2018-2019学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1313 页2018-2019 学年上海市徐汇区位育中学高二上学期开学考试数学试题、单选题1 1.已知向量a =( -3,4)，则下列能使ei1e2(、:=R)成立的一组向量e,e2 2是()A.A.e =(0,0),2=(-1,2)B.B.G = (-1,3),2= (2, -6)T TC.C.e =(1,2) 0=(3,1)1D.e十打怡=(1,-2)2【答案】【详解】试题分析：对于 A A:由于与a =(-3,4)不是平行向量，所以一定不成立;由(-3(-3；4)4)二 2(-2(-卩)+ +“(2-6(2-61 1 二(-Z(-Z + + 2 2 翊-6 6“) )得到-

2、 解，所以不成立;对于 C C：由 ( ( 4)4) I I - - -得到2所以成立;*电 对于D2器；話共线，又与a十3,4)不是共线向量，故不成立 故选 C C.【考点】向量的相等.【解析】对于 B B :2 2 .把函数f x二cos 2x -1 8的图像经过变化可得到函数这个变化是( )JIJIA.A.向左平移个单位B.B.向右平移，1616C.C.向左平移3二个单位3D.D.向右平移1616g x二sin2x的图像,(个单位个单位第2 2页共 1313 页【答案】B B【解析】 先利用诱导公式将函数g x =sin2x转化为余弦型的函数，再根据图像变换 的知识判断出正确选项 【详解

3、】【点睛】 本小题主要考查三角函数图像变换，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法, 属于基础题. .3 3 .设Sn是无穷等差数列 牯的前n项和（n e N*）,则存在”是 该数列公差 d d = = 0 0 的（）A.A.充分非必要条件B.B.必要非充分条件C.C.充要条件D.D.既非充分也非必要条件【答案】A A【解析】若Sn是无穷等差数列an的前n项和（n壬N*）,若存在”，则必有Sn- 0恒成立，即- 0, d - 0，充分性成立，若 d d = = 0 0，则是常数数列，例如an= 2时，Nm Sn不存在”，即必要性不成立，所以“im&存在”是该数列公差d =0的充分非

4、必要条件，故选 A.A.4 4 .已知等比数列”二的前n项和为Sn,则下列判断一定正确是（）【解析】利用排除法:依题意g x =sin 2x =cos上，故162x吟向右平移个单位得到163n=cos 2xA A .若S30，则a20180C C .若a2- a1，则a2019 a2018【答案】D DB B.若S3：0，则a20180D D .若丄a21，贝y a2019aa12018，由故选：B.B.2第 3 3 页共 I3I3 页考查等比数列：._nai=i,a2 = -2,a3=4, 11 | , an二-2,满足S30，但是a2018: 0，选项 A A 错误;满足S3：0，但是a2

5、0i8- 0，选项 B B 错误;该数列满足a2 - ai，但是a20i9 : 0：a20i8，选项 C C 错误;本题选择 D D 选项 二、填空题n 2n lim2n4n i【答案】先将 二2丄 分离常数，然后按照极限的求法，计算出所求的极限4n +i【详解】本小题主要考查极限的计算，考查化归与转化的数学思想方法,26 6函数f(x) = x(xI)的反函数是 _. .【答案】f 4 X；= 一峥X X一I【解析】 根据反函数的求法，求得原函数的反函数的解析式并求出定义域【详解】令y=x2x-T,y-I，解得x = - y y一i,交换x, y的位置得科二 -、*x一I,所以函数f x =

6、 x2x-T的反函数是fJ x =-、.x x-i. .故填：L x = rX x-i. .【点睛】n_3考查等比数列:aia a2=2 ,a3，川，an二-15 5 计算:【解析】依题意,2 4n i=limn :丄丄n 2n24丄n2 2故填:2【点睛】属于基础题第4 4页共 1313 页本小题主要考查反函数的求法，属于基础题. .*彳447 7 已知a=(3k,3卜b =(6,k7卜若 a a 丄 b b，则实数k的值为_，【答案】丄5【解析】 根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k的值 【详解】由于a_b，所以-6 3k 3 k -7 =0,解得k =-.5故填：5【点睛】本小

