第二章(2)MATLAB课件

1、第二章 MATLAB数值计算功能2.1 MATLA的数据类型2.2 向量及其运算2.3 矩阵及其运算2.4 数组及其运算2.5 多项式运算三、矩阵的基本函数运算 1. 特征值函数 矩阵的特征值可以由两个函数eig和eigs计算得出。eig给出特征值和特征向量的值，eigs是使用迭代法求解特征值和特征向量的函数。 如： A=7 3 2;3 4 1;-2 1 3; x,y=eig(A)x,y=eig(A)x = 0.5774 -0.0988 -0.8105 -0.5774 0.6525 -0.4908 0.5774 0.7513 0.3197y = 2.0000 0 0 0 2.3944 0 0

2、0 9.60562. 秩函数 矩阵的秩的求解可由函数rank实现。 如： e=3 6 7 ;8 76 0;7 9 3 rank(e) ans=33. 迹函数 矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹， 可由trace函 数计算得出。 如： trace(A) ans =144. 通用函数形式 在MATLAB中使用通用函数的格式为funm(A,funname),其中A为输入矩阵变量，funname为调用的函数名。 如： funm(a,log) %其作用同于logm(a); funm(a,sqrt) %其作用同于sqrtm(a); 基本函数表（见下表） 四、矩阵分解函数 1. 特征值分解 调用函数 ei

3、g 矩阵分解为X*V=V*D 调用格式为： V，D=eig(X) % D：X矩阵的特征值对角矩阵； V： 其列为对应特征值的特征向量矩阵。 矩阵A和B作广义特征值分解 A*V=B*V*D，调用格式为： V，D=eig(A,B) 如： a=-149 50 154;537 180 546;-27 9 -25 b=2 10 2;10 5 8;2 8 11v,d=eig(a)v = 0.3162 -0.4041 -0.1391 -0.9487 0.9091 0.9740 -0.0000 0.1010 -0.1789d = 1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 3.0000v,d=eig(

4、a,b)v = -1.0000 -0.3305 -0.0202 0.4204 1.0000 -1.0000 0.5536 -0.0046 0.3485d = 12.9030 0 0 0 -0.0045 0 0 0 0.07062. 其它分解 （自看） 五、特殊矩阵的生成 1. 空阵 定义 为空阵，一个被赋空阵的变量具有以下性质： 在MATLAB工作内存中确实存在被赋空阵的变量； 空阵中不包括任何元素，它的阶数是0*0； 空阵可以在MATLAB的运算中传递； 可以用clear从内存中清除空阵变量； 空阵不是“0”,也不是“不存在”，它可用来使矩阵按要求进行缩维。 如： a=1:18 a=resh

5、ape(a,3,6) a=1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 a1=a(:,1 3 4 6) a1 =1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 a(:,2 5)= a =1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 用空阵缩维后的a 阵与用坐标标识所得的a1阵相同。2. 几种常用的工具阵 全0阵 由函数zeros生成 ，调用格式为； zeros(N) %生成N*N阶的全0阵； zeros(M,N) %生成M*N阶的全0阵； zeros(M,N,P ) %生成M*N*P 阶的全0阵； zeros(size(A)

6、 %生成与A同阶的全0阵； 单位阵 由函数eye生成，调用格式为： eye(N) %生成N*N阶的单位阵； eye(M,N) %生成M*N阶的单位阵； eye(size(A) %生成与A同阶的单位阵； 全1阵 由函数ones生成，调用格式为： ones(N) %生成N*N阶的全1阵； ones(M,N) %生成M*N阶的全1阵； ones(M,N,P ) %生成M*N*P 阶的全1阵； ones(size(A) %生成与A同阶的全1阵； 随机阵 由函数rand产生，调用格式为： rand(N) %产生一个N*N阶均匀分布的随机阵，元素 值在（0.0,1.0)区间内； rand(M,N) %生成

