第6章IIR数字滤波器的设计方法

1、第第6章章 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标6.3 全通系统全通系统6.4 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统超前系统6.5 模拟原型低通滤波器设计模拟原型低通滤波器设计6.6 模拟频带变换法设计各种响应的模拟滤波器模拟频带变换法设计各种响应的模拟滤波器6.7 间接法的间接法的IIR数字滤波器设计方案数字滤波器设计方案6.8 模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法6.9 将样本模拟归一化低通滤波器先

2、经模拟频带变换，将样本模拟归一化低通滤波器先经模拟频带变换，再数字化方案的设计步骤再数字化方案的设计步骤6.10 将样本模拟低通滤波器直接数字化为各种频率将样本模拟低通滤波器直接数字化为各种频率响应数字滤波器的设计方案响应数字滤波器的设计方案6.11 数字频域频带变换。将样本模拟归一化低通滤数字频域频带变换。将样本模拟归一化低通滤波器先数字化，再做数字频域频带变换的设计方法波器先数字化，再做数字频域频带变换的设计方法理解数字滤波器的基本概念理解数字滤波器的基本概念理解最小相位延时系统理解最小相位延时系统理解全通系统的特点及应用理解全通系统的特点及应用掌握冲激响应不变法掌握冲激响应不变法掌握双线

3、性变换法掌握双线性变换法掌握掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计过程过程第第6章学习目标章学习目标本章作业练习本章作业练习 P336:P336: 6.10(1)6.10(1)6.136.131设有一模拟滤波器抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数 211aHsss2T H z2要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。数字滤波器：数字滤波器： 输入输出均为数字信号，其功能是通过一定输入

4、输出均为数字信号，其功能是通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分。或者滤除某些频率成分。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：优点：6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 1、数字滤波器的分类、数字滤波器的分类 经典滤波器：经典滤波器：现代滤波器：现代滤波器：选频滤波器选频滤波器维纳滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等自适应滤波器等按功能分：按功能分：低通低通LPF 高通高通HPF

5、 带通带通BPF 带阻带阻BSF 全通滤波器全通滤波器APF 按实现的网络结构或单位抽样响应分：按实现的网络结构或单位抽样响应分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR滤波器滤波器IIR滤波器（滤波器（N阶）阶）2、数字滤波器的设计过程、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数系统的系统函数H(z)逼近此性能指标逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选

6、择等构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法芯片法IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：系统逼近给定的性能要求：, kkab即求滤波器的各系数：即求滤波器的各系数：计算机辅助设计法计算机辅助设计法 s s平面逼近：模拟滤波器平面逼近：模拟滤波器z z平面逼近：数字滤波器平面逼近：数字滤波器6.2 数字滤波器的技术数字滤波器的技术 选频滤波器的频率响应：选频滤

7、波器的频率响应：()()()jjjjH eH ee 为幅频特性：为幅频特性： 表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jH e 为相频特性：为相频特性： 反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()j：通带截止频率：通带截止频率c：阻带截止频率：阻带截止频率st：通带容限：通带容限1：阻带容限：阻带容限2st2()jH e阻带：阻带：cst过渡带：过渡带：c11()1jH e通带：通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：通带最大衰减：101

8、1()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻带最小衰减：阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e当当 时，时，()2/20.707cjH e称称 为为3dB通带截止频率通带截止频率13dBc表征滤波器频率响应的特征参量表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应幅度平方响应2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的极点既是共轭的，又是以单位的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的（圆成镜像对称的（h(n)为实序列）为实序列）1(

9、 )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/a为了系统可实现，为了系统可实现，H(z)的极点的极点只取单位圆内的极点只取单位圆内的极点相位响应相位响应()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位响应：相位响应：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延迟响应群延迟响应相位对角频率的导数的负值相位对角频

10、率的导数的负值()je若滤波器通带内若滤波器通带内 = = 常数，常数，则为线性相位滤波器则为线性相位滤波器6.4 最小与最大相位延时系统、最小与最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统最大相位超前系统LSI系统的系统函数：系统的系统函数：频率响应：频率响应：()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed1()11111(1)()( )(1)()MMmmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd)()(11)(kNkmMmMNdzczKz)(arg| )(|jeHjjeeH模：模：11()MjjmmNjkkecH eKed

11、各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK相角：相角：02 ,2当2位于单位圆内的零位于单位圆内的零/极矢量角度变化为极矢量角度变化为位于单位圆外的零位于单位圆外的零/极矢量角度变化为极矢量角度变化为 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKiommMioppN令：令：单位圆内零点数为单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为单位圆外的极点数为po11()argargarg ()jMNjjmkmkH ee

