高数第9章习题课ppt课件

1、时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(令特别特别, 当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 则在点),(zyx,yyfF 1zF,xxfF )( ),(000 xxyxfx曲面故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz切平面方程切平面方程练练习习：求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. ,用表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则向上,法向量法向量)

2、 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff分别记为那么,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为

3、是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)例例6. 确定正数确定正数 使曲面使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM2a相切.与球面解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有0

4、00zyx333a, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情况.,),(),

5、(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )(

6、 ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.1. 设 f ( u ) 可微,思考与练习思考与练习 2. 证明曲面证明曲面0),(ynzy

7、mxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n那么(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒(n(l,0nl平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向

8、导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念二、典型例题二、典型例题例例1 1 求下列函数的极限求下列函数的极限. .)ln(lim)1(22)0, 1(),(yxexyyx .11lim)2()0, 0(),( xyxyyx.1cos)(lim)3(2222)0,0(),(yxyxyx .sinlim)4()0, 0(),(yxyyx.)11(lim)5(2),(),(yxxayxx 例例2 2.lim233)0,0(),(不不存存在在证证明明极极限限yxyxyx .)5( , 0)4( , 0)3( , 2)2( , 2ln)1(e答答案案：. 1;0:

9、32极极限限为为极极限限为为答答案案xxyxy 例例3. 知知求出 的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 一样., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxf

10、yx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 例例4. 证明证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx例例5 5解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,22212

11、3115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx ., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试试求求且且所所确确定定由由方方程程组组设设函函数数 例例6 6解：解：的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxd

12、z 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入例例7 7.,.23253dtdutyxtyxyxyxu所确定，求所确定，求方程方程与与是由方程是由方程而而设函数设函数 ).15(2)23(321532223 txxtyyyxxdtdu答答案案：解解?,),(0000222222模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的具具有有什什么么关关系系时时的的方方向向导导数数，问问的的向向径径处处沿沿点点在在点点求求cbarzyxMczbyaxu 例例8 8 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos

13、,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方

14、方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba上求一点 , 使该点处的法线垂直于例例9.9.在曲面在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .平面提示提示: 设所求点为设所求点为, ),(000zyx则法线方程为000zzyyxx0y0 x1利用113100 xy得3,1,3000zyx000yxz 法线垂直于平面点在曲面上解解: 设设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020 xxax则切平面的法向量为,220ax,2

15、20by202czM),(zyxFFFn 1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 例例10.10.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点 .2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaa

16、xcbabbycbaccz唯一驻点之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例1111解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最最小小即即且且使使满满足足，使使得得本本题题变变为为求求一一点点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxF