平面向量的概念向量线性运算

1、第4模块 第1节知能演练一、选择题1判断下列各命题的真假：(1)向量的长度与向量的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()A2B3C4 D5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量

2、可用有向线段来表示，但并不是有向线段答案：C2若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且a，b，则等于()AbaBbaCabDab解析：b(a)ba.答案：B3已知ABC中，点D在BC边上，且2，若rs，则rs的值是()A.B0C.D3解析：在ABC中，()，故rs0.答案：B4平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E在BC上，且2，设a，b，则为()A.abB.abC.abD.ab解析：如右图由向量的运算法则得(ab)bab，故选B.答案：B二、填空题5ABC中，3，若a，b，则_.解析：依题意有()×(ba)(a)ab.答案：ab6(2009·湖南高考)如下

3、图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若xy，则x_，y_.解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设(1,0)，(0,1)，则|，|×sin60°.由题意有(x，y)，x1cos45°1，ysin45°.故x1，y.答案：1，三、解答题7在AOB中，C是AB边上的一点，且(>0)，若a，b.(1)当1时，用a，b表示；(2)用a，b表示.解：(1)当1时，()ab.(2)，ab，因为，BCCA，BABCCA，BA(1)·CA，BCBA.所以，即b(ab).8如下图，点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|4，|BC|6

4、，|AB|2.设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示，和；(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且|2，求|的最大值和最小值解：(1)由题意知6a0，2b0，6a02b0；，4a0，则2b06a04a02b02a0；过C点作CMBD，易知四边形BCMD是平行四边形则，即，得b0a0.(2)，2()2··2·，即|2|2|22|·|·cos，62222·6·2cos，4024cos，cos，1,1，当cos，1时，|max8.当cos，1时，|min4.高考·模拟·预

5、测1(2009·北京高考)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：由cd，则存在使cd，即kabab，(k1)a(1)b0.又a与b不共线，k0，且10.k1.此时cab(ab)d.故c与d反向，选D.答案：D2(2009·上海十四校联考)已知非零向量与满足·0，且·，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰(非等边)三角形D等边三角形解析：由·0，得BAC的平分线垂直于BC.ABAC.而cos，又，0°，180

6、°，BAC60°.故ABC为正三角形，选D.答案：D3(2009·天津高考)在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_解析：由于(1,1)，则四边形ABCD是平行四边形且|，又由，得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为11，那么可知DAB120°，所以AB边上的高为.所以四边形ABCD的面积为×.答案：4(2009·启东模拟)已知向量集合Ma|a(1,2)(3,4)，R，Nb|b(2，2)(4,5)，R，则MN_.解析：由(1,2)1(3,4)(2，2)2(4,5)，得，解得，MN(2，2)答案：(2，2)5(2009·天津滨海新区联考)O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足()，时，则·()的值为_解析：由()，得()，即P为ABC中BC边的中点0.·()·00.答案：06(2009·山东3月模拟)若a，b是两个不共线的非零向量，tR.(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|atb|的值最小？解：(1)设atbma(ab)，mR，化简得