第一册指考试题

1、第一冊指考試題1. 若對所有實數x，3x22axa³0均成立，則 a 的範圍為_。 (83自)Ans：3£a£02. 設T1，T2，T3，為一群多邊形，其作法如下：T1為邊長等於1的正三角形；以Tn每一邊中間三分之一的線段為一邊向外作正三角形，然後將該三分之一線段抹去，所得的多邊形為Tn+1，n1，2，3， (如圖所示)。令an表Tn周長，請計算T3之面積及之和。T2T1Ans：T3，S4/3(84自)3. 在圖中，DOA0A1是一底角30°而腰長為1的等腰三角形。已知ÐOA1A230°，線段A0A1，A2A3，A4A5，互相平行，且

2、線段A1A2，A3A4，A5A6，也互相平行，試問(1)比值A1A2：A0A1等於多少？ (A) ，(B)，(C) ，(D) ，(E) 。(2)線段A0A1，A1A2，A2A3，An-1An，的長度之和等於多少？ (A) ，(B) ，(C) 2，(D) ，(E) 。(3)DA1A2A3的面積為何？ (A) ，(B) ，(C) ，(D) ，(E) 。(4)三角形DA1A2A3，DA3A4A5，DA5A6A7，DA2n-1A2nA2n+1的面積之和等於多少？30°30°A0A6A5A4A3A2A1(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，(E) 。 (85自)Ans：D，A，E，

3、A4. 設z12ai，z22b(2b)i，其中a，b為實數，i，若½z1½z2，且的輻角為，則數對(a，b)_。 (85自)Ans：(10/3，4/3) 5. 若設年利率為12.5% ，若依複利計算，則至少要_年(取整數年數)，本利和才會超過本金的2倍。(log2=0.301，log3=0.477) (86自)Ans：66. 設實係數二次方程式的兩根a，b都不是實數，而且也正是此方程式的兩根。則的數值為_。 (89自)Ans：17. 設為xy平面上兩點，而直線與線段相交。作一圖，以a為橫座標、b為縱座標。將數對的範圍表示出來。 (89自)8. 設平面上已有兩點(0，0)，(

4、a，b)，其中ab，而且a與b皆不為0。現在要選第三點，使得以此三點為頂點之三角形為等腰，則下列哪一點可為第三點？(A) (b，a)，(B) (b，a)，(C) (ab，ba)，(D) (0，2b)，(E) (2a，0)。 (90自)Ans：ABCDE9. 假設整係數方程式x4ax3bx2cx40有四個相異之正整數根，則四根之和為_。(90自)Ans：1210. 某君於九十年初，在甲、乙、丙三家銀行各存入十萬元，各存滿一年後，分別取出。已知該年各銀行之月利率如下表，且全年十二個月皆依機動利率按月以複利計息。甲銀行乙銀行丙銀行1-4月0.30.30.35-8月0.30.40.29-12月0.30

5、.20.4假設存滿一年，某君在甲、乙、丙三家銀行存款的本利和分別為a、b、c元，請問下列哪些式子為真？(1)ab。(2)ac。(3)bc。(4)abc。 (91自)Ans：1，211 設n為正整數，座標平面上有一等腰三角形，它的三個頂點分別是(0，2)，(，0)，(，0)。假設此三角形的外接圓直徑長等於Dn，則_。 (91自)Ans：212. 有一軍團，人數在三千與四千之間。今將此軍團排成若干個同樣的方陣，發現以8´ 8方陣排之，或以12´12方陣排之，都恰好排盡，則此軍團人數為_(A)_。(83社)Ans：345613. 設C1為單位圓，T1為C1之內接正三角形，C2為T

6、1之內切圓，T2為C2之內接正三角形，依此類推。令ai表Ti的面積，則_。 (83社)Ans：18. 已知多項式f(x)x45x33x219x30有一複根2i，若實數a滿足f(a)0，試求a的範圍。Ans：2a3 (83社)19. 設有一複數等比數列，首項為12i，第二項為3i，則此數列前五項的和為_(B)_。 (84社)Ans： 613i20. 若多項式f(x)2x34x22x(2c4)與多項式g(x)3x36x22x(3c5)的最高公因式為一次式，則c之值為_。 (84社)Ans： 221. 設p(a222a121)(a22a137)，其中a為正整數，若p為質數，則p_。(85社)Ans：

