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文档简介
1、推理与证明单元测试题考试时间120分钟 总分150分一选择题(共50分)1. 下面几种推理过程是演绎推理的是()A. 在数列S”中,山=1,心=如”_1+赢吕')(心2),由此归纳出為啲通项公式B. 某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超 过50人C. 由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D. 两条直线平行,同旁内角互补,由此若ZA,是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则ZA + ZB=180°2. (2012 江西高考)观察下列事实:拥+ |刿=1的不同整数解(x, y)的个数为4, |x| + |y| =
2、2的不同整数解力的个数为8, |x| + |y|=3的不同整数解Or, y)的个数为12,, 则| + |y|=20的不同整数解(,E的个数为()A. 76B. 80C. 86D. 921 /1鼾件3观察下列各式:72=49, 73=343, 74=2401,则72的末两位数字为()A. 01 B. 43 C. 07D. 494.以下不等式(其中a>b>0)正确的个数是() "-1> VT7-巧 Ju-b > y/a 一 y/bD. 3A. 0B. 15如图,椭圆的中心在坐标原点,F为左焦点.当丄时,有0+2) + (方2+“2) =(° +町2 ,
3、从而得其离心率为牛1 ,此类椭圆 乙称为“黄金椭圆3类比“黄金椭圆r可推出“黄金双曲线”的离心率为(6如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形,第四件首饰是 由28颗珠宝构成的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有(第3件)颗珠宝。A. 100B. 110C. 120D. 1307 已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1), (1, 2), (2,1) , (1, 3) , (2, 2) , (3,1), (1,4), (2,3
4、), (3,2), (4,1),,则第 60 个数对是()A. (7, 5)B. (5, 7)C. (2,10)D. (10,1)8把正数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如图 乙的三角形数阵,现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列an,若 an=1625> 则 n=()1234.567891011 1213 14 1516 甲A. 833B. 820245791012 1416乙C. 832D. 539如图所示,面积为S的平面凸四边形的第/条边的边长记为q(i = l,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为 W = 1,2
5、,3,4),若牛=号晋=詈",则4<4工他)=注込(也)=1 人+24+34+4 他,类比以上性质,r-lk /-I丿体积为V的三棱锥的第j个面的面积记为& (= 1,2,3,4),此三棱锥内任S _S? _Ss _Sq _ K 一点0到第j个面的距离记为耳(匸123,4),若1234,E()=则i()4V3V2VA丘B.斤C丘D斤10.函数f (x)的定义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意xGC (CGA)有x+teA,使得f (x+t) <f (x)恒成立,则称f (x)为C上的t度低调函数.已知定义域为0,卄)的函数f (x)=-(皿-3几 且f (x)
6、为0, +-)上的6度低调函数,那么实数m的取值范围是()A .0,1B。1,+co)D(Y,O U二.填空题(共25分)11.用反证法证明命题“存在a> bWR, aa+ba<2 (a - b - 1),正确的反设为2/1312.观察下列等式:13=113+23=913+23 + 33=3613+23+33+43=10013+23+33+43+53=2251 = 11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15可以推测:1'+2°+3°+ (neiT,用含力的代数式表示)13.若定义在区间D上的函数f(X)对D上的任意n个值口,X
7、2,心,总满足2f (Xl) +f (X2)+ +f (Xn) <f (),则称 F(X)为 D 上的凸函nn数.己知函数y=slnx在区间(0, tt)上是“凸函数”,则在 ABC中,sinA+sinB+sinC 的最大值是_14在面积为S的正三角形ABC中,E是边AB±的动点,过点E作 EFBC,交AC于点F,当点E运动到离边BC的距离为 ABC 高的寺T,AEFB的面积取得最大值为类比上面的结论,可 得,在各棱长相等的体积为V的四面体ABCD中,E是棱AB±的 动点,过点E作平面EFG平面BCD,分别交AC、AD于点F、 G,则四面体EFGB的体积的最大值等于V
