第八章-曲线积分与曲面积分PPT课件

1、数学分析II第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 1 第一型曲线积分第一型曲线积分生物数学教研室生物数学教研室1. 概念的引入概念的引入问题问题:求不均匀物质曲线的质量求不均匀物质曲线的质量.AB) ), , ,( (iii 方法方法:分割分割,近似代替近似代替,求和求和,取极限取极限.分割分割:将曲线将曲线 分割成分割成 段段.第第 段长段长 为为 ,在第在第 段上任取一点段上任取一点 Lniis i).)., , ,( (iii 近似代替近似代替:iiiiism ) ), , ,( ( 求和求和: niiiiiniismm11) ), , ,( ( 取极限取极限:近似值近似值

2、 niiiiism10) ), , ,( (l li im m 精确值精确值2. 第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的定义设函数设函数 在分段光滑的曲线在分段光滑的曲线 上有定义上有定义.我们我们将将 任意分成任意分成 段段,第第 段的弧长记作段的弧长记作 .在第在第 段上任取一点段上任取一点 .令令 .若极限若极限) ), , ,( (zyxfLLni) ), , , ,( (nisi21 i) ), , ,( (iii maxmaxinis 1 niiiiisf10) ), , ,( (limlim 对于曲线对于曲线 的任意分割法及中间点的任意分割法及中间点 的任意的任意取法都存在取法都存

3、在,则称此极限为函数则称此极限为函数 沿曲线沿曲线 的的第一型曲线积分第一型曲线积分,也叫做也叫做对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作记作L) ), , ,( (iii ) ), , ,( (zyxfL. .) ), , ,( ( LdszyxfRemark :(1) 1 dsL:曲线曲线 的弧长的弧长.L(2) 在分段光滑曲线在分段光滑曲线 上连续上连续 在在 上可积上可积.) ), , ,( (zyxfL) ), , ,( (zyxfL(3) L表示积分路径是一条封闭的曲线表示积分路径是一条封闭的曲线.(4)xOy有有平面第一型曲线积分平面第一型曲线积分平面上且被积函数是平面上且被积函数

4、是当曲线当曲线 落到落到L) ), ,( (yxf时时,dsyxfL ) ), ,( (3. 第一型曲线积分的性质第一型曲线积分的性质(1) 线性线性: LdszyxgCzyxfC) ), , ,( () ), , ,( (21 LLdszyxgCdszyxfC) ), , ,( () ), , ,( (21(2) 可加性可加性: mLLLL, , , ,. .21 21LLLdszyxfdszyxfdszyxf) ), , ,( () ), , ,( () ), , ,( ( mLdszyxf) ), , ,( (3) 无方向性无方向性: ABBAdszyxfdszyxf) ), , ,(

5、() ), , ,( (4. 平面第一型曲线积分的计算平面第一型曲线积分的计算定理定理 1 设曲线设曲线 是由函数是由函数 所给出所给出, 其中其中 在在 上有连续的导数上有连续的导数.又假定函又假定函 数数 在在 上连续上连续.则我们有公式则我们有公式L) )( () )( (bxaxyy ) )( (xyy ba, ,) ), ,( (yxfL Lbadxxyxyxfdsyxf21) )( ()( (, ,( () ), ,( (例例 1计算下列平面第一型曲线积分计算下列平面第一型曲线积分 LdsyI2其中其中 是由是由 所决定所决定.L) )( (10 xeyx例例 2. .) ), ,

6、( () ), ,( (, ,: :, ,一段一段到到从从其中其中求求212142 xyLydsIL解解dyyyI22221) )( ( . .0 xy42 例例 3设设 的参数方程为的参数方程为L. .) ), ,( (, ,sinsin, ,coscos: : 00RRyRxL 求第一型曲线积分求第一型曲线积分. .) )( ( LdsyxI221解解: :由定理由定理 2 有有, 022221RdRRI) )sinsin( (coscos 0022523dRdRsinsincoscoscoscos5382RR , ,coscossinsin RddRRds 2222例例 4求曲线积分求曲

7、线积分, , Ldsxy2其中其中 是以是以L) ), ,( (),), ,( (),), ,( (110100BAO为顶点的三角形的边界为顶点的三角形的边界(如右图如右图).OyxAB解法解法: :(1). . BOABOAL(2)BOABOA, , ,的方程的方程.(3)BOABOA, , ,的弧微分的弧微分.(4), , , , BOABOAdsxydsxydsxy222写出写出求求作和作和.练习练习计算计算 其中其中 是正方形是正方形 的边界的边界. Lxyds, ,L) )( (0 aayx解解: :ABCD DACDBCLAB参方参方:. .: :; ;: :; ;: :; ;:

8、:xayDAxayCDaxyBCaxyAB 弧微弧微:. .: :; ;: :; ;: :; ;: :dxdsDAdxdsCDdxdsBCdxdsAB2222 原式原式= 011022dxaxxdxaxx) )( () )( ( 1001022. .) )( () )( (dxxaxdxxax5. 空间第一型曲线积分的计算空间第一型曲线积分的计算定理定理 3 设设 为一空间曲线为一空间曲线,其参数方程为其参数方程为L ) )( (),),( (),),( (),),( (: : ttzztyytxxL并假定并假定 及及 在在 上有连续的上有连续的导数导数.又假定又假定 在在 上连续上连续.则有