7、25722. 設f(x)與g(x)為實係數多項式，以x23x2除f(x)得餘式3x4，以x1除g(x)得餘式5，且g(2)3。(1)試求以x1除f(x)g(x)的餘式。(6分)(2)試證f(x)g(x)0在1與2間有實根。(6分)。 (85社)Ans： 4 23. 設a，b，q1，q2，q3皆為正整數，且滿足，則a，b的最大公因數為_。Ans：6 (86社)24.一個邊長n為的大正方形中，共有n2個單位正方形，如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴棒，而此大正方形共用了an根火柴棒，那麼an+1an_。(86社)Ans：4n425.設方程式x43x3bx2cx100有四個相異有理根，則其最大根

8、為_。(86社)Ans：2ABCDE26. 設ABCDE是坐標平面上一個正五邊形，它的中心與原點重合，且頂點E在y軸的負向上(如右圖)。試問下列各直線中，斜率最小者為何？(A) 直線AB，(B) 直線BC，(C ) 直線CD，(D) 直線DE，(E) 直線EA。 (87社)Ans：(A)27. 若多項式x34x25x3除以f(x)得商x2，餘式為2x1，則f(x)_。(87社)Ans：x22x128.設數列<an>到n項的和a1a2an2n+1(n22n)，則此數列的第n項an_。(87社)Ans：2n(n23)29. 小明和小華相約到學校的四百公尺圓形跑道上跑步，他們在同一時間從

9、同一地點朝相反方向開始跑，跑的速度，小明保持每分鐘320公尺，小華保持每分鐘280公尺。試問：出發後第_秒，小明與小華會第八次相遇。 (88社)Ans：32030. 觀察下列3´3與4´4方格的數字規律，如果在10´10的方格上，仿上面規律填入數字，則所填入的100個數字之總和為_。 (88社)Ans：385123122111123412331222111131.若a，b均為整數且方程式x2ax8170與x2bx35530有一共同的質數根，則數對(a，b)_。 (88社)Ans：(62，206)32. 關於多項式f(x)x415，下列選項何者為真：(A) f(x)

10、0在1與2之間有一實根。(B) f(x)0在2與1之間有一實根。(C) f(x)0沒有大於2的實根。(D) f(x)0沒有小於2的實根。(E) f(x)0有四個實根。 (89社)Ans：ABCD33. 天干地支記日是分別以甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、 癸亥，六十天為一週期循環記日。已知民國89年7月3日是壬戌日，那麼推算民國90年1月1日以天干地支記是_日。 (89社)Ans：甲子34. 設實數x，下列哪些選項的值跟x相等？(A) 0.62，(B) 1，(C) 1x2，(D) ，(E) 無窮級數1xx2x3(-1)nxx之和。 (90社)

11、Ans：BCDE35. 設a，b，c為實數，且二次函數f(x)ax2bxc滿足f(1)3，f(3)1，b24ac0，則(A) a0，(B) c0，(C) f(0)f(1)，(D) f(4)f(5)，(E) f(3)f(2)。(90社)Ans：ABCE36. 數學兼哲學家伽利略於西元1632年出版對話錄一書觸怒教廷，然後在他70歲時，接受宗教法庭審判且於該年被判終身監禁，之後在獄中過世，享年78歲，出版對話錄一書到過世是伽利略人生最灰暗的10年。伽利略年輕時發明十倍率的望眼鏡，並餘次年發現木星的歐羅巴衛星，發明望眼鏡到出版對話錄算是伽利略人生的黃金歲月。這段期間之長剛好是他發現衛星時年紀的一半，