8、.15.以下是拉面师一个工作环节的数学模型:在数轴上截取与闭区间0. 1对应的线段,对 折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为1311一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标-1-都变成原来的坐标*变成1,等等).那么原闭区间0. 1上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰 好被拉到与1重合的点所对应的原坐标是:原闭区间Q 1上(除两个端点外)的点,在第"次操作完成后(n>l),恰好被拉到与1重合的点所对应的原坐标为(用含n的式子表示)三.解答题(共75分)=-V3/1316用数学归纳法证明: *+ 1+士逹 (n>l,且
9、nwN、n+1 n+2 n+3 3n 1017.用分析法证明:若a>0,则J/吕2 > a+*+逅18己知a, b9 c9 rfGR,且a+b=c+d=l, ac+bd>l9求证:a9 b9 c9 d中至少有一个是负数19.如果一个数列的各项均为实数,且从第二项起开始,每一项的平方与它前一项的平方的 差都是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1) 证明:一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列;(2) 若正项数列an是首项为血、公方差为2的等方差数列,且存在实数?使得等式 “+材+衬二如二£旦二匕对任意neN*成立,求加的值,
10、并证明等式成立。20如图1所示为抛物线的一个几何性质:过抛物线y2=4x的焦点F任作宜线1与抛物线交于 A, B两点,则在x轴上存在定点M (-1, 0),使直线MF始终是ZAMB的平分 线;如图2所示,对于椭圆*+ yj,设它的左焦点为F;请写出一个类似地性质;并证515/1321如图,马(兀2宀)、pn(xtl.y,t)(o<yl < y2 < < 儿)是曲线 C:y2 =3x(y>0)±的n个点,点儿丿)(7 = 123)在乂轴的正半轴上,且AV/比是正三角形(血是坐标原点).(1) 尝试用®表示P点坐标;(2) 求出的值,继而写出心、&
11、quot;3的值;(3) 猜想心的表达式并用数学归纳法证明.参考答案一.选择题(共50分)1. 下面几种推理过程是演绎推理的是(D )A. 在数列伽中,fli = l,丄y)(心2),由此归纳出伽的通项公式B. 某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班 人数超过50人C. 由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D. 两条直线平行,同旁内角互补,由此若ZA,是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则ZA + ZB=180°2. (2012 江西高考)观察下列事实:"| + |y|= 1的不同整数解Gr, R的个数为4, |
12、别+y =2的不同整数解Cr, y)的个数为8, |x| + |y|=3的不同整数解(x, y)的个数 为12,,则拥+ |川=20的不同整数解Cr,力的个数为(B )A 76B. 80C. 86D- 923. 观察下列各式:72=49, 7343, 74=2401,则712的末两位数字为(A )A. 01 B 43 C. 07 D 49分析;通过观察前几项,发现末两位数字分别为49、43、01、07、,以4为周期出现重 复,由此不难求出72012的末两位数字.解:根据题意,得 72=49, 73=343, 74=2401, 75=16807, 76=117649, 77=823543,78=
13、576480b 79=40353607,发现:尸1 2的末两位数字是49, 7啦-1的末两位数字是43, 7°k的末两位数字是01,7韭+1的末两位数字是49,(k=l. 2、3、4、),72012=503x4, A72012的末两位数字为01.故选A. yfab > y/a -yfbB1D. 34. 以下不等式(其中a>b> 0)正确的个数是(C ) x/7-1>VTT->/5A. 0C. 25. 如图,椭圆的中心在坐标原点,F为左焦点,当AB丄祁时,有 (c2+/r)4-(/724-«2) = (c+«)2 ,从而得离心率为
