【初三下册数学】九年级春季班第20讲：几何证明及通过几何证明进行说理问题-教师版

1、九年级下学期春季班最新讲义1/10几何证明及通过几何证明进行说理问题内容分析17 / 10较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关 证明和说理，解题中一般是先根据图形间的几何关系， 利用全等、相似等性质进 行相关的说理和计算.例题解析y轴交于点 A,且过点B (3, 6).【例1】 如图，二次函数y ax2 4ax 2的图像与(1)试求二次函数的解析式及点 A的坐标;(2)若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C, 试求 CAB的正切值;(3)若在x轴上有一点P ,使得点B关于直线AP的对称点B在y轴上,试求点P的坐标.【解析】(1)将点B (3, 6)代入解析式y a

2、x2 4ax 2 ,4可得：6 9a 12a 2,解得：a -,34 2 16 一次函数解析式为 y x -6x 2 ,点A的坐标为(0, 2);334(2)由题意，知： C (1, 6), BC 2 , AB 5, tan CBA -.3过点C作CH AB于点H , 86198 CH - , BH - , AH , tan CAB ；55519(3)由题意，AB AB1 5,则 B1 的坐标为(0, 3)或(0, 7).设 P(x,0),2222若点B(0, 3),由PBPB1 ,有(x 3)6 x 3 ,解得：x 6,即 P(6,0); 若点 B (0,7),由 PB PB ,有(x 3)

3、2 62 x2 72 ,解得：x 必，即 P( 2 ,0); 33综上可知，点P的坐标为(6,0)或(2,0).3【总结】本题主要考察二次函数的综合，相对比较基础，注意相关性质的运用.【例2】 已知半圆O的直径AB 6 ,点C在半圆O上，且tan ABC 2&，点D为Ac上一点，联结DC .(1)求BC的长;(2)若射线DC交射线AB于点M ,且 MBC与 MOC相似，求CD的长;(3)联结OD ,当ODBC时，作DOB的平分线交线段 DC于点N ,求ON的长.图3G,作 GHOB 于 H.【解析】(1)如图1中，连接AC,. AB 是直径，ACB = 90 ,. tan/ABC =2j2,，

4、可以假设 AC = 2J2k, BC = k,. AB = 6, ABON OD 33:3 . = AC2+ BC2, . 36 = 8k2+ k2,.k2 = 4,k 0, k = 2, BC = 2；(2)如图2中，MBC 与 MOC 相似， ./ MBC =/MCO ,. /MBC +/OBC = 180, / MCO +/OCD =180。，OBC =/OCD,. OB = OC = OD,/ OBC = / OCB = / OCDOBC OCD在 OBC 和 OCD 中， OCB ODC , OB OCOB OCD , . BC = CD = 2；(3)如图3中，延长ON交BC的延长

5、线于/BC / OD, DOG =/OGB =/GOB,/.BO = BG = 3, .tan/HBG =GH 2 近 HB 设 GH = 2&a , HB = a,- BG2= GH2+ HB2, 8a2+ a2= 9, , a = 1 , - a 0,a = 1, HB = 1, GH =2拒，OH = 2, OG = JOH2 HG2 2点，. GC / DO,.ON = 3 2 34GN CG 1【总结】本题在圆的背景下，考查相似三角形的性质与判定及锐角三角比的综合运用.【例3】 如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y ax2 bx c与x轴交于A 1 ,0、B 4,0两点，与y轴

6、交于点C 0,2(1)求抛物线的表达式;(2)求证：CAO BCO ;(3)若点P是抛物线上的一点，且 PCBACB1)由题意知16a4b解得:2522BCO ,求直线 CP的表达式.抛物线的表达式为(2)OB4, OAOCOBOACO2,COABOC 90COAsBOC , CAOBCO/PCB +/ACB =/BCO,又/OCA +/ACB =/BCO, / PCB =/OCA,COAs BOC , CBO OCA, . Z PCB =/CBO,若点P在x轴上方，PCB =/CBO,CP / x 轴,直线CP的表达式是y 2 ;若点P在x轴下方，设CP交x轴于点D (m, 0),. /PC

7、B=/CBO,CD=BD,9_ 923_3 m 24 m , m - , /. D - , 0 .22 直线CP的表达式为y 4x2.3综上所述，直线CP的表达式为y 2或y 4x 2.3【总结】本题以二次函数为背景，考查待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质的 运用，第(3)问中，注意对直线的准确理解.【例4】已知二次函数yx2 bx c的图像经过点P (0,1)与 Q (2,3).(1)求此二次函数的解析式;(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.求正方形的A

8、BCD的面积;联结PA、PD, PD交AB于点E,求证： PADs pea.【解析】(1)由题意得:1 c34 2b所以二次函数解析式是:设A a , a2由四边形ABCD为正方形,解得：a 1 72 (舍负)得:2a.正方形 ABCD的面积为:22a12设AB交y轴于点H.DOPOa - d PHJ2 1 ,1AH2a.2 1a.DOPOPHAH. / DOP=Z AHP,DOPs AHP .DPO HAP ,又. / DPO = Z PDA,PDA HAP .又 DPA APE,PADs PEA.【总结】本题以二次函数为背景,考查二次函数与正方形的结合，考查的知识点较多，包含了待定系数法求

9、函数解析式，正方形面积的求法以及相似三角形的判定.【例5】已知在平面直角坐标系 xOy中,抛物线ylx2 bx4在点B右侧)，与y轴交于点C (0,3),且OA = 2OC.(1)求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标;求tan/ MAC的值;如果点D在这条抛物线的对称轴上，且/CAD = 45c与x轴交于点A、B (点A,求点D的坐标.【解析】(1)C(0, -3), OC = 3. 1.- OA = 2OC, .OA = 6.0,点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C (0,3),A(6 ,0)，代入可得：y lx24x 3, y12(x 2)2 4 , M (2 , 4).4(2)过点M作MH，

