【人教版高中数学A版选择性必修三】第七章7.5

1、温馨提示:此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。7. 5正态分布新版课程标准学业水平要求1 .通过误差模型，了解服11.了解正态分布与标准正态分布的概念.(数学抽象)从正态分布的随机变量.| 2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.(数学抽I通过具体实例、借助频率I象、直观想象)I分布直方图的几何直观，| 3.会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积了解正态分布的特征.问题.(逻辑推理、数学运算)I2 .了解正态分布的均值、| 4.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态分布 标准差、方差及其含义.I知识解决实际问

2、题.(数学建模、数学运算)I*必备知识-素养奠基1 .正态分布正态密度函数,刻画随机误差的函数f(x)二错误!未找到引用源。，xR,其中 U R,。0为参数.对任意的xR,f(x)0,它的图象在x轴的上方,x轴和曲线之间的区域为面积1, 我们称f(x)为正态密度函数.(2)正态密度曲线:正态密度函数的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.正态分布:定义:若随机变量X的概率密度函数为f (x),则称随机变量X服 从正态分布；记作:XN(u,。2)；特例：当u =0,。=1时,称随机变量X服从标准正态分布.1 匹)A 11 I B O X M a?思考若XN(u,。)怎样表示上图中阴影A,B的面积？提

3、示：阴影A的面积P(XWx);阴影B的面积P(aWXWb).2 .正态曲线的特点曲线是单峰的，它关于直线x=R对称；曲线在x=u处达到峰值错误!未找到引用源。；(3)当错误!未找到引用源。无限增大时，曲线无限接近于x轴.?思考U,。取值不同对正态曲线有何影响？提示：当参数。取固定值时，正态曲线的位置由|1确定，且随着口的变化而沿x轴 平移；当u取定值时，当。较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量x的分布比较 集中，当。较大时,峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量x分布比较分散.3 . XN(U,。二)在区间uk。，u+k。上的概率(1)概率:P(H -。WXW 口 +。)0.682 7,P(

4、 口2。WXW 口+2。)氏0.954 5,P ( U -3 a WXW U +3。)=0. 997 3(2)3。原则:通常认为服从正态分布N(h,。与的随机变量X只取U -3 o , 口+3。中的值.令素养小测1 .思维辨析(对的打“ J ”，错的打“ X ”)(1)正态曲线是一条钟形曲线.()(2)正态曲线在x轴的上方,并且关于直线x=。对称.()中错误!未找到引用源。=0. 841 3.()提示：(1) V.由正态分布曲线的形状可知该说法正确.X.正态曲线关于直线x二口对称.X.错误！未找到引用源。二P错误!未找到引用源。=0. 5+0. 341 3+0. 135 9=0. 977 2.

5、2 .设 XN (10, 0. 64),则 D (X)等于()A. 0. 8 B. 0. 64C. 0. 642D. 6. 4【解析】选B.因为XN(10, 0. 64),所以D(X)=0. 64.3 .已知正态总体落在区间(0. 2, +8)上的概率是0. 5,那么相应的正态曲线f(x) 在x=时,达到最高点.【解析】由正态曲线关于直线x二口对称和在区间(0. 2, +8)上的概率为0. 5,得 U =0. 2.答案：0.2关键能力-素养形成类型一 利用正态曲线求而积或概率典例】设随机变量XN (2, 9),若P (Xc+l)=P (Xc+1) =P(XcT),故有 2-(c-1)- (c+

6、1)-2,所以 c=2.根据正态曲线的对称性，所求面积为区间错误!未找到引用源。对应的面积的2倍，即约为0. 682 7.(3) P (-4WXW8) =P (2-2 X 3 WXW2+2 X 3)=P ( u -2 o WXW u +2 o) 0. 954 5.【内化悟】利用正态曲线求概率需要弄清哪些问题？提示：(1)口，。的取值；(2)画出正态曲线.【类题通】利用正态分布求概率的两个方法1 .对称法：由于正态曲线是关于直线x二U对称的,且概率的和为1,故关于直线x二口对称的区间上概率相等.如： P(Xa) = bP(X2a) ; (2) P (X U+a).2 . “3。”法:利用X落在区

