2020届北京石景山区高三上学期期末考试数学试题解析版

1、石景山区2020届高三第一学期期末数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合Ax0 x2,B1,0,2,3，则AIB（）A,0,1,2B.0,2C.1,3D.1,0,1,2,3【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合Ax0 x2,B1,0,2,3,所以AIB0,2.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题2,2,复数z的共轲复数在复平面内对应的点所在象限为（）1iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数 z

2、进行化简，然后得到其共轲复数 Z，再找到其再复平面对应的点，得到答案._221i【详解】z2-1i,1i1i2所以z1iZ在复平面对应的点为1,1,在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轲复数，复数在复平面对应的点，属于简单题3,下列函数中既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递减的是（）故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题rrrrr4.已知向量 a5,m,b2,2,若abb,则实数m()A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】.rr 一.,一根据向量坐标的线性运算得到 ab,再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m的方程，解出m的值，得到答案.

3、rr【详解】因为向量 a5,m,b2,2rr所以ab3,m2,rrr因为abb,rrr所以abb0所以62m20解得m1.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题A.f(x)B.f(x)ig|x|C.f(x)xD.f(x)cosx【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在0,1上的单调性，得到答案【详解】选项 A 中，fx3x,是奇函数，但在0,1上单调递增，不满足要求;选项 B 中，fxlgx,是偶函数，不满足要求,选项 C 中，fxx,是奇函数，在0,1上单调递减，满足要求;选项 D 中，fxcosx,是偶函数，不满足要求5.我国古代数

4、学名著九章算术有米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（）A.134 石 B.169 石【答案】B【解析】，八一x28【详解】设夹谷x石，则2,1534254153428所以x169.1,254所以这批米内夹谷约为169石，故选 B.考点：用样本的数据特征估计总体.【此处有视频，请去附件查看】6 .已知a10g34,blog3,cJ5,则a，b,c的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】分别对a,b,c与特殊值1或2进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到

5、答案【详解】因为11og331og341og392,所以1a2,因为10g310g1,所以b1,因为褥/2,所以c2,所以bac.故选：D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题7 .艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 7 个原始评分中去掉个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分.5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案C.338 石D.1365 石【详解】从 7 个原始评分去掉 1 个最高分、1 个

6、最低分，得到 5 个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题8 .一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）ABCDABCQ1中，截去四面体AAB1D1,利用体积公式，求出其体积，然后得到答案.【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述,得到是在正方体ABCDABC1D1中，截去四面体AA1B1D1设正方体的棱长为a,11313则VABR二二a二a,113261050故剩余几何体的体积为a31a35a3,661所以截去部分的体积与剩余部分的体

7、积的比值为-5故选：C.C.D.根据三视图还原出几何体，得到是在正方体【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.*9 .在等差数列an中，设k,l,p,rN,则klpr是akaiapar的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项.【详解】若等差数列为a15,a24,a33,a42,a51.则当k1,l5,p2,r3时，klpr成立，但akaap4不成立，所以非充分条件当k1,l2,p3,r4时，ak句apa成立，但klpr不成立，所以非必要条

8、件综上可知，klpr是akalapa的既非充分非必要条件所以选 D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题._22.10 .关于曲线C:xxyy4.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数点）2曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2A/53曲线C上任意一点到原点的距离都不小于其中，正确结论的个数是（）【答案】C【解析】【分析】将曲线C：x2xyy24,看成关于y的方程，利用方程有解，得到x的范围，再分别研究对应的整数x和y的情况；根据基本不等式，得到x2J的范围，从而判断出曲线C上一点到原点的距离范围【详解】曲线C：

9、x2xyy24,看成关于y的二次方程22216则x4x40,得x3所以整数x的取值为2,1,0,1,2,当x2时，y0或y2,满足题意当x1时，y不是整数，不满足题意当x0时，y2或y2,满足题意当x1时，y不是整数，不满足题意当x2时，y0或y2,满足题意故命题正确.所以得曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2亚，命题正确2222当xy0时，xy-匕，即4x2y2-22A.0B.1C.2D.3故曲线C过的整点为0.22,0,2,2,共 6 个,当xy0时,xy得x28,即Jx2y2当且仅当x2,y2或x2,y2时，等号成立得x2y28,即&典,33当且仅当xy出或xy223时，等号成

10、立33所以得曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2-6,故命题错误；3故选：C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.2611 .在(x-)的二项展开式中，常数项等于.(用数值表布)x【答案】-160【解析】r试题分析：Tr+kC；x6-=-2,C；x6-2r,由6-2r=0得：r=3,所-2rC；=-8C；=-160.x考点：二项式定理.点评：熟记二项展开式的通项公式：Tr+1=C；an-rb(r=0,1,2,n),此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化.212 .双曲线y21