10、x轴于点H ,交AC于点N,过点N作NELAM于点E.在 Rt AHM 中，HM AHAMH求得直线AC的表达式为：y3. .N (2,-2), MN 2 .在 Rt MNE 中， ME NE在 Rt AEN 中，.tan MAC,NEAE(3) 当D点在AC上方时,CAD1D1 AHHACAE45tan又 HAM CAMHAC45D1AHCAM . tan DiAHtan丁点D1在抛物线的对称轴直线 x 2上，在 Rt AHD1 中,D1HAH tan D1AH当D点在AC卜方时,D2 ACD2AMMACCAMAD2M .HAM 45 .D1H13AMHD2AMtanAD2Mtan MACA

11、D2M 451一.3MAC在RtD2AH 中,AHtan AD2 H综上所述:4 D1(2,-),D2(2, 12).随堂检测【习题1】如图，已知线段 AB = 8,以A为圆心，5为半径作。A,点C在O A上，过点C作CD / AB交。A于点D （点D在点C右侧），联结BC、AD.（1）若CD = 6,求四边形ABCD的面积;（2）设CD = x, BC = y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;（3）设BC的中点为M, AD的中点为N,线段MN交OA于点E,联结CE,当CD取何值时，CE / AD.【解析】（1）作AHXCD,垂足为点H （如图1）DACD = 6, CHDH1 -

12、c-CD 3 .AD= 5,21一S梯形ABCD2 (CDAB)AH 28 ；（2）作CPXAB,垂足为点 P （如图2）.;在e A中,AH LCD, CD= x , CH12x，AP CHBP在Rt AHD中,AH2AD2DH 22522. CP2 AH251-x 4DAH=4.AAP图2H在Rt BPC中,BC2cp2即y2(25y89一8x 0x 10（3）设AH交MN于点F,联结AE （如图3）. BC的中点为1. CE / AD, M, AD 的中点为 N,MN / CD .DC = NE = x.MN / CD,-NF-DHx- DH2x3xNFEF 442)1一 x4在 Rt

13、AEF 和 Rt AFN 中，(-2)2 (-4)2,解得：x22222_2 / 3x. 2（舍负）- AF =AE EF AN NF ,5 -()4即当CD长为5叵时，CE / AD.2【总结】本题考查了二次函数与圆的综合，包含了垂径定理和勾股定理的综合运用.【习题2】(1)当如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y = ax2+x的对称轴为直线x = 2,顶点为A.求抛物线的表达式及顶点 A的坐标;点p为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP.OAXOP时，求OP的长;过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B,联结 OB,当/ OAP=/OBP时，求点 B的坐标.【解析】（1） :抛物线y2a

14、x x的对称轴为直线y1-12 , . a2a4. AE = 1, OE = 2, PE = 4. OP= .22图142抛物线的表达式为：ylx2 x.4过点B作AP的垂线，垂足为 F (如图2).1 e设点 B ( a, a2 a ),贝U BF a 2 , EF4在直角三角形AOE和直角三角形POB中, cot OAEOE cot OBPOPOAEOBP ,OEBFPPEO,BPFBPFsPOE ,.BFPEPOE,BP PFPO OEBP 1OP 2八1. OE=2, PF=1, PE -a4a 21, 解得:1 2.2-a a 1410-22（不合题意，舍去）.点B的坐标是（10,

15、15）.【总结】本题主要考查了二次函数和锐角三角比的综合运用，解题时注添加适当的辅助线, 构造直角三角形.【作业1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax 6x c的图像经过点A (4, 0)、B ( 1 , 0),与y轴交于点C,点D在线段OC上，OD = t,点E1在第一象限，ADE 90 , tan DAE - , EFXOD,垂足为 F.2(1)求这个二次函数的解析式；(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示)；(3)当/ ECA =/OAC 时，求 t 的值.【解析】(1) ,.二次函数y ax2 6x c的图像经过点A (4, 0)、B (一/曰16a 24 c 0 初

16、/曰，可得：，解得:a 6 c 0二次函数的解析式为：y 2x2 6x 8；(2)二点D在线段OC上，点E在第二象限，/ ADE = 90 , EF OD ,EDF ADODAO ADO 90 , EDF Rt DFE s Rt AOD ,EF DF DEDO AO ADtan DAE DEADEF DFDO AOEF1 八 DO, DF2OD=t , EF A (4, 0), OA 4 .(3)由(1)得，点C的坐标为(0, 8).延长CE交x轴于点G (如图)，设点 G 的坐标为(x, 0) . ECA OAC , CG AG .y木Jx2 827(x 4)2 ,解得：x 6 , . GO

17、 6 .由已知，可得点F在线段OD上，又 OF t 2 , FC OC OF 10 t.工. EF / GO, .变 更 2 10GO CO 68 解得：t 6,即当/ ECA = / OAC时t的值为6.【作业2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数(1)1 , 0) , C (0,3),顶点为 D.求这个二次函数的解析式及顶点坐标;2y ax bx c的图像经过点 A (3, 0),在y轴上找一点P (点P与点C不重合)，使得/ APD = 90 ,求点P的坐标;在(2)的条件下，将 APD沿直线AD翻折，得到AQD ,求点Q的坐标.【解析】(1)二二次函数y2 axbx c的图像经过点A(3,0), B(-1, 0), C(0, 3),9a3b c 0b c 0 ,解得:3二次函数的解析式为:2x 3,顶点D的坐标为(1, 4);(2)设点P的坐标为(0 , y). / APD = 90 AP2 PD2- A(3, 0),21 (y 4)24 16.解得：y1点P与点1 , y2C不