12、cedNMK2()arg2 ()22jiiH eNMmpK则：则：iipmMN22)(2因果稳定系统因果稳定系统全部极点在单位圆内：全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N2()arg222 ()jiiH empNMK22imM1）全部零点在单位圆内：）全部零点在单位圆内：,0iomM marg02）全部零点在单位圆外：）全部零点在单位圆外：0,iommMarg2 M 20om 为最小相位延时系统为最小相位延时系统为最大相位延时系统为最大相位延时系统, 1 zr rn 0时，时，h(n) = 0最小相位延时系统的性质最小相位延时系统的性质1）在）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后相同的

13、系统中，具有最小的相位滞后()jH e2）最小相位延时系统的能量集中在）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近，附近， 而总能量相同而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位延时系）级联一个全通系统，可以将一最小相位延时系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在）在 相同的系统中，相同的系统中， 唯一唯一()jH emin( )hn3）最小相位序列的）最小相位序列的 最大：最大：min(0)hmin(0)(0)hh22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn6.3 全通系统全

14、通系统对所有对所有 ，满足：，满足：()1japHe称该系统为全通系统称该系统为全通系统一阶全通系统：一阶全通系统：11( )1apzaHzaaz为实数01aza极点：极点：1/za零点：零点：零极点以单位圆为镜像对称零极点以单位圆为镜像对称za极点：极点：1*1( )1apzaHzaaz为复数01a*1/za零点：零点：实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统1*111( )11*apzazaHzazaz1a 两个零点（极点）共轭对称两个零点（极点）共轭对称*zaa ，极点：极点：*1/zaa，1/零点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称零点与极点以单位圆为镜像对称 N 阶数字全通滤波器阶数字全

15、通滤波器1*11( )1NkkkzaH za z 极点：极点： 1jpzrer零点：零点：1 1jozerr的根)(zD的根)(1zD)()(11)1(12211)1(12211zDzDzzdzdzdzdzzdzdzddNNNNNNNNNN)()(1zDzDzN全通系统的应用全通系统的应用min( )( )( )apH zHzHz1）任一因果稳定系统）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系都可以表示成全通系统统 Hap(z)和最小相位系统和最小相位系统Hmin(z)的级联的级联11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H1(z)为最小相位延时系统，为最小相位延时

16、系统， 为单位圆外的一对共轭零点为单位圆外的一对共轭零点*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把H(z)单位圆外的零点：单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置：映射到单位圆内的镜像位置：构成构成Hmin(z)的零点。的零点。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度响应不变：而幅度响应不变：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHe2）级联一个全通系统可

17、以使非稳定滤波器变成）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：单位圆外极点：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd 3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性而不改变系统的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde

18、利用均方误差最小准则求均衡器利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数的有关参数例：如下图是一个线性时不变因果系统，例：如下图是一个线性时不变因果系统，（1）求系统函数）求系统函数H(z)；（2）若）若a1=-2，b0=-2，b1=1，画出系统的零极点图；，画出系统的零极点图；（3）用几何法确定系统的幅频响应；）用几何法确定系统的幅频响应；（4）讨论系统的稳定性，若系统不稳定，则在不改）讨论系统的稳定性，若系统不稳定，则在不改 变系统的滤波特性的情况下，重新设计系统。变系统的滤波特性的情况下，重新设计系统。w( (n) )w( (n+1) )6.8 模拟滤波器数字化为数字滤波器模拟滤波

19、器数字化为数字滤波器的映射方法的映射方法设计思想：设计思想： s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统( )( )aHsH zH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆平面的单位圆因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) 即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| 1设计方法：设计方法：- 冲激响应不变法冲激响应不变法- 阶跃响应不变法阶跃响应不变法- 双线性变换法双线性变换

20、法6.8.1 冲激响应不变法冲激响应不变法( )( )at nTh nh t数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应( )h n( )ah t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHsT抽样周期抽样周期( )H z( )aHs1、变换原理、变换原理12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2、混迭失真、混迭失真12()jakkH eHjTT仅当仅当()02saHjT 1()jaH eHjTT数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：的频响而

21、不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为周期延拓，周期为 2/T2ssfTT混迭 实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小处衰减越快，失真越小/2s ,sfTTT T ccTT 当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c3、模拟滤波器的数字化方法、模拟滤波器的数字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aa

22、aHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系数相同：系数相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zez极点：极点：s 平面平面 z 平面平面kssks Tze稳定性不变：稳定性不变：s 平面平面 z 平面平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez当当T 很小时，数字滤波

23、器增益很大，易溢出，需修很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正正( )()ah nTh nT令：令：2()jakkH eHjT则：则：aHjT2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。数字滤波器。例：设模拟滤波器的系统函数为例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zz

24、z设设T = 1s，则，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、优缺点、优缺点优点：优点：缺点：缺点：T 保持线性关系：保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