12、根據上面的故事，請問下面有關伽利略生平的敘述，哪些是正確的？(A) 出生於西元1566年，(B) 在45歲時發明10倍率的望眼鏡，(C) 在西元1610年發現歐羅巴衛星，(D) 在68歲時出版對話錄，(E) 於西元1644年過世。(90社)Ans：BCD37. 電視報導在棒球賽中，竟然發生有隻鴿子被球擊中的事件。假設當時投手將棒球以每秒120公尺等速直線投向打擊區，這隻鴿子以垂直於球的路徑的方向以每秒50公尺等速直線飛行，恰巧於離投手16公尺處被擊中。試問投手投球，球離手那一剎那，鴿子離投手多遠？答：_公尺。(答案以整數表示，公尺以下四捨五入) (90社)Ans：1738. 方程式x44x33

13、x2x10在下列哪兩個整數之間有實數根？(91社)(1)-3與-2之間。(2)-2與-1之間。(3)-1與0之間。(4)0與1之間。(5)1與2之間。Ans：439. 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鋼架，圖中小圈圈。表示焊接點，圖E-1有兩層共4個焊接點，圖E-2有三層共10個焊接點，圖E-3有四層共20個焊接點。試問依此規律，推算圖E-5有六層共有多少焊接點？_個。(91社)Ans：5640. 設數列<an>的第n項an為，n1，(1)依序列出a2，a3，a4，a5，a6，a7的值。(6分)(2)設k為一正整數，試說明k2k必為偶數。(4分)(3)設k為一正整數，試證明

14、 在數列<an>中可以找到一個項am使amk。(6分) (91社)41.沈醫師認為身高H（公尺）的人，其理想體重W（公斤），應符合公式W = 22H2（公斤），一般而言，體重在理想體重 ±10範圍內，稱為標準體重；超過10但不超過20者，稱為微胖；超過20者，稱為肥胖。微胖及肥胖都是過重的現象。對身高H，體重W的人，體重過重的充要條件為W > cH2 + dH + e，則(c，d，e) =。(92社)Ans：(24.2，0，0)42.根據調查，在華人社會，身高H公尺，體重W公斤的人中，其平均體表面積S平方公尺，可以用數學模型S = aH + bW - 0.01來表示

15、，這裡的a，b是常數。又知體重一樣，身高多5公分，平均體表面積會增加0.03平方公尺；而身高一樣，體重多4公斤，平均體表面積會增加0.05平方公尺。根據模型，身高170公分，體重64公斤，應該有平方公尺的平均體表面積。Ans：1.81 (92社)43.當平面上的點(x，y)之坐標x與y都是整數時，稱點(x，y)為格子點。數學家知道：坐標平面上三個頂點皆為格子點的三角形之面積可以用公式aS + bI + c來表示，其中S代表三角形三邊邊上的格子點數，I是落在三角形內部（不含邊上）的格子點數，a，b，c是固定的常數。則(a，b，c) =。(93社)Ans：(0.5，1，- 1)44.設a為實數，令

16、a，b為二次方程式x2 + ax + (a - 2) = 0的兩個根。試問當a為何值時，|a - b |有最小值？答：a =。(93社)Ans：2 第一冊學測試題1. 設a，則a在那兩個連續整數之間?(A) 0與1，(B) 1與2，(C) 2與3，(D) 3與4，(E) 4與5。 (83學測)Ans：D(-2 , 0)2. 若函數f(x)ax2bxc的圖形如右， 則下列各數那些為負數？(A) a，(B) b，(C) c，(D) b24ac，(E) abc。 (83學測)Ans：CE3.一皮球自離地面10公尺高處落下。首次反彈高度為10/3公尺，此後每次反彈高度為其前一次反彈高度的1/3，則此球

17、到完全靜止前，所經過路徑的總長度為_公尺。 (83學測)Ans：204.平面上四點A(1，2)，B(4，2)，C(2，1)和O(0，0)。過B作直線OC的平行線交直線OA於D點，則D點的坐標為_。(83學測)Ans：(8/3，16/3)5.已知A(1，2)和B(3，4)為兩定點，P(x，y)為直線 x2y3上一點。問PAPB時，P的坐標為_。(83學測)Ans：(7，2)6.已知p為常數，若x2px6與x3px6的最低公倍式為四次式，則p_。(83學測)Ans：77. 若將化為最簡分數，則其分母為何？(A)100487，(B) 100489，(C) 10280，(D) 25825159，(E)