7、M*N阶的随机阵； rand(M,N,P ) %生成M*N*P 阶的随机阵； rand %无变量输入时，只产生一个随机数量； rand(size(A) %生成与A同阶的随机阵； randn(N) %生成一个N*N阶的正态分布N（0，1）的随 机阵； 3. 其它特殊矩阵的生成（见下表）六、矩阵的一些特殊操作 1. 变维 实现矩阵变维有两种方法： “ ：” 两个矩阵之间运算实现变维； 函数“reshape”对一个矩阵的操作。 例如： a=1:12 a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b=reshape(a,2,6) b =1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12

8、c=zeros(3,4) c =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c(:)=a(:) c(:)=a(:)c = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12说明：1）若使用“：”进行变维操作，两个矩阵必须预先定义维 数； 2）这两个命令对于数组同样适用，并且有更广泛意义。 2. 矩阵的变向 矩阵的变向操作包括矩阵的旋转、左右翻转、上下翻转，分 别由函数rot90、fliplr、flipup来实现。flipdim用来对指定维数 进行翻转。 其调用格式为： rot90(A) %将A逆时针方向旋转900 rot90(A,K) %将A逆时针方向旋转（900*K），K值可正可负 f

9、liplr(X) %将X左右翻转 flipup(X) %将X上下翻转 flipdim(X,dim) %将X的第dim维翻转，dim=1时，对行翻转， dim=2时，对列翻转。 例如：矩阵变向示例。 c=1 2 3 4;3 4 5 6;4 5 7 9;3 5 8 0 flipdim(c,1) ans =3 5 8 0 4 5 7 9 3 4 5 6 1 2 3 4 flipdim(c,2) ans =4 3 2 1 6 5 4 3 9 7 5 4 0 8 5 3 flipdim(c,3)ans = 1 2 3 4 3 4 5 6 4 5 7 9 3 5 8 03. 矩阵的抽取 对角元素抽取函数d

10、iag diag(X,k) 抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。k为0时抽取 主对角线，k 为正值时为上方第k条对角线，k 为负 值时为下方第k条对角线。 diag(X) 相当于diag(X,0)，即抽取主对角线元素。 此函数还可以用来建立对角矩阵，其形式如下： diag(v,k) 使得向量v为所得矩阵的第k条对角线元素。 diag(v) 使得向量v为矩阵的对角线元素。例如：矩阵抽取示例。 a=pascal(4) %4阶pascal矩阵 a =1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 v=diag(a) ; v v=1 2 6 20 v=diag(a,2); v v

11、=1 4 v=diag(diag(a) v =1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 6 0 0 0 0 20 上三角矩阵和下三角矩阵的抽取 tril(X) 提取矩阵X的主下三角部分 tril(X,k) 提取矩阵X的第k条对角线下面的部分（包括第k条对角 线），其中k的含义与diag函数中k的含义相同。triu(X) 提取矩阵X的主上三角部分triu(X,k) 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分(包括第k条对角线)例如：对上例中a进行三角抽取。 a1=tril(a,-1) a1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 a1=triu(a,2) a1 =0 0 1

12、1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4. 矩阵的扩展 矩阵的扩展有两种方法： 利用对矩阵标识块的赋值命令X(m1:m2,n1:n2)=a生成大矩阵。其 中，（m2-m1+1）必须等于a的行维数，（n2-n1+1）必须等于a的列 维数。生成的（m2*n2）维的矩阵X，除赋值子阵和已存在的元素 外，其余元素都默认为0。 如：x(2:5,2:5)=a x = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 1 3 6 10 0 1 4 10 20y(2:5,3:6)=ay = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6

