高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限ppt课件

1、Chap01 函数、极限与连续函数、极限与连续 不介绍、不需要掌握的内容不介绍、不需要掌握的内容:P17 双曲函数双曲函数_双曲正弦双曲正弦,双曲余弦双曲余弦,双曲正切双曲正切; P19 反双曲函数反双曲函数_.;P55 柯西柯西Cauchy收敛准则收敛准则;P72 一致连续性一致连续性.Chap01 函数、极限与连续函数、极限与连续 重点内容重点内容:极限定义极限定义,极限运算法则极限运算法则,极限存在准则极限存在准则,两个重要极限两个重要极限, 等价无穷小量等价无穷小量;2. 函数的连续性函数的连续性,连续函数的运算连续函数的运算,闭区间上连闭区间上连续函数的性质续函数的性质.难点难点:极

2、限存在准则极限存在准则,等价无穷小量的使用等价无穷小量的使用;函数的间断点函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用闭区间上连续函数性质的应用. 今日讲课内容今日讲课内容: 数列极限定义数列极限定义 函数极限定义函数极限定义长假后讲课内容长假后讲课内容: 极限运算法则极限运算法则 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 概念的引入概念的引入二二. . 数列极限的概数列极限的概念念三三. . 数列极限的性数列极限的性质质数列的极限数列的极限1. 如何用渐近的方法求圆的面积如何用渐近的方法求圆的面积A？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A.A1 A2

3、A3 A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积,A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积,A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积,An表示圆内接正表示圆内接正62n-1边形面积边形面积, , 显然显然n越大越大, An越接近于越接近于A. 因而因而, 需要考虑当需要考虑当n时时, An的变化趋势的变化趋势. 一、概念的引入一、概念的引入刘徽割圆术：刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体不可割，则与圆周合体而无所失矣而无所失矣” 刘徽刘徽1213 23 2sinnnnAR 刘刘徽徽 | |牟牟合合方方盖盖

4、4VV:球球牟牟2. 2. 曲边三角形的面积问题：曲边三角形的面积问题：与割圆问题与割圆问题 同样的是同样的是 曲边曲边 三角形的三角形的 面积面积 A 如如何计算？何计算？11o oxy2yx我们通常的做法是我们通常的做法是:将区间将区间0,1 n 等份等份,用小用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.niniinnnnn nnnnninnnnn nnnnn222231322223131112(1)(1)(21)111(1)(2)66112(1)(21)111(1)(2)66 不足近不足近似似(橘橘色部分色部分)过剩近过剩近似似(橘色橘色 加蓝色加蓝

5、色 部分部分)可以看到，随着可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似的不断增大，不足近似不断增加，过剩近似不断减少，越来越接不断增加，过剩近似不断减少，越来越接近于所要求的曲边三角形面积近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。的真值。1111(1)(2),631111(1)(2).63nnAnnAnn 3. 3. 截杖问题：截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1定义定义:按

6、自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n数数列列注意：注意： 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn

7、 2, 22, 222 , 问问题题当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn1( 1),11.nnnxn 例例如如，当当无无限限增增大大时时无无限限接接近近于于问题问题: “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 二二. 数列极限的定义数列极限的定义nnnnnxnxnxnNx22233344410 ,10,1

8、10 ,10 ,10,110 ,10 ,10,110 ,10,1. 给给定定只只要要时时 有有给给定定只只要要时时 有有给给定定只只要要时时 有有给给定定只只要要 时时有有成成立立定义定义 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数 a是数是数列列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于 a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的

9、就说数列是发散的.x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数列收敛的表述数列收敛的表述用逻辑符号用逻辑符号: lim0,0,.,.nnnxaNnforNxaone of allexisryteve Greek alphabet : Eepsil n 1( 1)111110,1,nnnnxnnxnn

10、 ，任任给给要要只只要要或或例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证所以所以,1111( 1),1( 1)111( 1)1,lim1.1nnnnnNnNnnnnnNn 取取则则当当时时 就就有有即即用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定关键是对任意给定 的的 寻找寻找N., 0 例例2. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明nnnnnqqqxqnqnqNq0,limlim00;01,0,0,lnlnln ,lnln.ln 分分析析 若若则则若若任任给给要要使使得得则则 可可取取qnnnnnnNnqnnqqqqqNqnNqqqqqqlnloglnlim0,1.