18、 25825161。 (84學測)Ans：A8. 下圖表示長方形垛的疊法：某水果販將橘子堆成長方形垛。若最底層長邊有10個橘子，短邊有5個橘子，則此長方形垛最多有幾個橘子？(A) 110，(B) 120，(C) 130，(D) 140，(E) 150。 (84學測) Ans：C9. 設m為實數，若二次函數ymx210xm6的圖形在直線y2上方，則m值範圍為何？(A) m0，(B) m2，(C) 0m2，(D) 2m2，(E) m2 or m2。(84學測)Ans：B10.已知二多項式P(x) = 1 + 2x + 3x2 + + 10x9 + 11x10 =，與Q (x) = 1 + 3 x2

19、 + 5 x4 + + 9 x8 + 11 x10 =，則P (x)和Q (x)的乘積中，x9 的係數為。(84學測)Ans：11011.有四條直線L1：xy1，L2：xy4，L3：8xy10，L4：x2，這四條直線圍出一個四邊形。試問此四邊形較短的對角線長度為多少？_。(84學測)Ans：512. (40)265除以13，得餘數為(A) 1，(B) 2，(C) 4，(D) 6，(E) 8。(85學測)Ans：A13.坐標平面上A(1，2)到直線L的垂足是D(3，2)，問A對於L的對稱點是下列那一點？(A) (2，0)，(B) (1，0)，(C) (2，0)，(D) (2，2)，(E) (5，

20、2)。(85學測)Ans：E14. 設f(x)為實係數三次多項式，且f(i)0(i)，則函數yf(x)的圖形與x軸有幾個交點？(A) 0，(B) 1，(C) 2，(D) 3，(E) 因f(x)的不同而異。(85學測)Ans：B15. 有一個101項的等差數列a1，a2，a101，其和為0，且a7171。問下列選項那些正確？(A) a1a1010，(B) a2a1000，(C) a3a990，(D) a5151，(E) a10。(85學測)Ans：CE16.設f(x)為二次函數，且不等式f(x)0之解為2x4，則f(2x)0之解為(A) 1x2，(B) x1 or x2，(C) x2 or x4

21、，(D) 4x8，(E) x4 or x8Ans：B (86學測)17. 有一個無窮等比級數，其和為8/9，第四項為3/32，已知公比為一有理數，則當公比以最簡分數表示時，其分母為(A) 2，(B) 3，(C) 4，(D) 6，(E) 8。 (86學測)Ans：C18. 設f(x)，若f(x)在xa處有最小值，則(A) a為整數，(B) a5.9，(C) a5.1，(D)a40.5，(E)a60.5。(86學測)Ans：BC19. 設f(x)x56x44x325x230x20，則f(7)_。(86學測)Ans：620. 已知三角形由三直線y0，3x2y30，xy40所圍成，則其外接圓的直徑為_

22、。Ans：26 (86學測)21. 當x介於0與2p之間，直線y1x與函數ytanx的圖形，共有幾個交點？(A) 0，(B) 1，(C) 2，(D) 3，(E) 4。(87學測)Ans：(D)22.設1i為x2ax3i0的一根，則a的值為何？(A) 3，(B) 2，(C) 1i，(D) 2，(E) 3。 (87學測)Ans：(A)23. 已知偶數的平方是4的倍數；奇數的平方除以4餘數為1。考慮五個數：513，226，216，154，145。試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為完全平方數：(A) 513，(B) 226，(C) 216，(D) 154，(E) 145。 (87學測)Ans

23、：ACE24.設不共線的三直線之方程式分別為ax4y1，(a1)x3y2，22y3，其中a為實數。試問a為何值時，上述三直線會圍出一個直角三角形：(A) 8，(B) 4，(C) 1，(D) 3，(E) 5。 (87學測)Ans：(A)(B)(D)(E)25. 設a，b均為實數，且二次函數f(x)a(x1)2b滿足f(4)0，f(5)0，試問下列何者為真？(A) f(0)0，(B) f(1)0，(C) f(2)0，(D) f(3)0，(E) f(4)0。(87學測)Ans：(A)(B)(C)26. 設a與b均為實數。若，則2ab_。Ans：9(87學測)ABCP27. 如下圖中，ABC是邊長為8

