高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法——在立体几何证明中的应用ppt课件

1、空间向量应用空间向量应用4 4在立体几何证明中的应用在立体几何证明中的应用 前段时间我们研究了用空间向量求前段时间我们研究了用空间向量求角角(包括线线角、线面角和面面角包括线线角、线面角和面面角)、求距离求距离(包括线线距离、点面距离、线包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行平行”“”“垂直两大类：垂直两大类：平行：线面平行、面面平行平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线

2、面垂直和面面垂直垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知、已知b，a不在不在内，如果内，如果ab，则，则a。2、如果、如果a， a，则，则。3、如果、如果ab， a，则，则b。（课本。（课本P22.6）4、如果、如果a， b， ab，则，则。 一、一、 用空间向量处理用空间向量处理“平行问平行问题题 一、一、 用空间向量处理用空间向量处理“平行问平行问题题 nm0mnmnmnGAEDCBFHMN例例1.如图：如图：ABCD与与ABEF是正方形，是正方

3、形，CB平面平面ABEF，H、G分别是分别是AC、BF上上的点，且的点，且AH=GF. 求证：求证： HG平面平面CBE.MHAB,NG AB MHNGAH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面平面HPG平面平面CBE HG平面平面CBE GAEDCBFHozy证明：由已知得：证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可两两垂直，故可建立如图所示的空间直建立如图所示的空间直角坐标系角坐标系o-xyz.x设正方形边长为设正方形边长为1, AH=FG=a, 则则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),2222222

4、2故故 ,而平面而平面CBE的法向的法向量为量为 (0,1,0), 故故 ,而而 平面平面CBE 故故 HG平面平面CBE )22, 0 ,221 (aaHGnHGnHRDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，上的动点，且且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的中点的中点. 求证：求证： MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结，连结QP1， 作作NN1 QP1于

5、于N1，连结，连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)MN所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0, 1)， n0nMN又又M不在平面不

6、在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证： 平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的证明：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量)1 , 0 , 1 (1DA)0 , 1 , 1 (DB设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为),(zyxn 则有则有x+z=0

7、 x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量的法向量为为) 1, 1, 1 (n同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量的法向量为为) 1 , 1 , 1(m则显然有则显然有mn即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步掌握通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量利用解方程

8、组的方法求出平面法向量(在解在解的过程中可令其中一个未知数为某个数的过程中可令其中一个未知数为某个数)。例例1 1、2 2与例与例3 3在利用法向量时有何不同？在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点的中点. 求证：求证： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的略证

9、：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则求得平面则求得平面AEF的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(m显然有显然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直问垂直问题题 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直问垂直问题题 0mnnmnmnm: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(

10、2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面ADBPCMNADBPCMN证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可设设(0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),A

11、BCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MNPDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC又又平平面面例例6 6：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中，中，AB=AA1/3=aAB=AA1/3=a，E E、F F分别是分别是BB1BB1、CC1CC1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。求证。求证: :面面AEFAEF面面ACFACF。AFEC1B1

12、A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy 不防设不防设 a =2a =2，则则A A0 0，0 0，0 0），），B B（3 3 ，1 1，0 0），），C C0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） ，F F0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因为，），因为，x x轴轴面面ACFACF，所以可取面，所以可取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），），设设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，那么向量，那么xnAE=nAE=3x+y+2z=

13、3x+y+2z=0 0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0 x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2-2，1 1）显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m mn n面面AEFAEF面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz ，ADCB求证：平面求证：平面MNC平面平面PBC；求点求点A到平面到平面MNC的距离。的距离。已知已知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是分别是AD、PB的中点。的中点。a2PMN练习练习1小结：小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热的话题，其原因是它把有关的“证明转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用