11、的焦点到它的渐近线的距离为3试题分析：由双曲线方程可知a23,b21,则c2a22,0，渐近线为yY3x.所以焦点到渐近线的距离为3考点：1 双曲线的基本性质；2 点到线的距离.*、13 .已知数列ann(nN)为等比数列，aLa22b24,即aJ3,b1,c2,所以焦点为a3,，-一,2根据题意，得到a22a11a33,从而得到关于a3的方程，解出a3的值，得到答案一、*【详解】因为数列ann(nN)为等比数列，所以a222a11a33,2即2211a33,解得 a35.故答案为：5.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:【答案】或【解析】【

12、分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案【详解】由，/,可得故，由，/,可得故，由，则平面与平面可以平行和可以相交，故？.故答案为：或【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题1一15.在ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知bc-a,2sinB3sinC,则cosA的4值为.-1【答案】4【解析】31一试题分析：Q2sinB3sinC,2b3c,bc,代入bc一a得a2c,由余弦定理得2414.已知平面，.给出下列三个论断：；/以其中两个论断作为条件,.222bca1cosA-.2bc4考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推

13、论.【此处有视频，请去附件查看】uruu16 .已知向量 G,Q 是平面内的一组基向量,（x,y）为点 p 的广义坐标，若点A、B 的广义坐标分别为（、，乂）、（x2,y2）,对于下列命题：1线段AB的中点的广义坐标为（x_l,红12）222向量OA平行于向量OB的充要条件是x1y2x2yl【答案】根据定义，分别写出AB中点M的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断,得到答案.umruruuO为内的定点，对于内任意一点P,当OPxeye2时，则称有序实数对uuuuuu向量OA垂直于向量OB的充要条件是x1x2yy20其中，真命题是.（请写出所有真命题的序号）【详解】点A、

14、B 的广义坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）uuu可得OAurxeuuuuuiruuye设M为AB中点，则所以线段AB的中点的uuuuui向量OA平行于向量O即为，必x2,y2所以x1y2x2y1,故命;uuuuui向量OA垂直于向量Oiruuir即xe%金x26x1x22yy22）,故命题正确UT2irrng为乂26|x1y2x2yle1e2y1y2e20，故命题不一定正确.故答案为：.【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力,属于中档题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.117 .已知函数f(x)

15、cosx(sinxcosx)-.2,、4 冗3_,、(i)右0，且sin，求f()的值；25(n)求函数 f(x)的最小正周期，及函数 f(x)的单调递减区间.5冗ku,k+,kZ88【解析】【分析】3(I)根据sin3以及的范围，得到cos，代入到f中，得到答案；(n)对fx进行整理2、下一化简，得到fxsin2x,根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间24一sin2xcos2x2旦in2x2.2k所以函数fx的最小正周期 T25兀23Tt由2k?t2x2k+一,kZ,3150(n)最小正周期冗【详解】解：所以cos所以f(n)fxcosxsinx11-sin2x一I)因为0,1

16、sin2434555cosxsinx21cosx一2cos2x1,且sin24.51281-312252-501cosx一2242解得kuxk+,kZ.885兀所以函数fx的单调递减区间k：t,k*，kZ.88【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降哥公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获彳导15分,出现三次“6点”获彳导120 分，没有出现“6点”则扣除 12 分(即获得12 分).(I)设每盘游戏中出现“6点”的次数为 X,求 X 的分布列；(n)玩两盘游戏，求

17、两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；(出)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.95一一一【答案】(I)分布列见解析(n)(出)见解析144【解析】【分析】1(I)先得到X可能的取值为0,1,2,3,根据每次抛掷骰子，出现6岚的概率为p,得到X每6种取值的概率，得到分布列；(n)计算出每盘游戏没有获得 15 分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；(出)设每盘游戏得分为Y,得到Y的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：(I)X可能的取值为0,1,2,3.1每次抛掷骰子，出现6岚的概率为

18、p1.6013125111275P(X0)C3(1-)，P(X1)C3-(1-)，621666216-212115-3131P(X2)C|(-)2(17),P(X3)C3(-)3-,662166216所以 X 的分布列为：X0123P12521625725721216(n)设每盘游戏没有得到 15 分为事件 A,1251721621612因此，玩两盘游戏至少有一次获得（m）设每盘游戏得分为Y.由（I）知，Y的分布列为:Y-1215120P1255121612216125515Y的数学期望为EY1215120一.2161221636这表明，获得分数Y的期望为负.因此，多次游戏之后分数减少的可能性

19、更大.【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题19 .已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，zPAD是正三角形，CD 平面 PAD,E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点.（I）求证：PO 平面ABCD;（n）求平面 EFG 与平面ABCD所成锐二面角的大小；（出）线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为若存在，求线段PM的长度;若不存在，说明理由.、_兀.一,一一【答案】（I）证明见解析（n）一（出）不存在，见解析3【解析】两盘游戏中至少有一次获得15 分”为事件 B,2则PB1PA127_强1214415

