统计学第3章统计数据分布特征的测度

1、第第3 3章章 统计数据分布统计数据分布 特征的测度特征的测度v知识目标知识目标 熟练掌握反映统计数据分布集中趋势的各种平均指标的含熟练掌握反映统计数据分布集中趋势的各种平均指标的含义及其计算方法义及其计算方法 熟练掌握反映统计数据分布离散程度的各种变异指标的含熟练掌握反映统计数据分布离散程度的各种变异指标的含义及其计算方法义及其计算方法 理解反映统计数据分布对称与偏斜程度的偏度与峰度指标理解反映统计数据分布对称与偏斜程度的偏度与峰度指标的含义及其计算方法的含义及其计算方法v能力目标能力目标 能够采用正确的平均数及其计算方法进行社会经济现象的能够采用正确的平均数及其计算方法进行社会经济现象的计

2、算分析与应用，能够进行相关离散程度的分析应用，并能计算分析与应用，能够进行相关离散程度的分析应用，并能运用变异指标说明平均数的代表性；能够正确理解偏度和峰运用变异指标说明平均数的代表性；能够正确理解偏度和峰度的内涵；能够应用度的内涵；能够应用ExcelExcel进行数据测度的计算与分析进行数据测度的计算与分析。 融康保健品公司销售部经理将公司融康保健品公司销售部经理将公司6060名员工名员工20122012年年2 2月份的销售业绩情况月份的销售业绩情况进行了统计后制定进行了统计后制定20122012年年3 3月份的员工销售计划。数据如表月份的员工销售计划。数据如表3-13-1： 根据表中数据，

3、该经理计算出根据表中数据，该经理计算出6060名业务员销售额的平均数，以此作为计划的名业务员销售额的平均数，以此作为计划的目标值，因为这个平均数反映了目标值，因为这个平均数反映了6060个数据的集中趋势。同时，为了使计划目个数据的集中趋势。同时，为了使计划目标值更加科学合理，还要考虑业务员个体之间的差异性，即要了解这标值更加科学合理，还要考虑业务员个体之间的差异性，即要了解这6060名业名业务员中最高销售额与最低销售额相差多少，每个业务员的销售额与平均数相务员中最高销售额与最低销售额相差多少，每个业务员的销售额与平均数相差多少。销售额之间的差异越大，那么由此计算出的平均数的代表性就越差差多少。

4、销售额之间的差异越大，那么由此计算出的平均数的代表性就越差；反之，销售额之间的差异越小，那么由此计算出的平均数的代表性就越好；反之，销售额之间的差异越小，那么由此计算出的平均数的代表性就越好。数据之间的这种差异也是制定计划目标的重要依据。数据之间的这种差异也是制定计划目标的重要依据。 3.13.33.23.4集中趋势的测度集中趋势的测度 离散程度的测度离散程度的测度偏态与峰度的测度偏态与峰度的测度ExcelExcel在数据测度中的应用在数据测度中的应用3.1.13.1.1算术平均数算术平均数1.1.简单算术平均数简单算术平均数 式中：为算术平均数；式中：为算术平均数；xixi为变量值；为变量值

5、；n n为变量为变量值个数。值个数。2.2.加权算术平均数加权算术平均数 式中：式中：fifi为各组变量值出现的频数。为各组变量值出现的频数。 nxnxxxxin21 iiinnnffxffffxfxfxx212211 3.1.23.1.2调和平均数调和平均数1.1.简单调和平均数简单调和平均数2.2.加权调和平均数加权调和平均数inxnxkxkxknkH121 式中：式中：H H为调和平均数。为调和平均数。iiinnnxmmxmxmxmmmmH221121 3.1.33.1.3几何平均数几何平均数1.1.简单几何平均数简单几何平均数 式中：式中：G G为几何平均数；为几何平均数；xixi为变

6、量值；为变量值；n n为为变量值个数；为连乘符号。变量值个数；为连乘符号。2.2.加权几何平均数加权几何平均数 式中：式中：G G为几何平均数；为几何平均数；xixi为每组变量值；为每组变量值；fifi为每组频数；代表连乘符号为每组频数；代表连乘符号 ninnxxxxxG321 iiinffiffnfffxxxxxG321321 3.1.43.1.4中位数中位数1.1.未分组数据的中位数未分组数据的中位数2.2.已分组数据的中位数已分组数据的中位数v由单项数列确定中位数由单项数列确定中位数v由组距数列确定中位数由组距数列确定中位数3.1.53.1.5众数众数1.1.由单项数列确定众数由单项数列

7、确定众数2.2.由组距数列确定众数由组距数列确定众数3.1.63.1.6各测度指标的比较各测度指标的比较1.1.算术平均数、调和平均数和几何平均数的算术平均数、调和平均数和几何平均数的比较比较2.2.中位数、众数和算术平均数的比较中位数、众数和算术平均数的比较0MMxe0MMxexMMe0 对称分布对称分布 右偏分布右偏分布 左偏分布左偏分布 (a) (a) （b b） （c c） 图图3-1 3-1 中位数、众数和算术平均数关系示意图中位数、众数和算术平均数关系示意图3.2.1 3.2.1 极差极差 极差也称为全距，是指一组数据中的最大极差也称为全距，是指一组数据中的最大 值与最小值之差，用

8、值与最小值之差，用R R表示，即：表示，即： R max（xi） min(xi)极差极差R R可反映总体标志值的差异范围。可反映总体标志值的差异范围。3.2.2 3.2.2 平均差平均差 1.1.在资料未分组的情况下在资料未分组的情况下此时的平均差又称为简单平均差，其计算公式为：此时的平均差又称为简单平均差，其计算公式为： 采用标志值对算术平均数离差的绝对值之和，是因采用标志值对算术平均数离差的绝对值之和，是因2.2.在资料已分组的情况下在资料已分组的情况下此时的平均差又称为加权平均差，其计算公式为：此时的平均差又称为加权平均差，其计算公式为：式中：式中：fifi表示权数。表示权数。NxxAD

9、i iiiffxxAD 为各标志值对算术平均数离差的代数和等于零为各标志值对算术平均数离差的代数和等于零3.2.3 3.2.3 标准差和方差标准差和方差1.1.标准差和方差的基本计算标准差和方差的基本计算v根据未分组资料计算标准差和方差根据未分组资料计算标准差和方差 此时的标准差和方差称为简单标准差和简单方差此时的标准差和方差称为简单标准差和简单方差，其计算公式如下：，其计算公式如下：v根据分组资料计算标准差和方差根据分组资料计算标准差和方差 此时的标准差和方差称为加权标准差和加权方差此时的标准差和方差称为加权标准差和加权方差，其计算公式如下：，其计算公式如下：2.2.标准差和方差的简捷计算标

10、准差和方差的简捷计算 nxxi2)( nxxi22)( iiiffxx2)( iiiffxx22)( 3.2.43.2.4离散系数离散系数 极差、平均差、标准差和方差都是反映数极差、平均差、标准差和方差都是反映数据离散程度的绝对值，其数值大小不仅受据离散程度的绝对值，其数值大小不仅受变量值离散程度的影响，而且还受变量值变量值离散程度的影响，而且还受变量值平均水平高低的影响为了消除变量值水平平均水平高低的影响为了消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。影响，需要计算离散系数。%100 xV 3.3.13.3.1统计动差统计动差

11、3.3.23.3.2偏态及其测度偏态及其测度3.3.33.3.3峰度及其测度峰度及其测度3.4.1 3.4.1 未分组数据的计算未分组数据的计算3.4.2 3.4.2 已分组数据的计算已分组数据的计算3.4.3 3.4.3 常用的功能函数常用的功能函数1.1.测度集中趋势的函数测度集中趋势的函数（1 1）算术平均数）算术平均数 （2 2）调和平均数）调和平均数（3 3）几何平均数）几何平均数 （4 4）中位数）中位数（5 5）众数）众数2.2.测度离散程度的函数测度离散程度的函数（1 1）极差）极差（2 2）平均差）平均差（3 3）标准差和方差）标准差和方差3.3.测度偏斜程度的函数测度偏斜程

12、度的函数 （1 1）偏态系数（）偏态系数（2 2）峰度系数）峰度系数1.1.数据分布特征有集中趋势、离散趋势及分布形态数据分布特征有集中趋势、离散趋势及分布形态三个方面。三个方面。2.2.常用的测度集中趋势的指标有算术平均数、调和常用的测度集中趋势的指标有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。平均数、几何平均数、中位数和众数。3.3.常用的离散程度的测度指标有极差、平均差、标常用的离散程度的测度指标有极差、平均差、标准差、方差和离散系数等变异指标。准差、方差和离散系数等变异指标。 其中标准差其中标准差和方差是测度数据离散程度的最重要、最常用的和方差是测度数据离散程度的最重要、最常用

