专题训练蚂蚁爬行的最短路径(含答案).

1、蚂蚁爬行的最短路径1. 一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-5,5米为最短路径.13.如图，直四棱柱侧棱长为 4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为VC5+3)3-F42 = VB0 (cm)；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为d(4+3尸+52=#再(cm),或 7(4+5)2+32 = V50 (cm

2、)所以蚂蚁经过的最短路程是VT5 cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是30cm.14.如图，在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？解：图 1 中，= /= 40Vs a80.4 cm.图 2 中，= l/94+30” = 3QVI5m94.7 cm.图3中，AB=倔再万招=20小胃7Z5cm.采用图3的爬法路程最短，为 cOVTSem15 .如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm, 8cm, 4cm. 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点B.则蚂蚁爬行的最短

3、路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是V123+62=6 VScm;第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是= .也 cm;第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是=2 - cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm. A和B是这B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着个台阶上两个相对的端

4、点，点 A处有一只蚂蚁，想到点台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm,宽为(2+3) X3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案为25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B17 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是 cm。因为 AC=3X3+1X

5、3=12, BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.18 . （2011湃眇卜）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm.解:. PA=2X (4+2)4cm P=12, QA=5AB,8D，PQ=13.故答案为：13.19 .如图，一块长方体醇宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点B距地面的高 BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1,在砖的侧

6、面展开图 2上，连接则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在RtAABD中,因为 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8, 所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.20 . （2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有 一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;（2）当AB=4, BC=4, CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;（3）求点Bi到最短路径的距离.备用图解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形 A

7、BCQi和ACCiAi .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AiCi和ACi. （2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci,爬过的路径的长是11 = d4?+（4+5），=也疗.（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BBi到Ci ,爬过的路径的长是上二也4+4尸+5?=/.（4分）1i12,故最短路径的长是 匕二磁.（5分）（3）作 BE，ACi 于巳则EE = ?用4 =冼？ 5 =患帼为所求.（8分）21.有一圆柱体如图，高 4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C处，求蚂 蚁爬行的最短距离.解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.第2题C, D分别是BE, AF的

8、中点.AF=2 T?5=10 7t. AD=5 tt.AC= AD2+CD2 = 1cm.故答案为：16cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为解：AB=、52 122 =13 m23.如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AAi的端点A到达Ai ,若圆柱底面半径为 -,n高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为 解：因为圆柱底面圆的周长为2 7tx =12,高为5,Ji所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理，对角线长为府正=13.故蚂蚁爬行的最短距离为13.24.如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高

9、AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是由于圆柱体的底面周长为24cm,E5解：如图所示:贝U AD=24X =12cm.2又因为 CD=AB=9cm,所以AC= 收步9；二15cm.故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.25. （2006湃眇卜|）有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm, AAi , BBi为相对的两条母 线.在AAi上有一个蜘蛛 Q, QA=3cm；在BB上有一只苍蝇 P, PB=2cm,蜘蛛沿圆柱体 侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm.（结果用带兀和根号的

10、式子表示）解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一个直角边是根据勾股定理得：QP=二心I三4兀和5的直角三角形中,26.同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则 A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图.如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连

11、接 AM,即是这条最短路线图.27.如图，圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程第5题解：圆锥的底面周长是 4国则4声n 二 4180n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是180,，在圆锥侧面展开图中 AP=2, AB=4,/ BAP=90 ,，在圆锥侧面展开图中 BP二，这只蚂蚁爬行的最短距离是 故答案是：2无cm.28.如图，圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm, AB为底面直径，C为底面圆周上一点,/COB=150 , D为VB上一点，VD= V7dm .现有一只蚂蚁，沿圆锥表

12、面从点 C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是（）第22页共19页匕上r 15 口 “m3 5解：黄? =180 =即,设弧BC所对的圆心角的度数为 n,5tt：.=一二一解得n=90,CVD=90,. CD=旷52+7=4 V5 ,29.已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOAi=120, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。30.如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕侧面一周又 回到A点，它爬行的最短路线长是 .解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇

13、形圆心角为n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2n=44,180解得n=90 ,所以展开图中圆心角为 90。，根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是：J16+16 = 辰 =4 J2 .31. （2006?南充）如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径 =2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2=4处180解得n=90 ,所以展开图中的圆心角为90。，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4J2 .32. （2009?乐山）如图，一圆车B

14、的底面半径为2,母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为 解：由题意知，底面圆的直径AB=4,故底面周长等于4兀.-设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,/根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4声2黑;6 ,D解得 n=120 ,所以展开图中/ APD=120妥=60 ,根据勾股定理求得 AD= 33 ,所以蚂蚁爬行的最短距离为 3；3 .沿圆锥面爬彳L周后又回到原出发点，请你给它指出-解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为 AA（线段）.01条爬行最短的路径， 并求出最矩路径.%33. 如图，圆锥底面半径

15、为 r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发由此知：OA=OA =3ADA1的长为2兀rn 二 3r180n=120 ,即/ AOA =12Q / OAC=30 .“ 13 OC= _ OA= r22.AC= OA2 _OC2 =3、3r2.AA =AC=3V3r,即蚂蚁运动的最短路程是3,3 r.34.如图，一只蚂蚁从圆锥底面的 A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线 SA的中点M.蚂 蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究.(1)善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm,母线SA长为40cm,就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；(2) 一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60。(如图)，请问：蚂蚁如何行走最合算？(3)通过(1)、(2)的计算与归