(完整版)基础排列组合部分知识总结

1、计数原理6屏一做公式;一国即一时敏公芭集质仁项式定理:一1.排列组合知识导学：1.分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中，有 m1种不同的方法，在第 2类办法中，有 m2种不同的方法，在第n类办法中，有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+m2 + mn种不同的方法.1步，有m1种不同的方法，做第2.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第2步，有m2种不同的方法，做第n步，有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1 xm2x-x mn种不同的方法.排列数公式：Amn(n 1)( n 2)( n 3)(n1)(nn!m)!（这里m、组合数公式:一Amm m

2、nCnmAmn(n 1)(n 2)(n 3)(n1)Cnmn!/、q EL*一(这里m、n N ,且mW n )m! (n m)!组合数的两个性质规定：C： 1m m m 1Cn1 Cn Cn例 l 、分类加法计数原理的应用在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析： 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类解法一： 按十位数上的数字分别是1 ， 2， 3， 4 ， 5 ， 6 ， 7， 8 的情况分成8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6

3、个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l = 36个解法二： 按个位数字是2， 3 ， 4， 5， 6， 7 ， 8 ， 9 分成 8 由，在每一由中满足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分由加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 个点评： 分由加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一由的各种方法都是相互独立的，每一由中的每一种方法都可以独立

4、完成这件事。解决该由问题应从简单分由讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题例 2、分步乘法计数原理的应用书架上的一格内有6 本不同的书，现在再放上3 本不同的书，但要保持原有书的相对顺序不变，那么所有不同的放法共有多少种？解析（插空法）：把 3 本不同的书放入书架，需保持书架上原有书的相对位置不变完成这件事分为三个步骤，每一步各放 1 本第一步有m1 = 7 种放法，第二步有m2 = 8 种放法，第三步有m3 = 9 种放法，由分步乘法计数原理可知，共有 N = mi x m2X m3 = 7X8X 9= 504种放法.例 3、两个计数原理的综合应用有一项活动，需在 3

5、 名老师， 8 名男同学和5 名女同学中选人参加（ l ）若只需一人参加，有多少种不同方法？（ 2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？（ 3）若需一名老师和一名同学有多少种不同选法？解析：（I）有三类选人的方法：3名老师中选一人，有 3种方法；8名男同学中选一人，有 8 种方法； 5 名女同学中选一人，有5 种方法。由分类加法计数原理，共有 3+ 8+5=16种选法.（2）分三步选人：第一步选老师，有 3种方法；第二步选男同学，有 8种方法；第三步选 女同学，有 5种方法.由分步乘法计数原理，共有 3X8X5 = 120种选法.（3）可分两类，每一类又分两步.第一类：选一名

6、老师再选一名男同学，有 3X8 = 24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有 3X5=15种选法.由分类加法计数原理，共有24+ 15 = 39种选法.点评：在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚 “分类”或“分步”的具体标准.在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要 正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.例4、排列的应用问题六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.分析：

7、本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问 题的能力.解析：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法 人；,：=480 （种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有M 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法二480 （种）方法三（排除法）： 若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有2人;种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有4 480 （种）（2）方法一（捆绑法）： 先把甲、乙

8、作为一个“整体”，看作一个人，有 人:种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有=240 （种）站法.方法二（插空法）： 先把甲、乙以外的 4个人作全排列，有 式:种站法，再在 5个空档中选出一个供甲、乙放入，有 丛5种方法，最后让甲、乙全排列，有 久三种方法，共有从4凡5240 （种）(3)方法一(插空法)：因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有种，故共有站法为 =48 0= 480 (种).方法二(排除法)：6个人全排列有 人：种站法，由(2)知甲、乙相邻有 4区二

9、240种 站法，所以不相邻的站法有 箍一尺 K =720-240 = 480 (种).(4)方法一(插空法)：先将甲、乙以外的 4个人作全排列，有 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有双种，故共有种站法.方法二(捆绑法)： 先从甲、乙以外的 4个人中任选 2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间 2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有 种方法，故共有 4见 二144种站法.(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列， 有 种，根据分步乘法计数原理，共有 % A尸 况 种站法.(6)方法一(排除法)：甲在左端的站

10、法有种，乙在右端的站法有 人?种，且甲在左端而乙在右端的站法有人：种，共有线-温+虱=种站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有人?种， 甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有人；.&；.&：种，故共有 虬+打RR =504种站法.例5、组合的应用问题课外活动小组共 13人，其中男生 8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从 中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选.解析:一名女生，四名男生.故共有二 350 （种）（2）将两队长作为一类，其他 11人作为一类，故共有 Ci，CU=165 （种）（3）至少有一名队长含有