25、时域逼近良好( )ah t6.8.2 双线性变换法双线性变换法1、变换原理、变换原理使数字滤波器的频率响应使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法：时域模仿逼近冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真缺点是产生频率响应的混叠失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11

26、sj 12s Te为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs2、变换常数、变换常数c的选择的选择12Tc tg 2cT2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置控制截止频率位置1 12Tc3、逼近情况、逼近情况2222()()czc01z111

27、1112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上4、优缺点、优缺点优点：优点：122Tc tgc tg 00 避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换00 缺点：缺点： 除了零频率附近，除了零频率附近， 与与 之间严重非线性之间严重非线性线性相位模拟滤波器线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤

28、波器的截止频率 ，则，则1112c tg 按按1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到可得到 1为截止频率的数字滤波器。为截止频率的数字滤波器。1111T=22c tgc tg 若给定，则按来设计5、模拟滤波器的数字化方法、模拟滤波器的数字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成级联的低阶子系统可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH z

29、H z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：2211( )4313aHsssss试用双线性变换法，设计试用双线性变换法，设计IIR数字滤波器。数字滤波器。设设T=2s。例例1：设模拟滤波器的系统函数为：设模拟滤波器的系统函数为例例2：设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为1321)(2sssHa试用脉冲响应不变法和双线性变换法，分别试用脉冲响应不变法和双线性变换法，分别将其转换为数字滤波器，设将其转换为数字滤波器，设T=2s。6.5 模拟原

30、型低通滤波器设计模拟原型低通滤波器设计将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器模拟滤波器 巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 滤波器滤波器 切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 滤波器滤波器 椭圆椭圆 Ellipse 滤波器滤波器 贝塞尔贝塞尔 Bessel 滤波器滤波器1、由幅度平方函数、由幅度平方函数 确定模拟滤波确定模拟滤波器的系统函数器的系统函数2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs h(t)是实函数是实函数2()aHj( )a

31、Hs()()aaHjHj 将左半平面的极点归将左半平面的极点归( )aHs虚轴上的零点一半归虚轴上的零点一半归( )aHs由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s平面函数平面函数将将 因式分解，得到各零极点因式分解，得到各零极点( )()aaHs Hs对比对比 和和 ，确定增益常数，确定增益常数()aHj( )aHs由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得( )aHs2()( )aaHjHs由确定的方法2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassH

32、s HsHjss 7, 6ss 极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）5sj 零点：零点：5sj 7, 6ss 的极点：的极点：( )aHs设增益常数为设增益常数为K020(25)( )(7)(6)aKsHsss000( )()4asaHsHjK由，得2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss2、模拟、模拟Butterworth 低通滤波器低通滤波器幅度平方函数：幅度平方函数：221()1aNcHj当当2()1/2acHj时称称 为为Butterworth低通滤波器的低通滤波器的3分贝带宽分贝带宽c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN 为滤波器的阶数为滤波

33、器的阶数c为通带截止频率为通带截止频率1）幅度函数特点：）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不变性不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小 st 当当 （阻带截止频率）时，衰减（阻带截止频率）时，衰减 ，为阻，为阻带最小衰减带最小衰减2Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN

34、 2）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布： 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共圆上，共2N点点 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为/ N rad 极点不落在虚轴上极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点121221,2,.,2kjNkcsekN 121221,2,.,kjNkcsekN 左半平面的极点：左半平面的极点：3）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 /ccrrad s 为

35、归一化系统的系统函数为归一化系统的系统函数( )anHs去归一化，得去归一化，得( )( )crcaanssHsHsancsH11()Nkkccss4）滤波器的设计步骤）滤波器的设计步骤：221()1apNpcHj120.10.1101101spk12ps确定技术指标：确定技术指标：120lg()apHj 由由120.1110Npc得：得：220.1110Nsc同理：同理：sspp令令lglgspspkN 则：则：120.10.1101101Nps根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N及及c：求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：11( )()anNkkHsss或者由或者由N

36、，直接查，直接查P278表表6.2得得( )anHs( )()aancsHsH121221,2,.,kjNksekN其中极点：其中极点：去归一化去归一化110.12101Ncp 阻带指标有富裕阻带指标有富裕210.12101Ncs 或或通带指标有富裕通带指标有富裕 lg 1lgspspkNN 取整数，即例例6.4：P276例：设计例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于 rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率在频率 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。分别

37、用冲激响应不变法和双线性变换法。0.20.3/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 sP302例例6.8/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/ lg5.88586spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善冲激用通带技术指标，使阻

38、带特性较好，改善冲激响应不变法引起的混迭失真。响应不变法引起的混迭失真。3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化4）将）将 展成部分

39、分式形式展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 1.2970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：设T=1s11( )1kNks TkTAH zez2、用双线性变换法设计、用双线性变换法设计20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1T