9、公式则有公式) )( (),),( (tytx) )( (tz , ,) ), , ,( (zyxfL Ldszyxf) ), , ,( ( dttztytxtztytxf) )( () )( () )( ()( (),),( (),),( ( (222定理定理 2 的推广的推广!例例 5设设 的参数方程为的参数方程为:L) )( (, , , ,: :102332 ttztytxL试求积分试求积分. .) )( ( LdszxI解解: :dtttdtttds4222291813231 ) )( () )( (则由定理则由定理 3 ,有有 104239181dtttttI) )( (23429

10、181541) )( (tt 01).).( (1756541 练习练习解解:. .22221kaka dkaka222 s si in nc co os s 20I计算计算 其中其中 LxyzdsI, , kzayaxLsinsincoscos: : 20 dkaads222 ) )coscos( () )sinsin( (, , dka22 本节小结本节小结1. 概念的引入概念的引入2. 第一型曲线积分的第一型曲线积分的定义定义3. 第一型曲线积分的性质第一型曲线积分的性质4. 平面第一型曲线积分的计算平面第一型曲线积分的计算: 定理定理 1 定理定理 25. 空间第一型曲线积分的计算空间

11、第一型曲线积分的计算: 定理定理 3数学分析II第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 2 . 第二型曲线积分第二型曲线积分生物数学教研室生物数学教研室1. 概念的引入概念的引入(平面平面)问题问题:变力沿曲线做功变力沿曲线做功.,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 方法方法:分割分割,近似代替近似代替,求和求和,取极限取极限.分割分割:BAAAAAnn , , , , ,110用用将将 分割成分割成 段段.第第 段的弧长为段的弧长为 .Lniis . .) )( () )( (jyixAAiiii 1常力沿直线做功常力沿直线做功:.ABFW AB1 iAiAiiii

12、iiyQxP ) ), ,( () ), ,( ( 近似代替近似代替:,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取iiiiiAAFW1 ) ), ,( ( 则则求和求和:. ),(),(1 niiiiiiiyQxP . ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值 niiWW1取极限取极限:AB) ), ,( (iiF 1 iAiA2. 第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的定义设设 是从点是从点 到到 的一条有向分段光滑曲线的一条有向分段光滑曲线,向量函数向量函数LABjyxQiyxPyxF),(),(),( 在在 上有定义上有定义.按按 的方向的方向LL顺

13、序用分点顺序用分点),), ,( (, ,),), ,( (),), ,( (111111000 nnnyxAyxAyxAAByxAnnn ) ), ,( (将将 分成分成 个有向小弧个有向小弧LniiAA1 ).)., , ,( (ni1 iiAA1 的弧长记作的弧长记作 并令并令, ,is . .maxmaxinis 1 在在iiAA1 上上任取一点任取一点).)., ,( (ii 若极限若极限 niiiiiiiiiniiiyQxPAAF10110 ) ), ,( () ), ,( ( limlim) ), ,( (limlim 存在存在,则称此极限为向量函数则称此极限为向量函数 沿曲线沿

14、曲线 从从 到到 的的第二型曲线积分第二型曲线积分,也叫做也叫做对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分,记作记作) ), ,( (yxFLAB ABQdyPdx或或 ABdryxF, ,) ), ,( (其中其中).)., ,( (dydxdr 3. 第二型曲线积分的性质第二型曲线积分的性质 drzyxF) ), , ,( (1) 线性线性,(2) 有方向性有方向性: 可加性可加性 ABBAdrMFdrMF) )( () )( (3) 推广推广: 可定义空间向量函数可定义空间向量函数), , ,( (),), , ,( (),), , ,( ( () ), , ,( (zyxRzyxQzyxPzyx

15、F 沿空间有向曲线沿空间有向曲线 的第二型曲线积分为的第二型曲线积分为 . .) ), , ,( () ), , ,( () ), , ,( ( dzzyxRdyzyxQdxzyxP或或4. 平面第二型曲线积分的计算平面第二型曲线积分的计算定理定理 1设曲线设曲线 的参数方程为的参数方程为L ttytx),),( (),),( (其中其中 , 有连续的一阶导数有连续的一阶导数.当当 单调地单调地) )( (t ) )( (t t由由 变到变到 时时,曲线曲线 上的点由上的点由 变到变到 .若函数若函数 LAB) ), ,( (),), ,( (yxQyxP在曲线在曲线 上连续上连续,则有公式则

16、有公式L ABdyyxQdxyxP) ), ,( () ), ,( ( dttttQtttP) )( ()( (),),( ( () )( ()( (),),( ( (Remark：(1) 右侧定积分的下限对应曲线的起点右侧定积分的下限对应曲线的起点,上限对应曲线上限对应曲线的终点的终点; 可能下限大于上限可能下限大于上限!) ), ,( (: :xyyL . . ) )( ()( (, ,( ()( (, ,( ( dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL (2), ,bxa 方向由方向由 到到 则则 a. .b(3), ,),),( (: :dycyxxL 方向由方向由 到到 . 则则c

