第六章连续系统的傅立叶分析

1、第六章连续系统的傅立叶分析 本章与拉氏变换的关系：本章与拉氏变换的关系： 是拉氏变换的一个特例,专门研究系统的频域特性 Recall：对于稳定(临界)系统,由如下关系:nknnjsKsFjF1)()()( 本章面向的系统是严格稳定系统:()( )sjHjH sCh4 傅立叶变换在系统分析中的应用Application: 滤波、调制、抽样滤波、调制、抽样 系统的频率响应系统的频率响应 H(jH(j )frequency response)frequency response 无失真传输无失真传输 理想低通滤波器理想低通滤波器 调制与解调调制与解调 零阶保持抽样零阶保持抽样 多路复用多路复用Con

2、tents：1 频率响应 Frequency response H(jw)For LTI system : f(t), h(t), y(t) )(*)()(thtfty)()()(jHjFjY)()()()(thFTjFjYjHDef1:LT中的定义：正弦激励下的稳态响应. . LCCDE:Def 2: 对稳定系统对稳定系统llmllkknkkdttfdbdttyda)()(00mlllknkkjFjbjYja00)()()()(knkkmllljajbjFjYjH)()()()()(00)()()()(11jHjFFTjYFTty解方程：解方程：2 无失真传输 在实际应用中对失真问题的研究有

3、两类：在实际应用中对失真问题的研究有两类：(1)信号传输失真尽可能小信号传输失真尽可能小(2)有意识地产生失真（预失真波形的产生）有意识地产生失真（预失真波形的产生） 信号传输过程中引起失真的原因：信号传输过程中引起失真的原因： (1)非线性失真（产生新的频率）非线性失真（产生新的频率） (2)线性失真（不产生新的频率成分）线性失真（不产生新的频率成分） 幅度失真幅度失真 相位失真相位失真无失真传输的定义 1. 信号不失真传输含义：信号不失真传输含义： 系统的零状态响应与激励的波形相比，系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度大小和出现时刻的不同。不存在只有幅度大小和出现时刻的不同。不存在形

4、式上的变化。形式上的变化。LTIH(j )r(t)r(t)r(t)t t0 00 0e(t)e(t)e(t)0 0)()(,0ttKetr时域上2. 不失真传输系统的频响不失真传输系统的频响H(jw)：)()(,0ttKetr时域上 两边取傅立叶变换两边取傅立叶变换e(t)-E(jw), r(t)- R(jw)0)()(tjejKEjR 又：若时域中系统冲激响应为又：若时域中系统冲激响应为h(t)(*)()(thtetr)()()(jHjEjR)(|)(|)(0jtjejHKejH不失真传输不失真传输系统的频响系统的频响H(jw)：0)(|)(|tKjH特点：幅频响应为常数，特点：幅频响应为常

5、数， 相频响应为过原点的直线。相频响应为过原点的直线。3. 产生失真的原因：产生失真的原因：a.信号幅度不能等幅放大或衰减信号幅度不能等幅放大或衰减幅度失真幅度失真b.信号的相移不能按比例变化信号的相移不能按比例变化相位失真相位失真c.幅度失真和相位失真同时存在幅度失真和相位失真同时存在同时失真同时失真)(jH)(j0t 利用失真：波形形成 模拟滤波器analog filter理想低通的冲激响应、阶跃响应理想低通的冲激响应、阶跃响应物理可实现滤波器的条件物理可实现滤波器的条件 佩利维纳准则佩利维纳准则 希尔伯特变换希尔伯特变换理想低通滤波器理想低通滤波器: 巴特沃兹逼近滤波巴特沃兹逼近滤波 (

6、1) (1)概述概述从接收的信号中，消除或较弱噪声从接收的信号中，消除或较弱噪声获得或保留有用的信号获得或保留有用的信号 滤波的背景，目的 滤波的原理经典滤波器经典滤波器： 具有选频特性的电路。具有选频特性的电路。 （信号的频带和噪声的频带是可分的。）（信号的频带和噪声的频带是可分的。）统计滤波器：统计滤波器：从统计的角度出发，对所要提取的有用从统计的角度出发，对所要提取的有用信号从时域进行估计，使得在统计指标最优的意义下信号从时域进行估计，使得在统计指标最优的意义下: 估计值最逼进有用信号，估计值最逼进有用信号， 噪声也在统计指标最优的意义下得到消除。噪声也在统计指标最优的意义下得到消除。