7、题主要考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题8 8已知向量e= 1,2，则与向量e平行的单位向量为 _ . .，或eo -a【解析】 与向量a平行的单位向量为士希,a【详解】，或eo -【点睛】本小题主要考查与向量平行的单位向量的求法，属于基础题mZ的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，则m的值为【答案】-1,1,3【解析】 首先根据幕函数f x图像与坐标轴没有公共点列不等式，结合函数f x关于y轴对称，求得m的取值范围 【详解】2由于幕函数f X二xmmZ的图像与坐标轴没有公共点，所以由此求得与向量e平行的单位向量 依题意可知与向量e平行的单位向量为耳亠 A(452亦, 5 529 9

8、幕函数f X =Xm2第5 5页共 1313 页m2_2m_3乞0= -1空m3= m11,0,1,2,3?，又因为函数为偶函数，故分别代第6 6页共 1313 页入检验可知：m -一1,1,3满足;故填：-1,1,3【点睛】本小题主要考查幕函数的图像与性质，考查幕函数的奇偶性，属于基础题1010.已知函数 f f x x =log=log2X-mX-m 的图像不经过第四象限，则实数m的取值范围是【答案】m _ -1【解析】 根据函数 f f x x =log=log2x-mx-m 的图像不经过第四象限得到f 0 _0，解不等式 求得m的取值范围. .【详解】由于函数 f f x x TogT

9、og?x x -m-m 的图像不经过第四象限，所以f 0 _0，即log2-m _ 0 = Iog2l，所以m _ 1,m _ -1. .故填：m _【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题1111.设lim -1 =a，则实数r的取值范围是 _. .y 13-r丿【答案】r 2【解析】根据指数幕有极限的条件列不等式，解不等式求得r的取值范围【详解】由于lim1-丨=a，即极限存在，故-兰1，即一1兰-兰1,厂.3-r|3 -r3-r解得r乞2.故填：r乞2. .【点睛】本小题主要考查指数幕有极限的条件，考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解第 6 6

10、 页共3 3 页法，属于中档题r1212.已知a =(1,-2), b =(1,k)，若a与b的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是【答案】( 、k -2 U -2,1 2丿【解析】 根据两个向量的夹角为锐角，结合向量数量积的坐标运算列不等式组，解不等式组求得k的取值范围 【详解】IIIIII设a与b的夹角为“由于向量a与b的夹角为锐角，故co 0，且向量a与b不同-2kIcos9 =- ,向，即日式0.所以 bn)值范围是_ ; ;【答案】-5,-3】.【解析】试题分析：数列Cn是取an和bn中的最大值，据题意C5是数列G的最小项，第9 9页共 1313 页5第1010页共 1313 页由于函

11、数y=25是减函数，函数y=nk是增函数，所以da5b6或a5乞b5a4,即525 J 6 k或25J5 k乞25，解得一5岂k乞一4或一4岂k岂一3，所以-5 k-3.【考点】 分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题.三、解答题T 斗 T 呻1耳1717.在QAB中，设A =aOB=bM、N分别是A、OB上的点，且OMXa，【答案】OP-a -b55【解析】 过点M作MH /OB，利用平行线分线段成比例，以及向量加法和减法的线性运算，用向量a、b表示出OP. .【详解】过点M作MH /OB，如下图:ON，设AN与BM相交于点P，试用向量ab表示OP. .5第1111页共 1313 页OP

12、 =0N N-OB - N-OB - NB B-OB - NB OA OB252525第1212页共 1313 页则O?5【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题 1818 .已知函数f x = 2cos2x 、.3sin2x1,(1)求函数f x的单调递增区间；(2)求满足f x =1且I-二，二I的x的集合. .二二2二【答案】xk二，k二,k Z;x-二，,0,，二IL 3633【解析】(1 1)利用降次公式、辅助角公式化简函数f x的解析式，根据三角函数单调递增区间的求法，求得函数的单调递增区间n(2)根据