17、d. .),),( ( () )( () ),),( ( ( dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 例例 1计算曲线积分计算曲线积分 Ldyyxdxyx, ,) )( () )( (2222其中积分路径其中积分路径 为为:L(1) 折线段折线段(2) 直线段直线段(3) 半圆弧半圆弧; ;OAB; ;OB. .OABxy1) ), ,( ( 11A) ), ,( ( 02BO解法解法: : 写出写出 的参数方程的参数方程. 判断积分上下限判断积分上下限. 利用定理利用定理 1 计算计算.L启示启示:第二型曲线积分不仅与起点第二型曲线积分不仅与起点 终点有关还与积分路径有关终点有关还与积分

18、路径有关!例例 2计算曲线积分计算曲线积分 Ldyxydxyx, ,) )( (233其中积分路径其中积分路径 为为:L(1) 折线折线(2) 折线折线(3) 以原点为圆心的单位圆周上的圆弧以原点为圆心的单位圆周上的圆弧 ,其中其中; ;AOB; ;ACBAB).)., ,( (),), ,( (),), ,( (110110 CBA上述三条路径均以上述三条路径均以 为起点为起点, 为终点为终点.ABOxy) ), ,( ( 10A) ), ,( ( 01B) ), ,( ( 11C解法同例解法同例 1 .1 .启示启示:有些第二型曲线积分仅与起点有些第二型曲线积分仅与起点 终点有关终点有关,

19、 而与积分路径无关而与积分路径无关!例例 3计算计算 CyxdyyxdxyxI, ,) )( () )( (22其中其中 为圆周为圆周C),),( (0222 aayx按逆时针方向按逆时针方向.解解:C的参数方程为的参数方程为. ., ,sinsin, ,coscos 20 ttaytax当当 由由 增至增至 时时, 按逆时针方向按逆时针方向,所以应取所以应取 为下限为下限, 为上限为上限,于是于是t0 2C0 2 202dtatatatatatataI) )coscos)()(sinsincoscos( () )sinsin)()(sinsincoscos( ( 220 dt5. 空间第二型

20、曲线积分的计算空间第二型曲线积分的计算-定理定理 1的推广的推广设空间曲线设空间曲线 的参数方程为的参数方程为L ttztytx) ), ,( () ), ,( () ), ,( (其中其中 , 有连续的一阶导数有连续的一阶导数. 若若) )( (t ) )( (),),( (tt ),), , ,( (zyxP) ), , ,( (),), , ,( (zyxRzyxQ在在 上连续上连续,则有计算公式则有计算公式LdzzyxRdyzyxQdxzyxPAB) ), , ,( () ), , ,( () ), , ,( ( ) )( ()( (),),( (),),( ( () )( ()( (

21、),),( (),),( ( (ttttQttttPdtttttR)( ()( (),),( (),),( ( ( 例例 4求空间第二型曲线积分求空间第二型曲线积分 LzxdzyzdyxydxI, ,其中其中 为椭圆周为椭圆周L , , ,1122zyxyx(方向如图方向如图)Oxyz t2 t0 t 23 t解法解法: : 写出写出 的参数方程的参数方程. 判断积分上下限判断积分上下限. 利用公式计算利用公式计算. L6. 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 LLdsQPQdyPdx) )coscoscoscos( ( 其中其中 为有向曲线为有向曲线 在在 点的切线的方向余弦点的切线的方向

22、余弦. ) )coscos, ,(cos(cos L) ), ,( (yx LLdsRQPRdzQdyPdx) )coscoscoscoscoscos( ( 其中其中 为有向曲线为有向曲线 在在) )coscos, ,coscos, ,(cos(cos L) ), , ,( (zyx点的切线的方向余弦点的切线的方向余弦.平面平面空间空间例例 5 试把第二型曲线积分试把第二型曲线积分 LdzzyxRdyzyxQdxzyxP) ), , ,( () ), , ,( () ), , ,( (化为第一型曲线积分化为第一型曲线积分,其中其中 . ., , , ,: :1032ttztytxL解解: :L

23、在在 点的切线方向是点的切线方向是 因此切线的因此切线的) ), , ,( (zyx),), , ,( (2321tt方向余弦是方向余弦是) ), , ,( (4224242941394129411tttttttt 故原式故原式 LdsRttQPtt. .) )( (242329411本节小结本节小结1. 概念的引入概念的引入2. 第二型曲线积分的第二型曲线积分的定义定义3. 第二型曲线积分的第二型曲线积分的性质性质: (1) (2) (3)4. 平面第二型曲线积分的平面第二型曲线积分的计算计算: 定理定理 1 5. 空间第二型曲线积分的空间第二型曲线积分的计算计算6. 两类曲线积分的两类曲线