40、s选1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/ lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数）确定参数因双线性变换法无混迭问题，所以用阻带技术指因双线性变换法无混迭问题，所以用阻带技术指标，使通带特性较好。标，使通带特性较好。3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661(

41、 )()cakkHsssc) 构造系统函数构造系统函数234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）将）将 变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：3、

42、Chebyshev低通逼近低通逼近N：滤波器的阶数：滤波器的阶数幅度平方函数：幅度平方函数：2221()1()aNcHjC ：通带截止频率，不一定为：通带截止频率，不一定为3dB带宽带宽c ，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大越大，波纹越大01 ：N阶阶Chebyshev多项式多项式( )NCxcos(cos )1( )()1NNarcxxCxch Narcchxx等波纹幅度特性单调变化 2()1/ 1caHj 1）幅度函数特点：）幅度函数特点： 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向0c 221()1aNcHjC N为偶数为偶数2( 0)1/ 1aHj N为奇数为

43、奇数( 0)1aHj 通带内：在通带内：在1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏c 21/ 10 2）Chebyshev滤波器的三个参量：滤波器的三个参量： ：通带截止频率，给定：通带截止频率，给定c ：表征通带内波纹大小：表征通带内波纹大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()aaHjHjN：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定由通带衰减决定阻带衰减越大阻带衰减越大所需阶数越高所需阶数越高s为阻带截止频率为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布：2/221()(

44、 )()1aaas jNcHjHs HssCj1,2,.,2kkksjkN 22221()()kkccabsin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 4）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：1( )()aNkkKHsss12NcNKsin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：其中：5）滤波器的设计步骤）滤波器的设计步骤:10.1210120.1111101scchNch12ps确定技术指标：确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N及及 ：求系统函数：求系

45、统函数：11( )2()NcaNNkkHsss( )aanpsHsH21111112NNa1112NNb或者由或者由N和和 ，直接查表，直接查表6.5得得( )anHs1其中极点由下式求出：其中极点由下式求出：去归一化去归一化sin(21)cos(21)22kppsakjbkNN 1,2,.,kN例例6.5：P277例：用双线性变换法设计例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤数字低通滤波器，要求在频率低于波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特的通带内幅度特性下降小于性下降小于1dB。在频率。在频率 到到 之间的阻带内，之间的阻带内，衰减大于衰减大于15dB。0.20.320.6

46、5 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：P305例例6.90.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）确定参数）确定参数3）设计）设计Chebyshev模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求左半平面极点求左半平面极点sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.170211

47、10.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 构造系统函数构造系统函数220.04381(0.43780.1180)(0.18140.4166)ssss44311( )2()cakkHsssc) 去归一化去归一化2340.2756( )0.27560.74261.45390.9528anHsssss( )aancsHsH220.04381(043780.1180)(0.18140.4166)ssssb) 由由N=4， 直接查表得直接查表得11dB或者：或者：112 11( )( )azsTzH zHs1 412120.

48、001836(1)(1 1.49960.8482) (1 1.55480.6493)zzzzz( )aHs4）将）将 变换成变换成Chebyshev数字滤波器：数字滤波器：将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标小结：利用模拟滤波器设计小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减p1阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减s2通带截止频率通带截止频率/ppT 阻带截止频率阻带截止频率/ssT 通带截止频率通带截止频率tan(/ 2)tan(/ 2)ppPccT 阻带截止

49、频率阻带截止频率tan(/ 2)tan(/ 2)ssSccT 12、不变确定数字滤波器的技术指标：确定数字滤波器的技术指标： 冲激响应不变法冲激响应不变法 双线性变换法双线性变换法按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器器 Butterworth低通滤波器低通滤波器 Chebyshev低通滤波器低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 冲激响应不变法冲激响应不变法 双线性变换法双线性变换法6.7 间接法的间接法的IIR数字滤波器设计方案数字滤波器设计方案6.9 将样本模拟归一化低通滤波器先经模拟频带将样本模拟归一化

50、低通滤波器先经模拟频带变换，再数字化方案的设计步骤变换，再数字化方案的设计步骤归一化归一化模拟低通模拟低通模拟低通、模拟低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻模拟域模拟域频带变换频带变换双线性双线性变换变换( )aHssj 归一化：( )H z( )( )( )aasf sHsHs()()()aafHjHj ( )aHssj 归一化：归一化：1、模拟低通、模拟低通模拟低通模拟低通ccss1c 当通带截止频率当通带截止频率 时，时，相当于去归一化相当于去归一化cccc2、模拟低通、模拟低通模拟带通模拟带通变换关系变换关系：220sss220 sj 由sj : 0 sccs: 0 sccs 11022: 0 ss11022: 0 ss220 2220222101cc 201221cB 2