平面向量内积的坐标运算

1、课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则AB（）叫与的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作×，即有× = |cosq，（）.并规定与任何向量的数量积为03向量的数量积的几何意义：数量

2、积×等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积4两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1°× = × =|cosq；2°Û× = 03°当与同向时，× = |；当与反向时，× = -| 特别的× = |2或4°cosq = ；5°|×| |5平面向量数量积的运算律交换律：× = ×数乘结合律：()× =(×) = ×()分配律：( + )× = × + ×

3、二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，则4.两向量夹角的余弦（）cosq =三、讲解范例：例1设 = (5, -7)， = (-6, -4)，求×解： = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2例2已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，

4、求证：ABC是直角三角形证明：=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)×=1×(-3) + 1×3 = 0 ABC是直角三角形例3已知 = (3, -1)，= (1, 2)，求满足×= 9与× = -4的向量解：设= (t, s)，由= (2, -3)例4 已知（，），（，），则与的夹角是多少?分析：为求与夹角，需先求及·，再结合夹角的范围确定其值.解：由（，），（，）有·（），记与的夹角为，则cos又，评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A

5、(5, 2)为顶点作等腰直角ABC，使Ð = 90°，求点和向量的坐标解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2)x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由点坐标或；=或例6在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值解：当 = 90°时，×= 0，2×1 +3×k = 0 k =当 = 90°时，×= 0，=-= (1-2,

6、k-3) = (-1, k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k =当C= 90°时，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =四、课堂练习：1.若=(-4,3),=(5,6),则3|（ ）A.23 B.57 C.63 D.832.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则为（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ）A.或B.或C.或 D.或4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=.5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-

7、)在线段的中垂线上，则x=.6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为.参考答案：1.D 2.A 3.D 4. 7 5. 6.45°五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（ ）A.B.C. D.2.已知=(，)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(-),则x等于（ ）A.23 B.C.D.4.已知|=,=(1,2)且,则的坐标为.5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若，则.6.已知

8、=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为.7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x.8.已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使ABC90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.9.四边形ABCD中=(6,1),=(x,y)，=(-2,-3),(1)若，求x与y间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C4.（，）或（-，） 5.() 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)9.(1)x+2y=0 (2)S四边形ABCD=16七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)又