24、积分的联系联系 数学分析II第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 3 . Green公式公式 平面第二型曲平面第二型曲 线积分与路径无关的条件线积分与路径无关的条件生物数学教研室生物数学教研室1. 准备知识准备知识(1) 简单闭曲线简单闭曲线(Jordan曲线曲线)定义定义: L 它是映射它是映射 的像的像. 在在 上连续上连续. 在在 上是一一映射上是一一映射. , , : : 2R , , ) ), ,( ( ).).( () )( ( 几何意义几何意义: 平面上一条平面上一条起点和终点重合起点和终点重合,其他处其他处 不自交不自交的曲线的曲线.结论结论: 一条简单闭曲线总是

25、将平面分做两个区域，一条简单闭曲线总是将平面分做两个区域， 其中一个是其中一个是有界的有界的，另一个是无界的，另一个是无界的. 其中有其中有 界的区域称曲线的界的区域称曲线的内部内部.(2) 平面区域的连通性平面区域的连通性定义定义: 若平面区域若平面区域 中的任意一条简单闭曲线的内部中的任意一条简单闭曲线的内部 都包含于都包含于 之中之中,则称则称 为为单连通区域单连通区域;否则称否则称 多连通区域多连通区域. DDDD2多连通区域多连通区域D1单连通区域单连通区域(3) 区域边界曲线的正向区域边界曲线的正向定义定义: 设区域设区域 D 的边界为的边界为 L, L 是由一条或几条简单闭曲是由

26、一条或几条简单闭曲线所组成线所组成. 边界曲线边界曲线 L 的的正向正向是指是指, 沿这个方向前沿这个方向前进时进时, 区域总是落在左侧区域总是落在左侧. 规定了正向的边界曲线规定了正向的边界曲线 L, 记作记作 . L正向正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总在他的左边总在他的左边.2. Green公式公式定理定理 1 设函数设函数 在有界闭区域在有界闭区域 上有连续上有连续的一阶偏导数的一阶偏导数, 的边界的边界 是逐段光滑的是逐段光滑的,则有则有:) ), ,( (),), ,( (yxQyxPDDL其中其中 为区域为区域 的正向边界的正向边界.D L DLdxd

27、yyPxQQdyPdx) )( (Green公式公式定理的证明定理的证明先证先证 LDdxdyyPPdx. .(从特殊到一般从特殊到一般)分三种情况分三种情况:情况情况区域区域 是由是由 型型曲线围成的曲线围成的.D x)(1xy )(2xy DabOxyABA B 情况情况 是单连通区域是单连通区域, 且可分为有限个小的且可分为有限个小的D由由 型曲线围成的区域型曲线围成的区域. xMNPABC1D2D3DOxy情况情况 是多连通区域是多连通区域.D1D2D3D4DOxy类似地类似地,可以证明可以证明 DLdxdyxQQdy. .将已证明的将已证明的 和和 的公式相加的公式相加, LPdx

28、LQdy即得到即得到Green公式公式.证毕证毕.记忆形式记忆形式: LDQdyPdxdxdyQPyx. Remark：(1) 格林公式将平面区域上的格林公式将平面区域上的二重积分二重积分和沿其边界和沿其边界 的的第二型曲线积分第二型曲线积分联系了起来联系了起来.(2) 格林公式提供了计算第二型曲线积分和二重积格林公式提供了计算第二型曲线积分和二重积 分的方法分的方法.(3) 格林公式是来源于物理中的流体力学问题，在格林公式是来源于物理中的流体力学问题，在 数学物理问题中有着广泛的应用数学物理问题中有着广泛的应用.例例 1求求 LxdyydxI2其中其中 为正方形为正方形 的边界的边界,LAB

29、CD).)., ,( (),), ,( (),), ,( (),), ,( (10011001 DCBAOABCDxy解解: :利用格林公式利用格林公式, DDdxdydxdyyPxQI1) )( ( 区域区域 的面积的面积D. .2 启示启示: 当当 时时,1 yPxQLQdyPdxL 所围面积所围面积.特别地特别地,D的面积的面积 Lydxxdy. .21(公式公式1)例例 2求椭圆求椭圆 的面积的面积 .12222 byaxD解解: :椭圆的边界方程为椭圆的边界方程为 . ., ,sinsin, ,coscos 20ttbytax由公式由公式1得得D的面积的面积 Lydxxdy. .21

30、 2021dttatbtbta) )sinsin( (sinsincoscoscoscos 2021. .ababdt例例 3(好题好题!)计算计算 其中其中 是以是以 为顶点为顶点的三角形闭区域的三角形闭区域. Dydxdye, ,2D) ), ,( (),), ,( (),), ,( (101100BAO好在好在: :两种方法两种方法. .1. 直接算直接算:用哪个公式用哪个公式?2. Green公式公式:怎么取怎么取P,Q? 例例 4(难题难题!)难点难点: :区域中有奇点区域中有奇点时怎么办时怎么办? ?求曲线积分求曲线积分 Lyxdyyxdxyx, ,) )( () )( (22其中