20、 分的概率为95144(I)正三角形 PAPAD D 中POAD,由CD平面 PAPAD D 得到POCD,所以得到PO面ABCD;(n)以O点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG的法向量，和平面ABCD的法向量，从而得到平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；(出)线段PA上存在满足题意的点M,直线GM与平面EFG法向量的夹角为设PuuPA，0,1,利用向量的夹角公式，得到关于3的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M.【详解】(I)证明：因为PADPAD 是正三角形，O是AD的中点，所以POAD.又因为CD平面 PADPAD, ,PO平面 PADPAD,

21、 ,所以POCD.ADICDD,AD,CD平面ABCD,所以PO面ABCD.(n)如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(2,4,0),D(2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2而，E(1,2,.3),F(1,0,3),uuirEF(0,uur2,0),EG(1,2,3),ir设平面EFG的法向量为m(x,y,z)uiuvvEFm0所以uiuvv,即EGm02yx2y0,3z0,令zi,则mh/3,0,i),r又平面ABCD的法向量n(0,0,1),设平面EFG与平面ABCD所成

22、锐二面角为所以cos.TT所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为-.(出)假设线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为-，6rur_,即直线GM与平面EFG法向量m所成的角为一，3uuuruir设PMPA，0，1uuuruuruuuruuuGMGPPMGPuuu_所 以GM2,4,2,31,uuurur,所以coscos(GM,mj整理得22320,方程无解，所以，不存在这样的点M.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题20 .已知函数f(x)exax.(aR)(i)求函数 f(x)的单调区间；(n)若a3,f(x)的图象与y轴交

23、于点A,求yf(x)在点A处的切线方程；(出)在(n)的条件下，证明：当x0时，f(x)x23x1恒成立.【答案】(I)a0 时，fx单调增区间为R,无单调减区间，a0时，fx单调增区间为Ina,单调减区间为，lna.(n)y2x1(m)证明见解析【解析】【分析】(I)对fx求导，得到fx,对a按照 a0 和a0进行分类讨论，研究fx的正负，从而得到fx的单调区间；(n)将x0代入fx,得到切线斜率，点斜式写出切线方程；(出)令2xxgxf(x)(x3x1),得到 gxe2x,令hxgx,得到hxe2,从而得到uurPA,2、426上单调递增，即 gxg01010,从而使得原命题得证【详解】解

24、：(I)f(x)exa,当 a0 时，f(x)0恒成立，所以 f(x)在R上单调递增,当a0时，令f(x)0,解得xlna.(出)证明：令 gxf(x)(x23x+1)=exx21,则 gxex2x.令 hxex2x,则hxex2,当 0 xln2 时，hx0,hx单调递减，当xln2时，hx0,hx单调递增；所以 hxhln2eln22ln222ln20,即gx0恒成立.hxhln20,得到gx在所以 gxg01010,所以 exx210,即当x0时，fxx23x1 恒成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于

25、中档题.2221.已知椭圆C：与21过点 P(2,1).a22(i)求椭圆C的方程，并求其离心率；(n)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上)，直线PA关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B.设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由.【答案】(I)x-匕1,离心率直.(n)直线AB与直线OP平行.见解析822【解析】【分析】(I)将点2,1代入到椭圆方程，解得a的值，根据cJa2b2,得到c的值，从而求出离心率；(n)直线PA:y1k(x2),PB:y1k(x2),点AK,y，Bx2,y?，将直线与椭圆联立，得到X和x2,从而得到AB的

26、斜率，得到kABkoP,得到直线AB与直线OP平行.22【详解】解：(I)由椭圆C：j1过点 P(2,1),a2一41可得1,解得a8.a2所以c2a2b2826,所以椭圆C的方程为C置1,离心率e*.822、22(n)直线AB与直线OP平行.证明如下：由题意，设直线PA:y1k(x2),PB:y1k(x2),所以gx在上单调递增,设点Axi,yi,BX2,y2,ykx2k1(出)若SA2020,求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.【答案】(I)a11,a22(n)证明见解析(出)n的最小值为 11,此时an的最大值1010.【解析】【分析】(I)m1和m2时，根据SA的定义，以及集

27、合Aa1，a2,L,an(aa2Lan,n3)的性质，得4k21x28k12kx16k216k40,所以2+x,8k(22k1,所以x14k1一2一一8k8k24k21同理x2一2一一8k+8k24k21所以为x216k4k21由y1kx12k1,y2kx22k1,有y1y2k(x1x2)4k8k4k21因为A在第四象限，所以k,wy20,且A不在直线OP上，所以kAB-x2-11又kop一,故kABkop,所以直线AB与直线OP平行.2【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系,属于中档题*、22.已知由n(nN)个正整数构成的集合A31,32,L,3n(3132Lan,n3),记SAa1a2Lan,对于任意不大于SA的正整数m,均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于 m.(I)求31,32的值;(n)求证:31,a2,L,小成等差数列”的充要条件是SAn(n1),2，11到答案；(n)必要性：aiI,可得SA-nn1,充分性：由条件可得ai,从而有SA-n(n1),22当且仅当aii时，等号成立，从而得证；(出)含有n个元素的非空子集个数有2n1,当n10时，不满足题意，