平面几何中的向量方法学案人教A版必修4

1、2.5 平面向量应用举例平面几何中的向量方法学习目标运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.重、难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 自主学习1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：ab_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos_.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以

2、利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_.2直线的方向向量和法向量(1)直线ykxb的方向向量为_，法向量为_(2)直线AxByC0的方向向量为_，法向量为_在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍请用向量法给出证明对点讲练利用向量证明平行问题例1如图所示，若ABCD为平行四边形，EFAB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MNAD.回顾归纳(1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式它们的基线无公共点与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量

3、没有公共端点变式训练1ABC中，M、N分别为AB、AC的中点求证：MNBC.利用向量证明垂直问题例2如图所示，在平行四边形ABCD中，BC2BA，ABC60°，作AEBD交BC于E，求的值回顾归纳利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明变式训练2已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PAEF且PAEF.直线方向向量的应用例3在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线的方程回顾归纳直线AxByC0

4、的方向向量为v(B，A)，法向量n(A，B)这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系求两条直线的夹角时非常有用变式训练3在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|2，则_.1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2在直线l：AxByC0(A2B20)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则就是直线l的一个方向向量，(R且0)也是直

5、线l的方向向量所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线同理，与直线l：AxByC0 (A2B20)垂直的向量都叫直线l的法向量一条直线的法向量也有无数多个熟知以下结论，在解题时可以直接应用ykxb的方向向量v(1，k)，法向量为n(k，1)AxByC0(A2B20)的方向向量v(B，A)，法向量n(A，B).课时作业一、选择题1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2B.C3D.2点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足···，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线

6、的交点D三条高的交点3如图，非零向量a，b且BCOA，C为垂足，若a，则等于()A.B.C.D.4.若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形5已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于()A2B.C3D题号12345答案二、填空题6过点(1,2)且与直线3xy10垂直的直线的方程是_.7已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5.则···_.8设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(2)·()0，则ABC的形状一定是_三、

7、解答题9.如图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证：ACBD.10三角形ABC是等腰直角三角形，B90°，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：ADBFDC.§2.5平面向量应用举例25.1平面几何中的向量方法知识梳理1(1)abx1y2x2y10，(2)a·b0x1x2y1y20，(3)(4)2(1)(1，k)(k，1)(2)(B，A)(A，B)自主探究证明在平行四边形ABCD中，2()2222·；2()2222·.222222.即|2|22(|2|2)平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻

8、边平方和的2倍对点讲练例1证明EFAB，NEFNAB，设(1)，则，(1)，同理，由，可得(1)，(1)，1，令1，ADMN.变式训练1证明设a，b，则ba，又M、N分别为AB、AC的中点a，b.AMN中，ba(ba)，即与共线，MNBC.例2解方法一(基向量法)设a，b，|a|1，|b|2.a·b|a|b|cos60°1，ab.设b，则ba.由AEBD，得·0.即(ba)·(ab)0.解得，.方法二以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则，.由AEBD，得·0.即&

9、#215;0，得m，.变式训练2证明以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，|，则A(0,1)，P，E，F，于是，.|，同理|，|，PAEF.·0，.PAEF.例3解(3,4)，(8,6)，A的平分线的一个方向向量为：.A的平分线过点A.所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得：7xy290.变式训练3解析已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，D(3,9)，四边形OBDE为菱形AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.设C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.课时作业1BBC中点为D，

10、|.2D··.()·0.·0.OBAC.同理OABC，OCAB，O为垂心3Aab.BCOA，·(ab)·a0，即a2a·b0.4B|，|2|，|，A，B，C是同一矩形的三个顶点，且BAC90°.ABC是直角三角形5C如图所示，由题知ABC30°，AEC60°，CE，3，3.6x3y70解析设P(x，y)是所求直线上任一点，直线3xy10的方向向量为(1，3)，由(x1，y2)·(1，3)0得x3y70.725解析ABC中，B90°，cosA，cosC，·0，·4×5×16；·5×3×9.···25.8等腰三角形解析(2)·()()()·()()·()22|2|20，|，ABC是等腰三角形9证明四边形ABCD是菱形，|，又，·()·()|2|20.，即ACBD.10证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设F