31、其中 为光滑的闭曲线为光滑的闭曲线. L解解: :. .) ), ,( (, ,) )( () ), ,( (2222yxyxyxQyxyxyxP QP, ,在原点处无定义在原点处无定义,要利用格林公式要利用格林公式,需分两种情况讨论需分两种情况讨论.(1) 当当 所围的区域所围的区域 不包含原点时不包含原点时.LD(2) 当当 所围的区域所围的区域 包含原点时包含原点时.LD(挖洞法挖洞法)例例 5(难题难题!)难点难点: :曲线不是封闭曲线不是封闭的的, ,怎么用怎么用Green?Green?计算计算dyyxxydxxyxyL ) )sinsin( () )coscos( (2223321

32、2其中其中 为抛物线为抛物线 从点从点 到到 的一段弧的一段弧.L22yx ) ), ,( ( 00) ), ,( (12 L21D2L1LOxy(封闭化封闭化)Remark：(1) 散度散度: yQxP 是平面向量场是平面向量场), ,( (),), ,( ( (yxQyxPv 的散度的散度.(2) 利用格林公式下面三个条件缺一不可利用格林公式下面三个条件缺一不可:闭闭正向正向1CQP , ,封闭化封闭化挖洞法挖洞法取负取负练习练习1. 计算计算 其中其中 是由是由 直线直线 上从上从 到到 的一段及圆弧的一段及圆弧 上从上从 到到 的一段连接而的一段连接而 成的定向曲线。成的定向曲线。 L

33、ydyyexdxyx, ,) )( () )( (322L22 yx) ), ,( ( 02A) ), ,( ( 10B21yx ) ), ,( ( 10B) ), ,( (01 C,22 LyxydxxdyI2. 计算计算 其中其中 为：为：L(1)椭圆椭圆 所围区域的正向边界；所围区域的正向边界；132222 yx) )( (2)圆圆 所围区域的正向边界。所围区域的正向边界。122 yx3. 第二型曲线积分与积分路径无关的条件第二型曲线积分与积分路径无关的条件即讨论当函数即讨论当函数 满足什么条件时满足什么条件时,第二型曲线积分第二型曲线积分) ), ,( (),), ,( (yxQyxP

34、 LQdyPdx的值的值仅与仅与起点和终点有关起点和终点有关,而与积分路径无关而与积分路径无关.与积分路径无关的与积分路径无关的充分必要条件 定理定理设设 是是单连通区域单连通区域, 函数函数 与与 在在 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,DPQD则下列四个条件则下列四个条件等价等价:(1) 在在 内任意取定两点内任意取定两点 ,积分积分 与路径无关与路径无关.BA, , ABQdyPdxD(2) 对对 内任意一条简单分段光滑闭曲线内任意一条简单分段光滑闭曲线 , 有有DC CQdyPdx. .0(3) 在区域在区域 内内DxQyP 处处成立处处成立.(4) QdyPdx 恰是某个函数恰是

35、某个函数 的的全微分全微分,即有即有) ), ,( (yxu. .) ), ,( (QdyPdxyxdu 最常用最常用!与积分路径无关的与积分路径无关的充分必要条件 定理定理设设 是是单连通区域单连通区域, 函数函数 与与 在在 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,DPQD则下列四个条件则下列四个条件等价等价:(1) 在在 内任意取定两点内任意取定两点 ,积分积分 与路径无关与路径无关.BA, , ABQdyPdxD(2) 对对 内任意一条简单分段光滑闭曲线内任意一条简单分段光滑闭曲线 , 有有DC CQdyPdx. .0结论结论(1) 结论结论(2)设设 是是单连通区域单连通区域, 函数函

36、数 与与 在在 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,DPQD则下列四个条件则下列四个条件等价等价:与积分路径无关的与积分路径无关的充分必要条件 定理定理结论结论(2) 结论结论(3)注意注意(2) 对对 内任意一条简单分段光滑闭曲线内任意一条简单分段光滑闭曲线 , 有有DC CQdyPdx. .0(3) 在区域在区域 内内DxQyP 处处成立处处成立.最常用最常用!设设 是是单连通区域单连通区域, 函数函数 与与 在在 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数,DPQD则下列四个条件则下列四个条件等价等价:(3) 在区域在区域 内内DxQyP 处处成立处处成立.(4) QdyPdx 恰是某个函数

37、恰是某个函数 的的全微分全微分,即有即有) ), ,( (yxu. .) ), ,( (QdyPdxyxdu 与积分路径无关的与积分路径无关的充分必要条件 定理定理结论结论(3) 结论结论(4)注意注意最常用最常用!亦可以证明亦可以证明:(2)(2)(4)(3)(1)例例 6证明证明: 曲线积分曲线积分 Ldyyyxdxxyx) )( () )( (42234564与路径无关与路径无关,并求并求. .) )( () )( () ), ,( () ), ,( (dyyyxdxxyx 031242234564例例 7求曲线积分求曲线积分, ,) )s si in n( () )( ( AOdyyy

38、xdxyx322其中其中 是上半圆周是上半圆周AO).).( () )( (202 xxxy解解: :这里这里. .sinsin, ,yyxQyxP322 因为因为, ,yPxQ 1又又它们在全平面上连续它们在全平面上连续,所以积分与路径无关所以积分与路径无关.一条便于计算的积分路径一条便于计算的积分路径.可取直线段可取直线段 :AOxy, ,0 AOdyyyxdxyx) )s si in n( () )( (322. .) )sinsin( () )( (38022322 dxxdyyyxdxyxAO则可换则可换从从2到到0.（逆时针）（逆时针）练习练习设设 且曲线积分且曲线积分) ), ,

