5080 1=130MPa, 2=30MPa, 1=-30MPa, max=80MPa 图示为受力构件内部某点处的主单元体。 此式称为广义胡克定理广义胡克定理，表明:构件内部一点处的最大线应变，发生在第1主应力的方向上，并用1表示。2.2.广义胡克定律广义胡克定律 1 2 3 1 2 3)(13211E)(13122E)(12133E 在材料的弹性范围内，单元体在三个主应

8、力方向的线应变，可用叠加法求得。EEE3211 由胡克定律知，在弹性范围内，E 横向应变E 即 问题引入：问题引入： 式中xd1表示最大拉应力理论的相当应力。二、强度理论二、强度理论11xd 1.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论） 强度理论强度理论关于材料在复杂应力状态下失效因素的假说。 在强度问题中，失效失效包含了两种不同的含义，一是由于应力过大发生的断裂破坏；二是发生了一定量的塑性变形。材料在不同应力状态下的失效可分为屈服失效和断裂失效。 问题引入：问题引入：简单应力状态下，可通过实验测定确定其强度准则，但在复杂应力状态下如何确定其强度准则？ 即 1= b，引入安全系数, ， 1

9、.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论） 认为：无论材料处于何种应力状态，当其最大拉应力拉应力达到单向拉伸材料断裂时的抗拉强度b，材料就发生断裂破坏。nb则相应的强度准则为F FFFb bFbFb 式中xd2为最大拉应变理论的相当应力)(3212xd 1.最大拉应变理论最大拉应变理论（第二强度理论） 2.最大拉应变理论最大拉应变理论（第二强度理论） 认为：无论材料处于何种应力状态，当其最大拉应变拉应变达到单向拉伸材料断裂时的极限拉应变b时，材料就发生断裂破坏。EEb)(13211引入安全系数 ，则相应的强度准则为FFEFbFbEbb 即 1= b时 式中xd3为最大拉应变理论的相当应力3

10、13xd 3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论） 2231maxs引入安全系数 ，则相应的强度准则为FF 即 max = s时 45 max= /2FsFs 45 s= s /2 3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论） 认为：无论材料处于何种应力状态，当其最大切应力切应力达到单向拉伸材料屈服时的极限切应力s时，材料就发生屈服失效。)()()(6)1 (213232221EUd 4.形状改变比能理论形状改变比能理论（第四强度理论） 单元体的变形能包括了体积改变能和形状改变能两部分。对于单元体单位体积内的形状改变能称为形状改变比能单元体单位体积内的形状改变能称为形状改变比能，用

11、Ud表示。复杂应力状态下，形状改变比能与主应力的关系（证明从略）为 式中xd4为形状改变比能理论的相当应力。)()()(212132322214xd引入安全系数 ，则相应的强度准则为FsFs 形状改变比能理论认为：无论材料处于何种应力状态，只要单元体的形状改变比能Ud达到单向拉伸材料屈服时的形状改变比能Us时，材料就发生屈服失效。 即 Ud = Us时 s s2ss6)1 (EU 强度理论的适用范围强度理论的适用范围： 强度理论的适用范围强度理论的适用范围：一般脆性材料适用第一强度理论；塑性材料适用第三、四强度理论。但在三向拉应力拉应力状态下，无论脆性还是塑性材料，都会发生断裂，用第二强度理论

12、。在三向压应力压应力状态下，脆性和塑性材料，都发生屈服，用第三、四强度理论。 例例9-4 图示铸铁构件上危险点的应力状态，已知+=30MPa,试校核其强度。 解：解：单元体只有正应力而无压应力，可能发生脆断，故用最大拉应力理论校核。 解：解：1.求主应力 得 例例9-5 图示某钢构件上危险点的应力状态，已知 x=110MPa, x=-50MPa, =160MPa,试校核其强度。由给定应力状态，得22minmax10)22010(22010所以此点的强度满足。22minmax4412xxx 构件材料为钢，故用第三、第四强度理论。所以此钢构件的强度满足。MPa2 .1115MPa2 .2611xd10 1020 x x2214412xxx022234412xxxMPa7 .14850411042222313xxxdMPa1403)()()(21222132322214xxxd此类应力状态对应第三、四强度理论相当应力的表达式 课后作业：课后作业：工程力学练习册练习三十三三十三本课节小结本课节小结一、三向应力状态的最大切应力和广义胡克定律一、三向应力状态的最大切应力和广义胡克定律二、强度理论二、强度理论 1.三向应力状态的最大切应力三向应力状态的最大切应力 1.最