7、（随机信号处理（随机信号处理: 维纳滤波，卡尔曼滤波）维纳滤波，卡尔曼滤波）按频带分：按频带分：按元件分：按元件分：按信号性质分：按信号性质分： 滤波的分类（经典滤波器）低通低通LPF ，高通高通HPF ，带通带通BPF ，带阻带阻BSF ，全通全通APF无源滤波器，有源滤波器无源滤波器，有源滤波器模拟滤波器，数字滤波器模拟滤波器，数字滤波器Low Pass FilterHigh Pass FilterBand Pass FilterBand Stop FilterAll Pass Filter(2)理想低通滤波器及其冲激响应低通c截至频率,c高通c带通1c2c带阻1c2c理想低通滤波器oth

8、ereejHjHctjjj0)()(0)(1)(jHcccc0)(tj理想低通滤波器的冲激响应)()(tte)()(trth)(2121)()(0)(100ttSadedeejHFTthccttjtjtjcc理想滤波器是非因果的0)(,0thtotherejHctj0)(00t2c主瓣宽度c )(tht0理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系: cc)(th0tct0)(t0t)(0tt 不失真传输反比 1cc)(th0t0t系统为全通网络，可以无失真传输。 理想带通滤波器的冲激响应0c0c00c0c0)cos()(2)(00tttSathcc(4） 物理可实现系统系统物理可实现要求：系统物理可

9、实现要求：（1） 时域时域因果系统因果系统（2）频域）频域 a. 佩利维纳准则：佩利维纳准则： 幅频响应不能在一个频带内为零幅频响应不能在一个频带内为零 b. 希尔伯特变换（希尔伯特变换（HilbertHilbert） 因果系统频响的实部和虚部之间相互因果系统频响的实部和虚部之间相互限制限制 0)(, 0tht佩利维纳准则djH21)(lndjH2)(0)(jH限制了衰减速度若因果系统的幅频响应平方可积若因果系统的幅频响应平方可积 则存在则存在佩利维纳准则表明：佩利维纳准则表明：1. 幅频响应不能在一个频带内为零幅频响应不能在一个频带内为零2. 幅频响应是指数阶的幅频响应是指数阶的 希尔伯特变

10、换（希尔伯特变换（HilbertHilbert） 因果系统因果系统物理可实现系统物理可实现系统 因果系统频响的实部和虚部之间相因果系统频响的实部和虚部之间相互限制互限制因果系统的频谱实部和虚部关系)()()(0tuththt)()()(jjXjRjHdRXjdXjRjjjXjRjjHtuFTthFTthFT)(212)()(212)()1)(*)()(21)1)(*)(21)(*)(21)()(jR)(jXdRjXdXjR)(1)()(1)(Hilbert Transform因果系统的实部被已知的虚部唯一地确定因果系统的实部被已知的虚部唯一地确定（5） 可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近切比雪夫

11、逼近110110.( )( )( ).mmmmnnnna sasaA sH sB sb sbsb滤波器特性取决于系数滤波器特性取决于系数 a , b取决于分母多项式的阶次取决于分母多项式的阶次 nn 与元器件的数目有关与元器件的数目有关滤波器设计的主要参数 Low Pass Analogical Filter(LPF)(p)(sps通带最大衰减阻带最小衰减通带截止频率阻带下限频率222)(1lg10)()(lg10)(jHjYjX)(p)(sps0) 1 (ppor01、巴特沃兹逼近(Butterworth)(Butterworth)npjH211)(0)(707.021)(1max)0(0j

12、HjHjHpp 通带内最平坦滤波器通带内最平坦滤波器707. 00通带通带截至频率截至频率11p3222211)(211)(11)(jjjHjjHjjH62422211|)(|11|)(|11|)(|jHjHjH1()xt1()yt()xt1()yt122( )x t1( )y t43321205010015020025030000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Butterworth filterFrequency (w)H(jw)n=1n=4n=8n=122、切比雪夫逼近切比雪夫逼近(Chebyshev)(Chebyshev)（简要介绍）（简要介绍）通带等起伏（等纹波）特性滤波器通带等起伏（等纹波）特性滤波器 02211)(nTjH纹波系数) 1()() 1()(coscos()(11xxnchchxxnxTnn=4n=511211010p707. 0011p)(jHL707. 0011p)(jHH707. 0)()(0)()(1)()(1100HLHLHLHLHLHLjHjHjHjHjHjH高通与低通的对应关系高通与低通的对应关系)(jF)(jY低通高通)(jHcHcL)(jF)(jY低通高通)(jHcHcLcHcL0)(jH)(acLcH0)(jH)(b带通（带通（BPF） 带阻（带阻（BSF）0200400