11、0,limlim00;ln01,0,ln,0lim0. 证证明明 其其中中证证 若若则则若若任任给给取取则则当当时时 有有例例3.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证nnnnnnnnnmmnnxaNnNxaxaxaxaxaaxaxaam0,lim,lim.,.,lim 任任给给使使得得当当时时 恒恒有有 故故同同理理 对对于于给给定定的的Z Z注意：注意：1.,;2.,;nnxaxaNnNn 不不等等式式取取值值的的任任意意性性刻刻划划了了与与 的的无无限限接接近近与与任任意意给给定定的的正正数数 有有关关 而而刻刻划划了了 的的无无限限增增大大3. 改变或去掉数

12、列的有限项改变或去掉数列的有限项, 不影响数不影响数列的收敛性和极限列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛重排不改变数列敛散性散性. * * 数列发散的表述数列发散的表述用逻辑符号用逻辑符号: : nnnnnnxxaNnNxaxNnNxaa00000000(1)lim0,;(2),0,. 数数列列发发散散有有数数列列发发散散有有Z ZZ Znnnnxxa114( 1).( 1) 例例 证证明明数数列列是是发发散散的的数数列列不不以以任任何何实实数数 为为极极限限三三. 数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然

13、数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必

14、要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 收敛的数列极限唯一。收敛的数列极限唯一。 112212lim,lim,0,;,;max,()()2.nnnnnnnnnnxaxbNnNxaNnNxbNNNnN abxbxaxbxaab 证证 设设又又由由定定义义有有有有取取上上式式仅仅当当时时才才能能成成立立 定理定理2 2 收敛的数列极限唯一。收敛的数列极限唯一。证证 法二法二,lim,limbxaxnnnn 又又设设 112212,0,2lim0,2lim0,2max,22,nnnnnnnnnnabababxaNnNxaabxaxbNnNxbabxba

15、babnNNNxxab 0 000000 000000 0假假设设不不妨妨设设则则可可取取对对于于对对矛矛盾盾！ 于于则则当当时时 应应有有同同时时成成立立. .3#.子数列的收敛性子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx ,.kkknnnnkkxxkxxnnk 在在子子数数列列中中 一一般般项项是是第第项项而而在在原原数数列列中中却却是是第第项项 显

16、显然然注意：注意：例如，例如，定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。相同。证明从略。证明从略。其实这个结论就是其实这个结论就是 从一般到特殊的必然。从一般到特殊的必然。例例4.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证 nx的的不不同同的的子子列列极极限限值值不不相相等等. .小结小结数列数列: :研究其取值规律，变化趋势。研究其取值规律，变化趋势。数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性. .2

17、222222222225.lim1.1,.()0,nnannanannnaaannnnanaN 例例 求求证证分分析析只只要要证证明明 任任给给我我们们可可取取则则22222222222220.0,1,()lim1.naaNnanannNnnaaanannannan 证证明明 不不妨妨设设取取则则当当时时即即nnanannnanaannN222211lim1.,. 求求证证分分析析 只只要要的的取取值值显显然然只只要要二二合合适适够够用用即即可可法法nnnnQaan1:0,lim?lim? nnnnnnnnnnaaahahahnhnaaanaaannaNnNaa6.lim1.(1)1,1,0.

18、(1)11(1),11.0,111,1,1,lim1. 例例 求求证证证证明明 记记则则由由得得 要要只只要要或或取取则则当当时时即即适当放大适当放大例例7 求数列求数列 的极限。的极限。分析分析nn nnnnnnnnnnnnnnanh hnnhnhC hC hahnnNannn22222221,0(1)111,2111,12201,11222,1,11 记 要使得 即只要故可取 nnnnnnnnnnnnnnnnnNanh hnnhnhC hC hahannanNnnN2222221,0(1)111,22111,0111222011111.20,1,21lim 证证明明 记记 nnnnnnnn

19、nnnNnNnnnnnnnnnnN211211122221,040,011112241,2221 法法二二 练习题练习题3. , |limlimaaaannnn 反之是否成立反之是否成立?nnExnNnNnnnnnnnnnnn313.1(2).lim;2120,313.21231311,2122(21)41111,1,.44,.4 分分析析 要要找找使使当当时时有有只只要要即即可可当当然然即即也也可可也也nnnnnExnNnNnnnnnnn nn nnnn!.1(3).lim0 ;0,!0.!1 2(1)1,11,. 分分析析 要要找找使使当当时时有有只只要要即即可可也也 nnnnnmnmmmmaExnaannaNnNnnaammamaaaaaaanmnmmnaanmnm11|.1(4).lim0 .!1|1,0,0,!11,0;!|1,|,|1,|0!1!|1|,.!1 2| 求求证证 证证明明 当当时时可可取取有有当当时时 记记则则所所以以只只要要使使得得成成立立即即可可1111