13、x的取值范围，求得2x6的取值范围，进而求解出f八1的解集【详解】(1)y = cos2x 、.3sin2x=2sin 2x ，则单调递增区间为:I 6丿nn nI nir2k 9玄2x _ 2k： =xk二，k二,kZ;262- 3n |11 n(2)由于X，I-二，二丨，所以2x,6 6r所以x-二【点睛】本小题主要考查利用降次公式、辅助角公式进行化简,法，考查三角方程的求法，属于中档题 13n. .因为f x=1，所以f f丄兀sin I 2x I 61n2由2xn2x6n11n7n n5n13n考查三角函数单调递增区间的求第1313页共 1313 页佃.已知数列Sn f的前n项和为Sn

14、，且Sn= n - 5an- 85n N. .(1(1)设数列*n满足bn =an T n，N*，证明：数列是等比数列;第1414页共 1313 页(2(2)求n为多少时，Sn取得最小值?【答案】(1)(1)见解析；(2)(2)n =14【解析】S, n = 1(1 1)利用an,求得6an=5an1，利用配凑法得到JSn_ Sn,n2(2(2)利用(1 1)求得数列的通项公式，进而求得的通项公式，根据数列1an /的单调性和正负号，确定出当n =14时，Sn取得最小值【详解】(1)当n =1时，ai= 15ai85, ai= -14，当n _ 2时,Sn_Snd n-5an：；：n _1 5

15、an=an一6an二5an_11，5所以bn _an -1_6anJ66anJ _1=5，故数列Ibn?是首项为_65b =6 -1 =一15，公比为一的等比数列;6单调递增数列，由an乞o，即1 _15 5nJ-0,16丿时，不等式成立 所以当n =14时，Sn取得最小值. .【点睛】 本小题主要考查已知Sn求an，考查配凑法求数列通项公式,属于基础题. .2020 .已知函数f x i；= 2X a 2二aR. .(1(1)讨论函数f X的奇偶性;(2 2)设函数g X = 3 2X4,若关于X的不等式f x g x有实数解，求实数a的 取值范围. .【答案】(1 1)详见解析；(2 2)

16、a 0. .bn _an-1bn 1an 1_ 1-，由此证得数列是等比数列6an 4-1an J一15由1)知bn，所以an十15 5n6，由于数列an?是1_ ，经验证可知，当n 1415考查等比数列的通项公式,1第1515页共 1313 页和1”恥2三种情况，-2-2 列不等式组,由此求得q的取值范围【解析】(1 1 )对a分成a =1,a - -1,a三二1三种情况，禾U用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. .(2 2)将不等式f x .g x分离常数，利用二次函数的性质求得a的取值范围. .【详解】(1 1)分类讨论：1当 a=1a=1 时，f x = 2x-2，f -x =2公，2 2

17、x x= =f x，所以f x为偶函数；2当a=1时，f xi；= 2x_2；f x=2-2x=-f x，所以f x为奇函数;xxxx3当a =二1,f x = 2 a 2，f -x = 2 a 2，由于a =二1，故f -X =_f x，所以f x为非奇非偶函数；(2 2)依题意，由fx ，g x得，20- .3 2 4，即a , 224 22min2对于函数y =2t 4t t 0，根据二次函数的性质可知y，所以a 0. .【点睛】本小题主要考查判断函数的奇偶性，考查不等式成立问题的求解策略，属于基础题. .2121 设数列曲的前n项和为Sn，若乞也乞2 n N*，则称订是 紧密数列”2a

18、n(1)若数列 玄匚的前n项和为Snn23n nN*，判断laj是否是 紧密数4列”，并说明理由；(2)设数列：an是公比为q的等比数列，若数列n与 g 都是紧密数列”，求q的(1(1)利用 a an二Sn一1，求得数列 - Sn 4,n乏22行一2，由此证得堤紧密数列”.(2)先根据aj是 紧密数列”，求得q的一个取值范围 对于S.对q分成q=1、【答案】(1)(1)：an是 紧密数列”理由见解析 【解析】的通项公式，再证得第1616页共 1313 页1(3【详解】(1(1)由数列 iaian的前 n n 项和Sn=丄n243n nN，得S,n=11,n飞Sn,n_2= In 2,n _2所以，苑an1彳12 2_1 1n -2=1 ，1因为对任意0 :n 112131