39、( (),), ,( (1100AO OAdyyxxbydxxyyaxI) )sinsincoscos( () )sinsincoscos( (22与路径无关与路径无关,求求 的值的值,并求并求ba, ,. .I解法：解法：由由. ., ,2 bayPxQ选取路径选取路径. ., ,: :1001xyL 从从 到到. ., ,: :1012yxL 从从 到到. .coscos1221 LLI推论推论:设函数设函数 在单连通区域在单连通区域 内有连续的一阶内有连续的一阶) ), ,( (),), ,( (yxQyxPD偏导数偏导数.对任意两点对任意两点 ,曲线积分曲线积分 与与 DBA , ,

40、ABQdyPdx路径无关的充要条件是路径无关的充要条件是: 恰是某个函数恰是某个函数QdyPdx ) ), ,( (yxu此外此外, 当当 是是 的全微分时的全微分时,有有QdyPdx ) ), ,( (yxu BAABAuBuduQdyPdx),),( () )( (其中其中 表示函数表示函数 在在 点处的函数值点处的函数值.) )( (),),( (BuAu) ), ,( (yxuBA, ,我们把满足条件我们把满足条件dyyxQdxyxPdu) ), ,( () ), ,( ( 的的 称作称作 的的原函数原函数.uQdyPdx 的全微分的全微分.4. 求原函数的方法求原函数的方法设函数设函

41、数 在单连通区域在单连通区域 中有连续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足QP, ,DyPxQ 如何求如何求 的原函数的原函数?QdyPdx 方法一方法一: 取特殊点取特殊点 ,取特殊路径求曲线积分取特殊路径求曲线积分) ), ,( (00yx, ,) ), ,( () ), ,( ( yxyxQdyPdx00则则. .) ), ,( () ), ,( () ), ,( ( yxyxQdyPdxyxu00特殊点特殊点特殊路径特殊路径方法二方法二:由由 ,固定固定 求求 关于关于 的原函数的原函数,记记yPxu ) ), ,( (yxPx).)., ,( (yxu1则则).).( () ),

42、,( () ), ,( (yyxuyxu 1再由再由, ,Qyu 求得求得).).( (y 方法三方法三: 凑全微分凑全微分.一个积分一个积分一个偏导一个偏导例例 8验证验证:在整个在整个 平面内平面内, 是某个函数是某个函数 的全微分的全微分,并求出一个这样的函数并求出一个这样的函数.xOyydyxdxxy22 例例 9设设. .) ), ,( (, ,) ), ,( (42234564yyxyxQxyxyxP (1) 对平面上任意两点对平面上任意两点 ,证明证明BA, , ABQdyPdx与积分路径无关与积分路径无关;(2) 求求 的原函数的原函数QdyPdx ););, ,( (yxu(

43、3) 求曲线积分求曲线积分. .) ), ,( () ), ,( ( 0312QdyPdx本节小结本节小结1. 准备知识准备知识(Jordan曲线曲线,平面区域的连通性平面区域的连通性, 区域边界曲线的正向区域边界曲线的正向)2. Green公式公式.3. 第二型曲线积分与积分路径无关的第二型曲线积分与积分路径无关的条件条件.4. 求原函数的求原函数的方法方法.数学分析II第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 4 . 第一型曲面积分第一型曲面积分生物数学教研室生物数学教研室三元函数在三元函数在曲面上的积分曲面上的积分1. 概念的引入概念的引入问题问题:求不均匀求不均匀光滑光滑物质

44、曲面的质量物质曲面的质量.方法方法:分割分割,近似代替近似代替,求和求和,取极限取极限.分割分割:将曲面将曲面 分割成分割成 块块.第第 块面积块面积 为为 ,在第在第 块上任取一点块上任取一点 SniiS i) ), , ,( (iii 近似代替近似代替:iiiiiSm ) ), , ,( ( 求和求和: niiiiiniiSmm11) ), , ,( ( 取极限取极限:近似值近似值 niiiiiSm10) ), , ,( (l li im m 精确值精确值曲面光滑：曲面上各点处都有切曲面光滑：曲面上各点处都有切平面平面, ,且当点在曲面上连续移动且当点在曲面上连续移动时时, ,切平面也连续

45、移动切平面也连续移动. .2. 第一型曲面积分的定义第一型曲面积分的定义设函数设函数 在分片光滑的曲面在分片光滑的曲面 上有定义上有定义.我们把我们把 任意分成任意分成 个互不重叠的小片个互不重叠的小片 令令 的直径的直径 .在在 上任取一点上任取一点 若无若无论对曲面论对曲面 怎样的分割及中间点怎样的分割及中间点 怎样的选取怎样的选取,极极限限) ), , ,( (zyxfSniS ),), , , ,( (ni21 maxmaxiniS 1 SiS ),), , ,( (iii S) ), , ,( (iii iniiiiSf 10) ), , ,( (limlim 总存在总存在,则称此极

