奥数中的巧数图形讲义及习习题

1、数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。 例1 下面两根线段中各有多少条线段 解 （1）由一条基本线段构成的线段有： AB、BC、CD、DE，共4条； 由两条基本线段构成的线段有：AC、BD、CE，共3条；由三条基本线段构成的线段有：AD、BE，共2条； 由四条基本线段构成的线段只有AE1条。 因此共有线段：4+3+2+1 =（4+1）×4÷2 =10（条） （2）可以采用（1）同样的解法： 由一条基本线段组成的线

2、段有6条， 由两条基本线段组成的线段有5条， 由三条基本线段组成的线段有4条， 由四条基本线段组成的线段有3条， 由五条基本线段组成的线段有2条， 由六条基本线段组成的线段有1条， 共有线段：6+5+4+3+2+1 =（6+1）×6÷2 =21（条） 答 （1）中有10条线段。（2）中有21条线段。这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。找

3、到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。例2 在AOB（图62）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个解 这问题类似于例1， 10×9÷2=45（个） 答 图中有45个角。解3 数一数，图63一共有几个长方形分析 可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），解3×39（个）答 图中共有9个长方形。这一类型的问题在后面还要专门讨论。例4 如图64。（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个 （2）现在共

4、有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个 分析 根据图示可以得到规律，底层与总数有“24，39， 416”的关系。而 224，33=9，44 16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得： （1）下层有11个小三角形，共有 11×11= 121（个） （2）因为13 ×13 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。 练     习 1线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段 2下图中共有多少个三角形 3把长2厘米、宽1 厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。 （1）如果

5、叠5层，周长是（ ）厘米。 （2）如果周长是120厘米，共有（ ）层。 知识要点：数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目，可由单个图形数起，再数两个图形合成的图形，依此规律一个一个往下数。 例1 数一数图中共有几条线段                       D      

6、60;  A B            C这样想：数之前，先将每条线段写上字母，写好后，先数AB这条线段上有4条小线段，再数两条合并成的有3条，再数三条合并成的有2条，最后数四条合并成的有1条，4+3+2+1=10条。同样CD这条线段上也有10条，和起来一共有20条。例2 数一数图中共有几个小长方体              &

7、#160;这样想：从上面先数，第一排有2个小长方体，再数第二排有4个小长方体，最后数第三排有6个小长方体，所以2+4+6=12，有12个小长方体。例3 数一数图中共有几个三角形            这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形共10个。再数两个图形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共8个三角形。所以10+8=18，共18个三角形。例4 数一数图中共有几个三角形        &

8、#160;    这样想：先数单个三角形共4个。再数两个三角形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共2个三角形。最后数由3个小三角形组成的大三角形，有1个。所以4+2+1=7，共7个三角形。例5 数一数图中共有几个三角形            这样想：先数每个角上三角形共5个，再数由两个不靠着的角和中间五边形合成的三角形，按顺序数共3个三角形，所以5+3=8，共8个三角形。知识要点：同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起

9、来就更方便，不会重复，也不会遗漏。例1 数一数图中共有几个三角形          这样想： 数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、4、3号，共3个。再数两个图形合成的三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。最后数由1+2+3+4号组成的大三角形，有1个。所以3+4+1=8，共8个三角形。例2 数一数图中有西红柿的正方形有几个          

10、60;   这样想：先数单个正方形，有西红柿的正方形有1个。再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4个。最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个。所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6个。例3 数一数图中共有几个正方形               这样想：先数单个正方形1、2、3、4、5、6号，共6个。再数四个正方形合成的大正方形，1+2+4+5号，2+3+5+6号，按顺序四个四个合并，共2个正方形。

11、所以6+2=8，共8个正方形。例4 数一数图中共有几个正方形               这样想： 先数小正方形，共4个。再数稍大的正方形，共5个。最后数大正方形，有1个。4+5+1=10，所以图中共有10个正方形。例5 数一数图中共有几个圆形             这样想：先数小圆，共5个。再数大圆有1个。图中共有6个圆。题目1：数一数图中共有几个三角形图1            ·题目2：数一数图中共有几个三角形图1            ·题目3：数一数图中共有几个三角形图1