7、间u-o , U + O , u -2 O , U +2 O , y -3 O , u+3。内的概率分别是 0. 682 7,0. 954 5, 0. 997 3 求解.【习练破】1.正态曲线与x轴在区间错误!未找到引用源。内所围的面积为()A. 0.5B. 0. 341 3C. 0. 158 65D. 0. 021 5【解析】选C.根据正态曲线的对称性，所求区间的面积约为错误!未找到引用源。=0. 158 65.2.己知随机变量 XN(2,。?)，若P(Xa)=0.32,则P(aWXW4-a)=.【解析】由正态分布图像的对称性可得：P (aWXW4-a) =1-2P (X 110+20) =

8、P (X u + a), 所以 P(XW u - o)+P(u - o WXW u + o)+P(X2 u + o) =0. 682 7+2P(X2 |i + o)=1,所以 P(X2 u + o)=0.158 65,即 P(X2130)=0. 158 65.所以54X0.158 6579(人)，即130分以上的人数约为9人.角度2实际应用问题【典例】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为000 g,。2=1,为了检验设备运行是否正常,质量检验员需要随机地抽取产品,测量其 质量.当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1 007 g时，他立即要求停止 生产,检查设备.他的决定是否

9、有道理呢？【思维引】求出概率，通过概率值说明原因.【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(u,。根据3。原则可 知，产品质量在H-3o=l 000-3=997 g和U +3 o =1 000+3=1 003 g之间的概率 为0.997 3,而质量超出这个范围的概率只有0. 003,这是一个几乎不可能出现的 事件.但是检脸员随机抽取的产品为1 007 g,这说明设备的运行有可能不正常， 因此检验员的决定是有道理的.【类题通】解答正态分布的实际应用题的关注点(1)方法:转化法，把普通的区间转化为3。区间，由特殊区间的概率值求出.(2)理论基础:正态曲线的对称性;曲线与x轴之间的面积为l；

10、(3)p(n-o WXW u + o),p(u-2。WXW ki+2o ),P( u-30 WXW u+3。)的概 率值.【习练破】1.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的 病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误 差服从正态分布N(0. 1, 0. 31，从己经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量 体温误差在区间(0. 4, 0. 7内的概率为()(附:若随机变量&服从正态分布N(u,+ =0. 682 7,P(u-2。W g W 口+2。)=0. 954 5)A. 0. 317 4 B. 0. 271 8 C. 0. 135 9

11、 D. 0. 045 6【解析】选C.由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0. 1,0.32),得 n=0. 1, a=0. 3.所以测量体温误差在区间(0. 4, 0. 7内的概率为：P(0.44 W0.7)=+ W u+2。)二错误！未41Hl用源。P(u-2o W t W U+2 a)-P(U-o W ； W u +。)=0. 135 9.2.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤,所需时间X(单 位：分)近似服从正态分布XN(50, 10)，求他在(30, 60分内赶到火车站的概率.【解析】因为XN(50, IO?),所以u=50, o=10.所以 P (30

12、XW60) =P (30XW50) +P (50X60)二错误!未找到引用源。P(u-2o0）和N（ n 2,错误!未找到引用源。）（。20）的概率密度函数图像如图所示，则有（）A. H 1 U 2,。2B. U 1。2C. H 1 U 2,。2D. U 1 U 2,。1。2【解析】选A.根据正态分布的性质：对称轴方程x=li,。表示正态曲线的形状.由题图可得选项A正确.2 .已知随机变量&服从正态分布N（3,。?），则P（&3）等于（）A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。【解析】选D.因为&N（3,。）所以=3为正态分布的对称轴，所以P（&3）= 错误!未找到引用源。.3 .若随机变量g服从正态分布N（0,1）,已知P（g -1.9）=0.028,则P（U1.9） = （）A. 0. 028 B. 0. 056 C. 0. 944 D. 0. 972【解析】选D.由随机变量自服从正态分布N（0,1）,可得P（&7.9）二错误!未找到引用源。，P（41.9）二错误!未找到引用源。，又错误!未找到