14、163;=丄,此类椭圆 称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为(B )A B.空C. V2分析:类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,当丽丄am, ibfP+iabiiafi2,由此可知 b2+c2+c2=a2+c2+2ac,整理得c2=a2+ac,即e2 - e - 1=0,解这个方程就能求出黄金双曲线的 离心率C解:类比“黄金椭圆”,在黄金双曲线中,IOAl=a, IOBI=b, IOFI=c,当両 丄忑时,IBF|2+iAB|2=IAF|2,/. b2+c2+c2=a2+c2+2ac Vb2=c2 - a2,整理得 c2=a2+ac.Ae2-e- 1=0,解得或巴
15、二弯+1 (舍去).乙乙故黄金双曲线的离心率亡«111e 26如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝.第二件 首饰是由6颗珠宝构成的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝正六边形,以后每件首 饰都在的一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依 此推断第8件首饰上应有(C )颗珠宝。A.0020B.D.10307已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1) , (1,2), (2,1), (1, 3), (2, 2), (3,1),(1,4), (2,3), (3, 2), (4,1),,则第 60 个数对是(B )A 5)B. (5
16、, 7)C(2,10)D. (10,1)解析:选B依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知第n组整数对的 和为n+l,且有n个整数对,这样的前n组一共有T11个整数对,注意到 1°聲+1因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5,个位置,结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为:(1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7),,因此第 60 个整数对是(5, 7).&把正数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到 如图乙的三角形数阵,现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个
17、数列 an,若加=1625,则 ( A )112 3424.56789IO 11 12 13 14 15 16 甲5 7 9IO 12 14 16乙A. 833B. 820C. 832D 539如图所示,面积为S的平面凸四边形的第j条边的边长记为q = 2,3,4),此四边形 内任一点P到第僚边的距离记为/?,(/= 1,2,3,4),若¥ = 舒舒¥*,贝!J42S (4为他)=亍注込(也) = 】/片+24+3内+4",类比以上性质,体积为W的三r-lkr- 1J 棱锥的第i个面的面积记为S£i = 1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距
18、离记为5h、纠(21,2,3,4),若* 沖沖”K,则 t(.) =(B )2VKD.VK10函数f (x)的左义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意XGC (CUA)有x+tGA, 使得f (x+t) <f (x)恒成立,则称f (x)为C上的t度低调函数.已知泄义域为0, +00)的函数f (X)=-(皿一3)2,且f(X)为0, +00)上的6度低调函数,那么实数 m的取值范围是(D )A 0,1B o 1,-foD)C (p,0D. (yo,0 U 1,乜)二.填空题(共25分)11用反证法证明命题“存在乐beR, a2+b2<2 (a-b-1) ”,正确的反设为 任意/
19、 bwR a2+b? M2 (a-b 1) 12.观察下列等式:1 = 113=11+2=313+23=91+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5 = 1513+23+33=3613+23+33+43=10013+23+33+43+53=225可以推测:1'+2'+3'+/=GWN*,用含力的代数式表示)解析:第二列等式右边分别是1X1,3X3,6X6, 10X10, 15X15,与第一列等式右边比较即可得,1'+2+3°+(1+2+3+”):!=严"(1«+1): 答案:討+1尸13.若定义在区间D上的函数F (x)对
20、D上的任意n个值灯,X2, .» “,总满足f (xi) +f(X2)+.+f (xn) <f (),则称 f (x)为 D 上的凸函n数.已知函数y=sinx在区间(n:0, tt)上是“凸函数”,则在A ABC 中,siiiA+sinB+sinC的最大值是琴_14在面积为S的正三角形ABC中,E是边AB±的动点,过点E作EFBC,交AC于点F,当点E运动到离边BC的距离为/' A ABC高的g时,AEFB的面积取得最大值为*S类比上面的詁 结论,可得,在各棱条相等的体积为V的四面体ABCD中,E 是棱AB上的动点,过点E作平面EFG平面BCD,分别交 厶彳