13、10 0 0 1 4 10 20 利用小矩阵的组合来生成大矩阵。 例：用3 种方法建立多项式的伴随矩阵。 v=1 2 6 20 v =1 2 6 20 a1=compan(v) a1 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 a2=-v(2:4);eye(2),zeros(2,1) a2 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 0 a3=-v(2:4); a3(2:3,1:2)=eye(2) a3 =-2 -6 -20 1 0 0 0 1 03、对于大规模的数据，可以通过数据表格方式来输入， 此时可以单击选择工作空间的图标，选中已经编好的矩阵数据文件后，导入到工作空间中。4、可以通过所提

14、供的其他函数来生成二维数组。 ans = 1.0000 0.5000 0.3333 1.0000 0.6667 0.5000 1.0000 0.7500 0.6000ans = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 1.3333 1.66672. 数组与常数间的运算 数加、数减运算 如：4.+b1 数乘运算 如: 3.*a1 数除运算 如： b1.9 b1.9ans = 9.0000 9.0000 9.0000 4.5000 4.5000 4.5000 3.0000 3.0000 3.00003. 数组的幂运算 运算符：“.”，同矩阵

15、幂运算不同，它表示每个数组元素的幂运 算。 如： a=2 1 3 1;3 1 0 7;-1 2 4 2;1 0 1 5 a.3 a3ans =8 1 -27 -1 27 1 0 343 -1 8 64 -8 1 0 -1 125ans =32 -28 -101 34 99 -12 -151 239 -1 49 93 8 51 -17 -98 139 4. 数组的指数运算、对数运算和开方运算 运算符为： exp log sqrt a=2 4;3 1 exp(a) expm(a) ans = 7.3891 54.5982 20.0855 2.7183 三、数组函数运算 对于数组运算的通用函数运算，

16、只要把所有运算的数组当数字一样带入函数中，不需要做什么变形。其通用形式为funname(A),其中funname为常用函数名，函数名见表2.6和表2.7 如：sin(a) log(a) exp(a)ans = 84.8655 84.7302 63.5476 63.6830四、数组逻辑运算 1. 基本逻辑关系运算 下表为基本逻辑运算表：说明： 在关系比较中，若比较的双方为同维的数组，则比较的结果也是同维数组。它的元素值由0和1 组成。当比较双方对应位置上的元素值满足比较关系时，它的对应值为1，否则为0。 当比较对方中一方为常数，另一方为一数组，则结果与数组同维，且其值为已知数组与常数依次比较的结

17、果； 在算术运算、比较运算、逻辑与或非运算中，它们的优先级关系先后为：比较运算 、 算术运算、逻辑与或非运算。 例：数组的逻辑运算演示 a=1 2 3;2 3 4;3 4 5 x=5 y=ones(3)*5 ax=x=a %等同于ax=y b=0 1 0;1 0 1;0 0 1b = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 ab=a&bab = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 n_b=bn_b = 1 0 1 0 1 0 1 1 02. 逻辑关系函数运算（二）、低维数组的排序例： a=1 2 3;2 3 4;3 4 5 p1=poly(a) p1 = 1.0000 -9.0000 -6

18、.0000 -0.0000 poly2sym(p1)ans = x3-9*x2-6*x-3.3130e-015 说明： 1） 由特征多项式生成多项式的首项系数一定是1； 2） n 阶矩阵一般产生 n 次多项式3. 由根创建多项式 由给定的根也可产生其对应的多项式，此功能由函数poly实现。 例：由给定的根向量生成其对应的多项式 root=-5 3+4j 3-4j p=poly(root) p = 1 11 55 125 poly2sym(p)ans = x3+11*x2+55*x+125 二、多项式运算 1. 求多项式的值 方法： 计算函数polyval: 以数组为输入变量值代入多项式计算； 计算函数polyvalm：以矩阵为计算单元，进行矩阵式运算， 以求多项式的值（变量矩阵为方阵）。 例： p=1 11 55 125 b=1 1;1 1 polyval(p,b) ans = 192 192 192 192 polyvalm(p,b) ans =206 81 81 206 2. 求多项式的根 方法： 直接调用函数roots , 求解多项式的根； 通过建立多项式伴随矩阵再求特征