46、限值为函数则称此极限值为函数 在曲面在曲面 上的上的第一型曲面积分第一型曲面积分,记记) ), , ,( (zyxfS SdSzyxf) ), , ,( (2. 若函数若函数 在曲面在曲面 上连续上连续,则则 在在 上的第一型曲面积分存在上的第一型曲面积分存在.3. 第一型曲面积分的性质第一型曲面积分的性质1. 线性线性;可加性可加性;无方向性无方向性.) ), , ,( (zyxfS) ), , ,( (zyxfS4. 第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算关键关键: 设法将第一型曲面积分转化为二重积分设法将第一型曲面积分转化为二重积分!(1) 设曲面设曲面 由方程由方程 给出给出, 且函

47、数且函数 在区域在区域 上连续可微上连续可微,则有则有SDyxyxgz ) ), ,( (),), ,( () ), ,( (yxgD. .), ,( (, , ,( () ), , ,( ( dggyxgyxfdSzyxfSDyx 221);1);,(22DSdggdSyxgzyx :(2) 当曲面当曲面 由参数方程由参数方程S Dvuvuzzvuyyvuxx) ), ,( (),), ,( (),), ,( (),), ,( (给出时给出时,曲面的面积元素可表成曲面的面积元素可表成 其中其中, ,dudvFEGdS2 , ,222uuuzyxE , ,vuvuvuzzyyxxF , ,22

48、2vvvzyxG 则有计算公式则有计算公式 DdudvFEGvuzvuyvuxf. .), ,( (),), ,( (),), ,( ( (2 SdSzyxf) ), , ,( (例例 1计算计算 其中其中 为平面为平面 被柱面被柱面 SdSzyx, ,) )( (S5 zy2522 yx所截得的部分所截得的部分.解解: :,5:yzS 投影域投影域,25:22 yxDxydxdyzzdSyx221 , ,) )( (dxdydxdy210122 故故 SdSzyx) )( (dxdyxdxdyyyxxyxyDD ) )( () )( (5225 502052rdrrd) )coscos( (

49、 . . 2125 例例 2计算计算 其中其中 为抛物面为抛物面 SdSxyz, ,S).10(22 zyxzxyz解解: :对称性对称性:抛物面抛物面 关于关于S被积函数被积函数xyzyOzxOz, ,坐标面对称坐标面对称, 14SS( 为为 第一卦限部分曲面第一卦限部分曲面)1SS关于关于 是偶函数是偶函数,于是于是yx,投影域投影域, , , ,: :00122 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdyyx22221) )( () )( ( 故故 14SSdxdyxyzdSxyz xyDdxdyyxyxxy22222214) )( () )( () )( ( 102222041

50、rdrrrrd sinsincoscos 1025204122drrrd sinsindrrr 1025412(令令 )241ru duuu 5121641) )( (duuuu 512123252641) )( (42015125 例例 3(比书上例比书上例2好好!)计算计算 其中其中 为圆柱面为圆柱面 平面平面, , SxdSS, ,122 yx0 z及及 所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.2 xz解解: : 321SSSS其中其中. .: :, ,: :, ,: :12022321 yxSxzSzS投影域投影域. 1:22 yxDxy那么那么, 1, 0SDxyxdxdyxd

51、S(根据对称性根据对称性), 0011222 SDdxdyxxdSxyxoz将投影域选在将投影域选在 上上,xOz和和 两部分两部分,2321xyS : :3S分成分成2311xyS : :且两部分投影相同且两部分投影相同,均为均为dxdzxxxxdSxdSxdSxzDSSS22101232313 20 , 11),(: xzxzxDxz(法一法一)dzxxdxdxdzxxxzDx 1120221212. .) )( ( 112122dxxxx(令令 ) sin x因此因此,. . 00SxdS1.善用对称性善用对称性.2.写出写出 的参数方程的参数方程.3S关键关键:(法二法二)3S的参数方

52、程的参数方程:. 2cos0,20sincos zzzyx则则12 FEG于是于是 DdzdI cos 202cos0cos dzd. 例例 4计算计算 其中其中 为内接于球面为内接于球面, ,) )( ( SdSzyx222S2222azyx 的八面体的八面体 的表面的表面.azyx 18SS解解: :被积函数被积函数 关于坐标面关于坐标面,轴轴和原点均对称和原点均对称, 积分曲面积分曲面 也具有对称性也具有对称性.故原积分故原积分 . (其中其中 为为 第一卦限部分第一卦限部分)222zyxzyxf ) ), , ,( (S1SSazyxS : :1即即 , ,yxaz 投影域投影域. .

