高等数学基本概念ppt课件

1、微分方程 第七章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容：第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程第四节 一阶线性方程第五节 可降阶的高阶微分方程第六节 高阶线性微分方程及其解的结构第七节 二阶常系数齐次线性微分方程第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程一阶高阶微分方程的基本概念 第一节引例引例 第七章 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:x

2、xy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .引例引例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶, 获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能

3、停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .制动时常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶.分类或,00ts 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数. .通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程,)(00yxy 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n 阶方程的初始条件(或初值条件

4、):的阶数相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解 不含任意常数的解, 初始条件初始条件 其图形称为积分曲线.,)(00yxy)1(00)1()(,nnyxy初值问题初值问题目录 上页 下页 返回 结束 312( )C xAC yC e12( )xByCeC12( )0CC xC y123()lnDyCxC xC ( , ,)0f x y y 下列函数只有( )可能是方程 的通解。A例例1. 验证函数验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: : 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyOx解解: 如下图如下图,