24、的正三角形撞球台，線段BP，今由P點將一粒球以平行BA的方向射出，最後又回到P點。球所走的路徑如箭號所示。則此路徑的長度為_。(87學測)Ans：2428.等比數列<an>中，a11，a4，an+2an+1an，n1，則an的公比為_。Ans：(87學測)29.設f(x)為一多項式。若(x1)f(x)除以x2x1得餘式為5x3，則f(x)除以x2x1得餘式為_。 (87學測)Ans：2x530. 下列何者是除以10的餘數？(A) 0，(B) 2，(C) 4，(D) 6，(E) 8。(88學測)Ans：D31.試選出正確的選項：(A) 不是有理數，(B) ，(C) ，(D) ，(E)

25、 。Ans：BCDE (88學測)32.三次方程式在下列那些連續整數之間有根？(A)2與1之間，(B) 1與0之間，(C) 0與1之間，(D) 1與2之間，(5) 2與3之間。Ans：ABD(88學測)33.本金100元，年利率6 %，每半年複利一次，五年期滿，共得本利和為_元。(元以下四捨五入) (88學測)Ans：13434.一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方，海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心，由大王椰子樹向東走12步埋他的第一件珠寶；由大王椰子樹向東走4步，再往北走a步埋他的第二件珠寶；最後由大王椰子樹向東走a步，再往南走8步埋他的第三件珠寶。事隔多年之後，海盜僅記得a>

26、;0及埋藏珠寶的三個地方在同一直線上。那麼a_。(88學測)Ans：1635.在坐標平面上，根據方程式畫出三條直線L1,L2,L3，如圖所示。試選出方程式與直線間正確的配置？(1) L1:；L2:；L3:。(2) L1: ；L2:；L3:。(3) L1:；L2:；L3: 。(4) L1: ；L2:；L3:。(5) L1:；L2: ；L3:。(89學測)Ans：436. 今年(公元2000年是閏年)的1月1日是星期六。試問下一個1月1日也是星期六，發生在公元_年。(89學測)Ans：200537. 將自然數按下列規律排列，每一列比前一列多一個數，如下表所示：試問第100列第3個數是_。(89學測

27、)Ans：495338. 設三次方程式 有兩複數根ai，1bi，其中a，b是不為0的實數。試求它的實根。(89學測)Ans：1539.設a，b，c為實數。若二次函數f(x)=ax2bxc的圖形通過(0，-1)且與x軸相切，則下列選項何者為真？(A) a0，(B) b0，(C) c-1，(D) b24ac0，(E) abc0。(90學測)Ans：ACD40. 若正整數a，b，q，r滿足abqr，且令(a，b)表示a與b的最大公因數，則下列選項何者為真？(1) (a，b)=(b，r)，(2) (a，b)=(q，r)，(3) (a，q)=(b，r)，(4) (a，q)=(q，r)，(5) (a，r)

28、=(b，q)。(90學測)Ans：1,441. 古代的足球運動，有一種計分法，規定踢進一球得16分，犯規後的罰踢，進一球得6分。請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？(1) 26，(2) 28，(3) 82，(4) 103，(5) 284。(90學測)Ans：2,3,542.在坐標平面上，A(150，200)，B(146，203)，C(-4，3)，O(0，0)，則下列選項何者為真？(1) 四邊形ABCO是一個平行四邊形，(2) 四邊形ABCO是一個長方形，(3) 四邊形ABCO 的兩對角線互相垂直，(4) 四邊形ABCO的對角線AC長度大於251，(5) 四邊形ABCO的面積為1250Ans