53、, , ,: :00 yxayxDdxdydxdydS3111 对称对称! 12222228SSdSzyxdSzyx) )( () )( ( dxdyyxayxD38222 ) )( (dxdyxyayaxayxD ) )( (2222238222 xaadyxyayaxayxdx02220)22222(38. .432a 关于对称性的问题关于对称性的问题 若积分曲面若积分曲面 关于关于 平面对称平面对称,则则 就要是就要是 的奇函数或者偶函数的奇函数或者偶函数. 若是奇函数若是奇函数,则则 若是偶函数若是偶函数,则则SxOy),(zyxfz SfdS. 0 SSfdSfdS1.2本节小结本节

54、小结1. 概念的引入概念的引入2. 第一型曲面积分的第一型曲面积分的定义定义3. 第一型曲面积分的性质第一型曲面积分的性质4. 第一型曲面积分的第一型曲面积分的计算计算数学分析II第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 5 . 第二型曲面积分第二型曲面积分生物数学教研室生物数学教研室1 . 基本概念基本概念n1.双侧曲面双侧曲面典典型型双双侧侧曲曲面面传说中的麦比乌斯带传说中的麦比乌斯带2.单侧曲面单侧曲面典典型型单单侧侧曲曲面面观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧对于封闭曲面对于封闭

55、曲面，法线指向外称，法线指向外称曲面的外侧，曲面的外侧，法线指向内时称法线指向内时称曲面的内侧；曲面的内侧；非封闭曲面的非封闭曲面的“侧侧”设曲面设曲面 由方程由方程 给出给出, 其中其中SDyxyxfz ) ), ,( (),), ,( () ), ,( (yxf是区域是区域 上有一阶连续偏导数的函数上有一阶连续偏导数的函数.它在它在D每一点每一点 都有两个法向量都有两个法向量:Szyx ) ), , ,( () ), , ,( (1 yxff及及).)., , ,( (1yxff 通常称通常称 的一侧为的一侧为) ), , ,( (1yxffn 曲面的上侧曲面的上侧. 另一侧为曲面的另一侧

56、为曲面的下侧下侧.偏导数偏导数. 是曲面上一点是曲面上一点,过点过点 任作一条曲面上任作一条曲面上而向量而向量 正是正是 在在 点的切线方向点的切线方向,因此因此对对 求导求导,则在则在 点有点有设其方程是设其方程是. 0),( zyxF),(zyxF),(0000zyxM0M),(),(),(tzztyytxx 0)(),(),( tztytxFt0M0)( )()( )()( )(000000 tzFtyFtxFMzMyMx)( ),( ),( (000tztytx0M)( ,)( ,)(000MzMyMxFFFn若曲面方程为若曲面方程为 设设 对各变量有连续对各变量有连续l是是 点的法向

57、量点的法向量.0M则有则有的曲线的曲线 ,l1 . 本节中所讨论的曲面均是双侧曲面，本节中所讨论的曲面均是双侧曲面，并指定了曲面的侧向并指定了曲面的侧向. 2 . 对有向曲面而言，对有向曲面而言，相对于相对于 平面，有上下侧之分；平面，有上下侧之分；相对于相对于 平面，有左右侧之分；平面，有左右侧之分；相对于相对于 平面，有前后侧之分；平面，有前后侧之分；对封闭曲面，有内外侧之分对封闭曲面，有内外侧之分.Remark：xOyxOzyOz2. 概念的引入概念的引入问题问题:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.(1)流速为常向量流速为常向量 ,有向平面区域有向平面区域 , 求单位时间内水流求单位

58、时间内水流 沿一侧的流量沿一侧的流量.(假定密度为假定密度为1)vSSvn SnvSvSm cos流量流量2. 概念的引入概念的引入问题问题:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.(2)假设河道上每一点的水流速度假设河道上每一点的水流速度与时间无关与时间无关,只与点的位置有关只与点的位置有关.设点设点 处水流速度向量为处水流速度向量为假定在河道中有一双侧曲面假定在河道中有一双侧曲面 , 在在 上选定上选定一侧一侧.求单位时间内水流沿一侧的流量求单位时间内水流沿一侧的流量.) ), , ,( (zyx), , ,( (),), , ,( (),), , ,( ( (zyxRzyxQzyxPv S

59、S) )( (iMn) )( (iMviMiS S方法方法:分割分割,近似代替近似代替,求和求和,取极限取极限.分割分割 :将曲面将曲面 分割成分割成 块块.第第 块面积为块面积为 ,在第在第 块块 上任取一点上任取一点 则单位时间内穿越则单位时间内穿越 的的,沿单位法向量沿单位法向量 方向的水流量为方向的水流量为 SniiS i),), , ,( (iiiiM iS ) )( (iMn近似代替近似代替:) )( (),),( (coscos) )( (iiiiiMnMvSMvm . .) )( () )( (iiiSMnMv 求和求和:. .) )( () )( (iiiniSMnMvm 1

60、取极限取极限:. .) )( () )( (limlimiiiniSMnMvm 10 ) )( (iMn) )( (iMviMiS S3. 第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义设设 是一个分片光滑的双侧曲面是一个分片光滑的双侧曲面,在在 上选定了一侧上选定了一侧,记选定一侧的单位法向量为记选定一侧的单位法向量为 .假设在假设在 上给定了上给定了一个向量函数一个向量函数 我们将我们将 分割成分割成 个不相重个不相重叠的小曲面片叠的小曲面片 在在 上任取一点上任取一点 考虑和式考虑和式SS) )( (PnS).)., , ,( (zyxFSniS ),), , , ,( (ni21 iS ),