13、的指标。指标。 4.4.集中趋势的代表值集中趋势的代表值平均数，反映了数据的一平均数，反映了数据的一般水平或平均水平，其代表性的好坏取决于离散般水平或平均水平，其代表性的好坏取决于离散程度的大小：一组数据离散程度越大，其平均数程度的大小：一组数据离散程度越大，其平均数的代表性就越差；离散程度越小，其平均数的代的代表性就越差；离散程度越小，其平均数的代表性就越好。表性就越好。5.5.偏态和峰度是对数据分布形状特征的描述偏态和峰度是对数据分布形状特征的描述。v算术平均数算术平均数 v调和平均数调和平均数 v几何平均数几何平均数 v中位数中位数 v众数众数 v极差极差 v平均差平均差v标准差标准差

14、v方差方差 v离散系数离散系数 v偏态偏态 v峰度峰度一、简答题一、简答题1.1.什么是数据分布的集中趋势？有哪些测度指标？什么是数据分布的集中趋势？有哪些测度指标？ 2.2.集中趋势各种测度指标的计算方法如何？集中趋势各种测度指标的计算方法如何？3.3.试比较加权算术平均数与加权调和平均数的异同试比较加权算术平均数与加权调和平均数的异同。4.4.什么是数据分布的离散趋势？有哪些测度指标？什么是数据分布的离散趋势？有哪些测度指标？5.5.什么是标准差和标准差系数？二者在应用时的差什么是标准差和标准差系数？二者在应用时的差别是什么？别是什么？6.6.考察一个分布数列的特征时，为什么必须同时运考察

15、一个分布数列的特征时，为什么必须同时运用集中趋势指标和离散程度指标？用集中趋势指标和离散程度指标？7.7.测度一组数据偏态和峰度的指标是什么？如何应测度一组数据偏态和峰度的指标是什么？如何应用？用？二、计算题二、计算题v某车间工人日生产零件分组资料如下：某车间工人日生产零件分组资料如下：要求（要求（1 1）计算平均数、众数和中位数；）计算平均数、众数和中位数；（2 2）说明该数列的分布特征）说明该数列的分布特征2.2.某企业某企业20102010和和20112011年度生产某产品产量资料如下年度生产某产品产量资料如下要求（要求（1 1）计算平均等级指标，说明）计算平均等级指标，说明201120

16、11年相对年相对20102010年产品年产品质量的变化情况；质量的变化情况； （2 2）由于质量变化而给该企业带来的收益（或损失）由于质量变化而给该企业带来的收益（或损失）。 3 3已知甲、乙两个农贸市场某月份某农产品销售资料如下已知甲、乙两个农贸市场某月份某农产品销售资料如下： 试比较两个农贸市场平均价格的高低，并说明原因。试比较两个农贸市场平均价格的高低，并说明原因。4.4.将一笔钱存入银行，存期为将一笔钱存入银行，存期为1010年，按复利计息。年，按复利计息。1010年的利年的利率分别是：第一年和第二年为率分别是：第一年和第二年为0.050.05，第三年至第五年为，第三年至第五年为0.0

17、80.08，第六年至第八年，第六年至第八年0.10.1，第九年和第十年为，第九年和第十年为0.12.0.12.求平求平均年利率。均年利率。5.5.现有两个班组的工人日产量资料如下表：现有两个班组的工人日产量资料如下表：要求：（要求：（1 1）比较两个组的日产量差异，你会采用什么样的）比较两个组的日产量差异，你会采用什么样的指标测度？为什么？指标测度？为什么？ （2 2）比较分析哪一组的日产量差异大？）比较分析哪一组的日产量差异大？ 三、实验题三、实验题 1.1.某企业的日产量资料如下表某企业的日产量资料如下表 要求利用要求利用ExcelExcel： （1 1）计算平均数、众数、中位数、标准差、

18、偏态系数和峰）计算平均数、众数、中位数、标准差、偏态系数和峰度系数。度系数。 （2 2）对日产量的分布特征进行综合分析。）对日产量的分布特征进行综合分析。1.1.邵建平等邵建平等. .收入分配公平性偏态分布方法警戒标准研究收入分配公平性偏态分布方法警戒标准研究J.J.统计与决策，统计与决策，20112011（2121）2.2.黄发明等黄发明等. . 调和平均数在进口羊毛检验中的应用调和平均数在进口羊毛检验中的应用J.J.上海上海纺织科技，纺织科技，20092009（1010）3.3.马天建马天建. .重视标志变异指标对平均指标的支撑作用重视标志变异指标对平均指标的支撑作用J.J.兰兰州工业高等专科学校学报，州工业高等专科学校学报，20092009（0303）4.4.肖伟肖伟. .浅谈几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系浅谈几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系J.J.中国科技信息，中国科技信息，200720