29、：1,2,5 (90學測)43. 將一張B4的長方形紙張對折剪開之後，成為B5的紙張，其形狀跟原來B4的形狀相似。已知B4紙張的長邊為36.4公分，則B4紙張的短邊長為_公分。(小數點後第二位四捨五入) (90學測)44. 設多項式f(x) 除以x25x4，餘式為x2；除以x25x6，餘式為3x4。則多項式f(x) 除以x24x3，餘式為_。(90學測)Ans：5x245. 設P(x，y)為坐標平面上一點，且滿足，那麼P點的位置在哪裡？(1).第一象限，(2).第二象限，(3).第三象限，(4).第四象限，(5).x軸或y軸上。(91學測)Ans：146. 試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述

30、下圖較恰當？(1).(x2)22，(2).2sin(x)2，(3).2cos(x)，(4).0.5(x2)24，(5).32x。(91學測)(0,1)(1,0)47. 若實數a，b，c滿足abc0，abbcca0，abc0，abc，則下列何者為真？(1).a0，(2).b0，(3).c0，(4).ab，(5).a2c2。(91學測)Ans：1,4,548.一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進3步，然後再後退2步的規律移動，如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以1步的距離為1單位長。令P(n)表示，第n秒時機器狗所在位置的座標，且P(0)0。那麼下列選項合者為真？(1

31、).P(3)3，(2).P(5)1，(3).P(10)21，(4).P(101)21，(5).P(103)P(104)。(91學測)Ans：1,2,3,449.某甲自89年7月起，每月1日均存入銀行1000元，言明以月利率0.5按月複利計息，到90年7月1日提出。某乙則於89年7月起，每單月(一月、三月、五月)1日均存入銀行2000元，亦以月利率0.5按月複利計息，到90年7月1日提出。一整年中，兩人都存入本金12000元。提出時，甲得本利和為A元，乙得本利和為B元，下列選項何者為真？(1) BA，(2) A1000，(3) B2000，(4) A12000，(5) B12000。(91學測)

32、Ans：1,2,3,4,550. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台，此花台在窗口的中央往外伸出72公分，窗口的寬度是168公分，則此圓弧的圓半徑為_公分。(91學測)Ans：8551. 2201與2191的最大公因數為_。(91學測)Ans：252. 在一個圓的圓周上，平均分佈了 60個洞，兩洞間稱為一間隔。在A洞打上一支木樁並綁上線，然後依逆時針方向前進，每隔9個間隔就在打一支木樁，並綁上線，依此繼續操作，試問輪回到A洞需再打樁前，總共已打了_支木樁。(91學測)Ans：2053. 試問多少個正整數n使得為整數？(1) 1個，(2) 2個，(3) 3個，(4) 4個，(5) 5個。(92學

33、測)Ans：454.若f(x)x32x2x5，則多項式g(x)f(f(x)除以(x2)所得的餘式為(1) 3，(2) 5，(3) 7，(4) 9，(5) 11。(92學測)Ans：555. 如下圖，兩直線L1，L2之方程式分別為L1：xayb0，L2：xcyd0，試問下列哪些選項是正確的？(1) a0，(2) b0，(3) c0，(4) d0，(5) ac。(92學測)Ans：4，556. 假設座標平面上一非空集合S內的點(x，y)具有以下性質：若x0，則y0。試問下列哪些敘述對S內的點(x，y)必定成立？(1) 若x0，則y0，(2) 若y0，則x0，(3) 若y0，則x0，(4) 若x1，

34、則y0，(5) 若y0，則x0。(92學測)Ans：2，4，557. 設a1，a2，a50是從-1，0，1這三個整數中取值的數列。若a1a2a509且(a11)2(a21)2(a501)2107，則a1，a2，a50當中有_項是0。Ans：11(92學測)58. 設k為一整數。若方程式kx27x10有兩個相異實根，且兩根的乘積介於與之間，則k_。(92學測)Ans：1259.臺灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價（即最後一筆的成交價）的漲、跌7範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股100元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在93元至107元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股40元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤（也就是每天跌7），緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤（也就是每天漲7）。請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？(93學測)(1) 39元(2) 39.5元(3) 40元(4) 40.5元(5) 41元Ans：(1) 60.已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為15，偶