导数的几何意义

1、1.1.3导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体

2、在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是: 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,

3、 y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜提

4、供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数. 要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点则在此点有切线有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的曲线的切线切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T例例

5、1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2

6、)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()

7、( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的函 数 值函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函

8、数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函

9、数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲，得到曲 线在点线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切线方程的步骤：求