21、AC、AD于点F、G,则四面体EFGB的体积的最大值等于_寻 逬 二V.c解 解:根据几何体和平而图形的类比关系,答:三角形的边应与四面体中的各个而进行类比,而而积与体积进行类比,中位线与中 截而进行类比:在而积为S的正三角形ABC中,当点E运动到离边BC的距离为厶ABC髙的丄时.2 EFB的而积取得最大值为类比上而的结论,可得,在各棱条相等的体积为V的四而体ABCD中,E是棱AB上的动点,过点E作平而EFGII平而BCD,分别交AC、AD于点F、G,设 AE=xAB (0<x<l ),则四而体 EFGB 的体积 Vi=x? (1 - x)(2-2x)23( 一" ) V
22、=-Ay, 最大值等于 V jh|ihmefgb=V 卩加maefg=t¥232727本题考察了立体几何和平而几何的类比推理,一般平而图形的边、而积分别于几何评:体中的而和体积进行类比,从而得到结论.15以下是面点师一个工作环节的数学模型:在数轴上截取与闭区间0. 1对应的线段,对 折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称为一 次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标-和万都变成+ ,原来的坐标+变成1 ,等等)那么原闭区间0, 1上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好被拉 到与1重合的点所对应的坐标是;原闭区间0, 1上(除两个端点外
23、)的点,在第“次操作完成后(/7>1),恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为(用含I】的式子表示)=> V答案:丿为1,2”中的所有奇数.三.解答题(共75分)16. 用数学归纳法证明:1 + 1 + 1 +.>2 (n>l,且neN*).n+1 n+2 n+3 3n 10证明:(I) n=2时,左边不等式成立:3 4 5 6 60 10(2)假设n=k (k>L且keN")时结论成立,即丄+>2k+1 k+2 3k 10则n=k+l时,左边1丄1丄丄1丄1,1,11丄1亠1丄1,1,11、k+2 k+3 3k 3k+l 3k+2 3k+3 k+1
24、 k+2 3k 3k+l 3k+2 3k+3 k+12丄亠亠-?i>210 3k+l 3k+2 3k+3 k+1 10 (3k+l) (3k+3)(3k+2) (3k+3)10即n=k+l时结论成立综上,1 + 1 + 1十丄(n>l,且nwbT)n+1 n+2 n+3 3n 1017. 用分析法证明:若a>0,则宀2 > a+V2只要证a2只要证4 (即证2由基本不等式可得故原不等式成立.0).),即证色2;+4-+ +22( aJ)+418已知 a, b9 c9 </GR,且 a+b=c+d=l» ac+bd>l, 求证:心b, c, d中至少
25、有一个是负数.证明假设小4 c d都是非负数,因为" + b=c+=l,所以(" + b)(c+d)= 1,又(6/J-/?)(c+J)=ac+bcl+ad+beac4-bit> 1,这与上式相矛盾,所以 a, b, c, cl 中至少 有一个是负数.19.如果一个数列的各项均为实数,且从第二项起开始,每一项的平方与它前一项的平方 的差都是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1)证明:一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列;(2)若正项数列伽是首项为公方差为2的等方差数列,且存在实数7使得等式 “+占+耳,处匸孚”对任意“AT
26、都成立,求肌的值,并证明等式成立。解:(1)若数列知是等差数列,设 an=an+b (a. bwR),则 a2= a2n2+2abn-l- b 2f要使&也是等方差数列,应有片2- %_2二k (k为与n无关的常数),得a2=0,即a=0,这时an=b 必为一常数数列,因此不存在一个非常数数列的等差数列,同时也是等方差数列.(5分)(2)由于亦是首项为血,公方差为2的等方差数列,=殛 .八牢+十 如血凹,取心,得心73.22+42+.(2«)2 = 2川"+ 1、)(" + 1),用数学归纳法证明之。20如图1所示为抛物线的一个几何性质:过抛物线v2=4x的焦点F任作直线1与抛物线交于 A, B两点,则在x轴上存在定点M (-1, 0),使直线MF始终是ZAMB的平分 线;2门如图2所示,对于椭圆*+ /二1,设它的左焦点为F;请写出一个类似地性质;并证5图2解2过椭圆令+/二1的左焦点F2. 0)任作直线1与
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